《19.2二次函数y3Dax2bxca0的图象课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《19.2二次函数y3Dax2bxca0的图象课件（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二次函数二次函数y=ax2+bx+c（a0）的）的图象象 学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征，下面请同学们谈谈它们的图象有拿些特了它们各自的图象特征，下面请同学们谈谈它们的图象有拿些特征？征？上节课我们学习了二次函数的一般形式为上节课我们学习了二次函数的一般形式为y= =ax+ +bx+ +c( (a 0) )，那那么它的图象是否也为直线或为双曲线呢？么它的图象是否也为直线或为双曲线呢？引引 入入 我我们已已经学学习过用描点法画一次函数的用描点法画一次函数的图象，如何画一个二次函数的象，如何画一个二次函数
2、的图象呢象呢？探究探究画二次函数画二次函数 的的图象象列表列表：由于自变量：由于自变量x可以取任意实数，因此让可以取任意实数，因此让x取取0 和一些和一些互为相反数的数互为相反数的数，并且算出相应，并且算出相应的函数值，列成下表：的函数值，列成下表：x- -3- -2- -101239410149描点描点：在平面直角坐标系内，以：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，相应的函数值为纵取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标坐标，描出相应的点描出相应的点. . 如如下下图图所示所示. .AABB连线连线：根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把原点和：根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把原点和y轴
3、右边各点顺次连轴右边各点顺次连接起来接起来，这样就得到了这样就得到了 的图象的图象. . 如如上上图图所示所示. .由此可知，二次函数由此可知，二次函数y=x2的图象通过原点，分布在第一、第二象限，且的图象通过原点，分布在第一、第二象限，且以以y轴为对称轴的一条曲线，我们称这条曲线为轴为对称轴的一条曲线，我们称这条曲线为抛物线抛物线，它与对称轴的，它与对称轴的交点叫做抛物线的顶点交点叫做抛物线的顶点. . 我我们先来研究先来研究a1时，二次函数，二次函数y=ax2（a0）的）的图象和二次函数象和二次函数y=x2的的图象之象之间有怎有怎样关系关系. 举举例例例例1 在同一坐在同一坐标系中，做出下
4、列函数的系中，做出下列函数的图象：象：解：解：列表（请补充完整）：列表（请补充完整）：x-3-2-10123y=-x2-9-4-10-9-4-1-18-8-20-18-8-2606描点描点，连线得到这些二次函数的图像，连线得到这些二次函数的图像，如图如图19- -5所示。所示。由此可知，由此可知，a的取的取值不同，不同，二次函数二次函数y=ax2 （a0）的图象都是通过原点，以的图象都是通过原点，以y轴轴为对称轴得抛物线，并且和抛物线为对称轴得抛物线，并且和抛物线y=x2比比较，当，当a取不同的取不同的值时，能引起抛物，能引起抛物线开口方向的改开口方向的改变； 当当a0时，抛物，抛物线的开口向
5、上；当的开口向上；当a0时，抛物，抛物线的开口向下的开口向下. 对称轴是对称轴是 ，对称轴与图象的交点是对称轴与图象的交点是 . .图象的开口向图象的开口向 ，y 轴轴O( (0，0) )下下 观察下图观察下图，函数函数 的图像具有哪些性质？的图像具有哪些性质？从图中可以看出，二次函数从图中可以看出，二次函数 的图象是一条曲线，的图象是一条曲线，练习练习在同一个平面直角坐标系中，画出函数在同一个平面直角坐标系中，画出函数 与与 的图像的图像.解解 列表：列表：描点、连线，画出这两个函数的图像，如图所示描点、连线，画出这两个函数的图像，如图所示.然后描点画然后描点画图,得到得到y=x21，y=x
6、21的的图像像.在同一直角坐在同一直角坐标系中系中,画出二次函数画出二次函数y=x2+1和和y=x2 1的的图像像解解: 先列表先列表x-3-2 -101 23y=x2+1y=x2-1105212510830-103812345x12345678910yo-1-2-3-4-5(1) 抛物抛物线y=x2+1，y=x21的开口方向、的开口方向、对称称轴、顶点各是什么点各是什么? (2)抛物抛物线y=x2+1，y=x21与抛物与抛物线y=x2有什么关系有什么关系?抛物抛物线y=x2+1:开口向上开口向上,顶点点为(0，1).对称称轴是是y轴,抛物抛物线y=x21:开口向上开口向上,顶点点为(0, 1
7、).对称称轴是是y轴，y=x2+1y=x21抛物抛物线y=x2+1,y=x21与抛物与抛物线y=x2的关系的关系:12345x12345678910yo-1-2-3-4-5y=x2+1抛物抛物线y=x2抛物抛物线 y=x21向向上上平移平移1个个单位位 把抛物把抛物线y=2x2+1向上平移向上平移5个个单位位,会得会得到那条抛物到那条抛物线?向下平移个向下平移个单位呢位呢?抛物抛物线y=x2向向下下平移平移1个个单位位(1)得到抛物得到抛物线y=2x2+6(2)得到抛物得到抛物线y=2x2y=x21y=x2抛物抛物线 y=x2+1一般地，抛物一般地，抛物线y=ax2+c有如下特点有如下特点:(
8、1)当当a0时，开口向上，开口向上;当当a0,向上平移向上平移;c0向下平移向下平移.)12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图像：在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图像：y= = x2，y= = x2+2，y= = x2- -2. 观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点顶点. .你能说出抛物线你能说出抛物线y= = x2+k的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线物线y= = x2有什么关系
9、？有什么关系？xy123- -1- -2- -301234- -1- -2- -3y= = x2y= = x2+ +2y= = x2- -2开口方向都向上；开口方向都向上；对称称轴都都为直直线x=0；y= = x2的的顶点点为（0，0）；）；y= = x2+2的的顶点点为（0，2）；）；y= = x2- -2的的顶点点为（0，- -2）. .y= = x2+ +k的开口方向向上，的开口方向向上，对称称轴为直直线x= =0，顶点点为（0，k）；它是由抛物）；它是由抛物线y= = x2向上平移向上平移k个个单位位长度得到度得到. .(2)在同一坐在同一坐标系画出系画出y=3x2和和y=3(x-1)
10、2的的图象象.(1)完成下表完成下表,并比并比较3x2和和3(x-1)2的的值，它，它们之之间有什么关系有什么关系? x-3-2-101234 2712303122748 2712303122748 4827123031227观察图像观察图像, ,回答问题回答问题(3)函函数数y=3(x-1)2的的图像像与与y=3x2的的图像像有有什什么么关关系系?它它是是轴对称称图形形吗?它它的的对称称轴和和顶点坐点坐标分分别是什么是什么? 想一想想一想,在同一坐标系中在同一坐标系中作二次函数作二次函数y=3(x+1)2的的图像图像,会在什么位置会在什么位置? 二次函数二次函数y=3(x- -1)2与与y=
11、3x2的图像形状相同的图像形状相同,可以看作是抛物线可以看作是抛物线y=3x2整体沿整体沿x轴向右平移了轴向右平移了1 个单位个单位.真知从实践走来真知从实践走来?1. .在上面的坐标系中作出二次函数在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图像的图像. .它与二次它与二次函数函数y=3x2和和y=3(x- -1)2的图像有什么关系？它是轴对称图形吗的图像有什么关系？它是轴对称图形吗? ?它的对称轴和顶点坐标分别是什么它的对称轴和顶点坐标分别是什么? ? 完成下表，并比较完成下表，并比较3x2，3(x- -1)2和和3(x+1)2的值，它们之间有什么的值，它们之间有什么关系？关系？ 函数
12、函数y=a(x-h)2(a0)的的图像和像和性性质x-4-3-2-1012342712303122727123031227 27123031227 27 12 30312 27 在同一坐标系中作出二次函数在同一坐标系中作出二次函数y=3x2，y=3(x- -1)2和和y=3(x+1)2的的图像图像 二次函数二次函数y=3(x+1)2与与y=3x2的图像形状相同，可以看作是抛物线的图像形状相同，可以看作是抛物线y=3x2整体沿整体沿x轴向左平移了轴向左平移了1 个单位个单位.结论结论一般地，一般地，二次二次函数函数y=a( (x- -h) )2在在h取不同值时，它的取不同值时，它的图象图象可以看
13、做可以看做y=ax2的的图象图象向左或向右做平移而得到的，向左或向右做平移而得到的，它的对称轴是它的对称轴是x=h，顶点坐标是，顶点坐标是( (h，0).). 类似地，类似地， 我们可以我们可以有下列有下列结论：结论：探究探究 如何画二次函数如何画二次函数 的图象？的图象？ 我们来探究二次函数我们来探究二次函数 与与 之间的关系之间的关系. .二次函数二次函数图象上的点图象上的点横坐标横坐标x纵坐标纵坐标yaa 从上表看出：对于每一个给定的从上表看出：对于每一个给定的x值，函数值，函数的值都要比函数的值都要比函数 的值大的值大3，由此可见函数，由此可见函数 的图象可由二次函数的图象可由二次函数
14、 的图象向上平移的图象向上平移3个单位而得到个单位而得到( (如如下下图图).). 因此，二次函数因此，二次函数 的图象也是抛的图象也是抛物线，它的对称轴为直线物线，它的对称轴为直线x=1( (与抛物线与抛物线 的对称轴一样的对称轴一样) )，顶点坐标为，顶点坐标为( (1，3)()(它是由抛物它是由抛物线线 的顶点的顶点( (1，0) )向向上上平移平移3个单位得到个单位得到) )，它的开口向上，它的开口向上. .结论结论一般地，二次函数一般地，二次函数y=a( (x- -h) )2+ +k的图象的图象也也是抛物线：是抛物线：抛物线抛物线y=a( (x- -h) )2+ +k对称轴对称轴顶点
15、顶点坐标坐标开口开口方向方向a0x=h( (h，k) )向上向上a0x=h( (h，k) )向下向下举举例例解解例例2 已知已知二次函数二次函数 的的图象象.（1）指出它的）指出它的图象可以看做是象可以看做是函数函数 的的图象象经过怎怎样的的变换而得到而得到的；的；（2）指出它的开口方向、）指出它的开口方向、对称称轴和和顶点坐点坐标；（2）开口向上，对称轴是直线）开口向上，对称轴是直线x=- -1，顶点坐标为，顶点坐标为(-(-1，- -3).).（1）它的）它的图象可以看做是象可以看做是函数函数 的的图象象向左平移向左平移1个个单位，再向下平位，再向下平移移3各各单位而得到位而得到.下面，我
16、下面，我们来研究二次函数来研究二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象的象的对称称轴和和顶点坐点坐标的的计算公式算公式.怎样画二次函数怎样画二次函数y=- -2x2+ +6x- -1 的对称轴和顶点坐标？的对称轴和顶点坐标？动脑筋动脑筋只需把只需把y=- -2x2+ +6x- -1配方成配方成y=a( (x- -h) )2+ +k的形式就可以了的形式就可以了. .配方：配方：对称轴是直线对称轴是直线 ，顶点坐标是顶点坐标是 . .一般地，对于二次函数一般地，对于二次函数y=ax+bx+c，我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐，我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标标. 提取二次项系
17、数提取二次项系数配方配方:加上再减去一次项系加上再减去一次项系数绝对值一半的平方数绝对值一半的平方整理整理:前三项化为平方形式，前三项化为平方形式，后两项合并同类项后两项合并同类项化简化简:去掉中括号去掉中括号即即得到二次函数得到二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象的象的对称称轴和和顶点坐点坐标.对称称轴：顶点坐点坐标：例例3 已知：抛物已知：抛物线y=-3x2+12x-8.(1)求出它的求出它的对称称轴和和顶点坐点坐标；(2)求出求出图象与坐象与坐标轴的交点坐的交点坐标，并画出示意，并画出示意图.解：解： （1）因为）因为y=-3x2+12x-8=-3（x2-4x）-8=-3（x2-4x
18、+4）-8+12=-3（x-2）2+4所以，所以，抛物线抛物线y=-3x2+12x-8的对称轴为的对称轴为x=2，顶点坐标为（，顶点坐标为（2，4）.（2）在）在y=-3x2+12x-8中，令中，令y=0，得，得所以，所以，抛物线与抛物线与x轴的交点有两个，它们的坐标分别为轴的交点有两个，它们的坐标分别为 （2）在）在y=-3x2+12x-8中，令中，令x=0，得，得y=-8.所以，所以，抛物线与抛物线与y轴的交点坐标为（轴的交点坐标为（0，-8）.它的示意图如图它的示意图如图19-13所示所示.图图19-13解：解：由于由于二次函数的二次函数的图象经过图象经过( (2，8) )和和( (4，
19、10) )两点，得两点，得举举例例例例4 已知二次函数已知二次函数 的的图象象经过(2，8)和和(4，10)两点两点，求，求这个二次个二次函数的表达式函数的表达式. 解这个方程组，得解这个方程组，得b=4,c=2.因此，所求的二次函数的表达式为因此，所求的二次函数的表达式为 1.把抛物线把抛物线y=- -x2向左平移向左平移1个单位，然后向上平移个单位，然后向上平移3个单位，则平移个单位，则平移后抛物线的解析式为后抛物线的解析式为 ( ( ) ) A. . y=-(-(x- -1) )2- -3 B. . y=-(-(x+ +1) )2- -3 C. . y=-(-(x- -1) )2+ +3
20、 D. . y=-(-(x+ +1) )2+ +3D解析解析 抛物线抛物线y=- -x2的顶点的顶点( (0，0) )先向左平移先向左平移1个单位，再个单位，再向上平移向上平移3个单位得到个单位得到(-(-1，3) )，该点为所求抛物线的，该点为所求抛物线的顶点，故选顶点，故选D. .练习练习 2.抛物线抛物线y=x2- -3x+ +2与与y轴交点的坐标是轴交点的坐标是( ( ) ) A. . ( (0，2) ) B. . ( (1，0) ) C. . ( (0，- -3) ) D. . ( (0，0) )A解析解析 当当x=0时，时，y=2，所以抛物线与，所以抛物线与y轴的交点坐标是轴的交点坐标是( (0，2) )，故选，故选A. .练习练习再再 见见
