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1、 （第一课时）教学目标： l 1、掌握等差数列定义和通项公式;l 2、提高学生的归纳、猜想能力;l 3、联系生活中的数学。教学重点与难点教学重点与难点：l难点对等差数列特点的理解、把握和应用l重点掌握对数列概念的理解、数列通项公式的推导及应用一、由具体例子归纳等差数列的定义看下面的数列：4，5，6，7，8，9，10 ； 3，0，3，6，； 下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种 （表示鞋长、单位是cm）21，21 ，22，22 ，23，23 ，24，24 ，25 ; 一张梯子从高到低每级的宽度依次为（单位cm） 40，50，60，70，80，90，100； 每级之间的高度相差分别为 40，40，4
2、0，40，40，40. 从第2项起，每一项与前一项差都等于1这就是说，这些数列具有这样的共同特点： 从第从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。从第2项起，每一项与前一项差都等于3从第2项起，每一项与前一项差都等于10从第2项起，每一项与前一项差都等于0 问：这5个数列有什么共同特点？从第2项起，每一项与前一项差都等于 21 21 21 21 21数学语言：数学语言： anan1=d （d是常数，n2，nN*）定义：定义：一般地，如果一个数列从第从第2项起项起，每每一项与它的前一项的差等于同一常数一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列就叫做
3、等差数列, 通常用A P表示。这个常数叫等差数列的公差，用字母d表示。二、由定义归纳通项公式a2 a1=d，a3 a2=d， a4 a3=d，. . . . . .则 a2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3d由此得到 a n=a1+(n1)dan1an2=d,an an1=d.这（n1）个式子迭加an a1= (n1)d当n=1时，上式两边均等于a1，即等式也成立的。这表明当nN*时上式都成立，因而它就是等差数列an的通项公式。三、巩固通项公式an=a1+(n1)d (nN*) （一）求通项an若已知一个等差数列的首项a1和公差d，即可求出an例如：a1=1, d=2
4、, 则 an=1+(n1)2=2n1已知等差数列8，5，2，求 an及a20解：a1=8, d=58=3a20=49an=8+(n1)(3)=3n+11练习：已知等差数列3，7，11， 则 an=_ a4=_ a10=_a an n=a=a1 1+(n+(n1)d (n1)d (nN N* *) )4n-11539(二)求首项a1例如 ：已知a20=49, d=3 则，由a20=a1+(201)(3)得a1=8练习：a4=15 d=3 则a1=_6a an n=a=a1 1+(n+(n1)d (n1)d (nN N* *) )(三)求项数n 例如： 已知等差数列8，5，2问49是第几项? 解
5、：a1=8, d=3 则 an=8+(n1)(3)49=8+(n1)(3)得 n=20.是第20项.a an n=a=a1 1+(n+(n1)d (n1)d (nN N* *) ) 问400是不是等差数列5，9，13, 的项？如果是，是第几项？解：a1=5,d=4 an=5+(n1)(4),则由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得 401=5+(n1)(4)成立所以400不是这个数列的项a an n=a=a1 1+(n+(n1)d (n1)d (nN N* *) )解之得 n= 4399解解2 2：这些三位数为：这些三位数为100100，101101，102102，999999可组成首可
6、组成首 项项a a1 1=100=100，公差，公差d=1d=1，末项为，末项为a an n=999=999的等差数列。的等差数列。 由由 a an n=a=a1 1+(n+(n1)1)1 1得得999=100+999=100+（n n1 1）1 1 n=999n=999100+1=900100+1=900 练习：10 100是不是等差数列2，9，16，的项？如果 是，是第几项？ 如果不是，说明理由. 20 在正整数集合中，有多少个三位数？ 30 在三位正整数集合中有多少个是7的倍数？a an n=a=a1 1+(n+(n1)d (n1)d (nN N* *) )解解3 3：这些数组成首项：这
7、些数组成首项a a1 1=105,=105,公差公差 d=7 d=7的等差数列。的等差数列。 a an n=105+(n=105+(n1)1)7 7 又又a an n999999 即即 105+(n 105+(n1)1)7999 7999 解得解得 n128 n128n nN N* * n n最大为最大为128128， 故共有故共有128128个。个。 75解解1:a1 1=2, a2 2=9,a3 3=16, d=7,an =2+(n-1)=100 n=15.是第15项. (四)求公差d例如 一张梯子最高一级宽33cm，最低一级宽110cm,中 间还有 10级，各级的宽度成等差数列。求公差d
8、及中间各级的宽度。分析：用an表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列。 由题意知 a1=33, a12=110, n=12 由 an=a1+(n-1)d 得 110=33+(12-1)d 解得 d=7从而可求出 a2=33+7=40 a3=40+7=47 a4=54。总结：在 an=a1+(n1)d nN* 中，有an,a1,n,d 四个量,已知其中任意3个量即可求出第四个量。那么如果已知一个等差数列的任意两项，能否求出an呢？a an n=a=a1 1+(n+(n1)d (n1)d (nN N* *) )（五）小综合在等差数列an中已知a5=10, a12=31, 求a1、d及an an=2
9、+(n1)3=3n5知识延伸： 由定义，可知： a6=a5+d a7=a6+d=a5+2d=a5+(75)d a8=a7+d=a5+3d=a5+(85)d a12=a5+(125)d猜想：任意两项an和am之间的 关系：an=am+(nm)d证明：am=a1+(m1)d an=a1+(m1)d+(nm)d =a1+(n1)d本题也可以这样处理： 由a12=a5+(125)d 得 31=10+7d d=3 又 a5=a1+4d a1=2解： 由an=a1+(n1)d得 a5=a1+4d=10 a1=2 a12=a1+11d=31 d=3练习：等差数列an中, 已知 a3=9, 且 a9=3, 则
10、 a12=_ 课后思考： 能否对上面的结论进行推广： 若ap=q 且aq=p (pq) 则ap+q= 0 ?0四、能力培养：两个等差数列5，8，11，和3，7，11，都有100项，求：这两个数列相同项的个数解法一：已知两个等差数列 an: 5，8，11，公差为3 bn: 3，7，11，公差为4 通项公式分别是an=5+(n1)3=3n+2 bn=3+(n1)4=4n1假设an的第n项与bn的第k项相同，即 an=bk 则 3n+2=4k1 n=k1 nN* k必是3的倍数 k=3,6, 9, 12,， 组成新的等差数列cn而相应的 n=3,7,11,15,， 组成新的等差数列dn 即 a3=b
11、3, a7=b6, a11=b9, a15=b12，又因为这两个数列最多只有100项，所以 cn=3+(n1)3100 n100/3=33 n25 dn=3+(n1)4100 n101/4=25 又 nN* 这两个数列共有25项相同。 31 41 41解法二：已知两个等差数列an：5，8，11， 和bn：3, 7, 11, 则 通项公式分别是an=5+(n1)3 bn=3+(n1)4观察： 5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41， 3，7，11，15，19，23，27，31，35，39，43，47，51，因此，这两个数列相同项组成一个首项c1=11, 公差d=12的等差数列cn 又 a100=5+(1001)3=302 b100=3+(1001)4=399因为，相同的项不大于a100和b100中的较小者，所以， cn=11+(n1)12302 得 n25 又 nN* 故这两个数列中相同的项共有25个。 41五、要点扫描：本节课主要学习 等差数列的定义：“从第2 项起，后项 与前一项差为常数”通项公式： an=a1+(n1)d （ nN*） 六、作业：P118 1, 2, 4, 5, 另：已知两个等差数列5，7，9，和 3, 6， 9，共有100项。 求这两个数列相同项的个数。
