《33泰勒公式2-精品文档资料整理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《33泰勒公式2-精品文档资料整理（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高等数学多媒体课件广东石油化工学院理学院数学系广东石油化工学院理学院数学系3.3 泰勒公式函函数数求求值，甚甚至至一一些些较简单的的函函数数求求值，很很难求求出出精精确确值，如如三三角角函函数数、指指数数函函数数、对数数函函数数求求值 因此，研究函数因此，研究函数值的近似的近似计算十分有意算十分有意义上一章我上一章我们利用函数的微分，利用函数的微分，给出了函数近似出了函数近似计算的算的线性函数（一次多次式函数）表示公式性函数（一次多次式函数）表示公式这一近似一近似计算公式算公式虽然可求出函数近似然可求出函数近似值，但存，但存在在问题也很多也很多我我们称函数称函数为关于关于的的n次多次多项式函数
2、式函数设在含在含微分的函数微分的函数值近似近似计算方法启示我算方法启示我们可可设的开区的开区间内有内有n+1阶导数，数，令令，得，得 求一求一阶导，令令得得依此依此类推可求得推可求得即即值可由可由在在点的各点的各阶导数数值确定确定 故，故，可否用上述公式表达呢？可否用上述公式表达呢？ 泰勒利用柯西中泰勒利用柯西中值定理得到如下定理得到如下结论:泰勒中泰勒中值定理定理 设在在内具有内具有阶函函导数，数，则对有有 （3.2）其中其中（3.1）证明明 显然然由于由于在在内具有内具有阶导函数，函数， 所以，所以，在在内也具有内也具有阶导函数，函数， 且且要要证 只要只要证即可即可 由于由于上式上式对函
3、数函数及及在以在以与与的区的区间上上应用柯西中用柯西中值定理就有定理就有为端点端点又因又因为对函数函数与与再以再以及及的区的区间上上应用柯西中用柯西中值定理就有定理就有为端点端点依此方法，依此方法，应用用次柯西中次柯西中值定理后，得定理后，得即即而而（介于介于与与之之间）定理得定理得证(3.2)我我们称多称多项式式（3.3）为函数函数按按幂展开的展开的阶泰勒多泰勒多项式式 （3.1）式称）式称为函数函数按按拉格朗日型余拉格朗日型余项的的n阶泰勒公式泰勒公式幂展开的展开的带有有称称为拉格朗日型余拉格朗日型余项表达式（表达式（3.2）式）式当当泰勒公式泰勒公式为时，上式上式为拉格朗日中拉格朗日中值
4、定理表达式定理表达式因因此此，拉拉格格朗朗日日中中值定定理理是是泰泰勒勒中中值 定定 理理 在在n=0时 的的 特特例例如果如果对于于，（为正常数），正常数），则有有这样得到得到因此，因此，可表示可表示为 解决了我解决了我们前面提出的前面提出的问题.则对及及一定有一定有推推论 若若在在内有内有阶导，且且（3.4） （3. 5） （3.4）式称）式称为按按幂展开的展开的带有有皮皮亚诺表达式（表达式（3.5）式称）式称为型余型余项的的n阶泰勒公式泰勒公式，皮皮亚诺（Peano）型余）型余项例例1 按按的的幂展开多展开多项式函数式函数 解解 因因为， ， ，所以所以例例2 求函数求函数按按的的幂展开
5、的展开的带有有拉格朗日型拉格朗日型和和皮皮亚诺型型的三的三阶泰勒公式泰勒公式解解 ，按按的的幂展开的拉格朗日型展开的拉格朗日型3阶泰勒公式泰勒公式为例例2 求函数求函数按按的的幂展开的展开的带有有拉格朗日型拉格朗日型和和皮皮亚诺型型的三的三阶泰勒公式泰勒公式按按的的幂展开的展开的皮皮亚诺型型3阶泰勒公式泰勒公式为解解在泰勒公式中，令在泰勒公式中，令，泰勒公式，泰勒公式变得十分得十分简单:（拉格朗日型）（拉格朗日型）（3.6）（皮亚诺型）（皮亚诺型） （3.7）（3.6）、（）、（3.7）式的泰勒公式我）式的泰勒公式我们称称为马克克劳林林（Maclaurin）公式）公式第二章，我第二章，我们得到
6、了几个重要函数的得到了几个重要函数的n阶导函数公式函数公式:，.可知可知这几个重要函数在几个重要函数在x=0点的点的n阶导数数为:因此，我因此，我们很易得到很易得到这些函数的些函数的阶马克克劳林公式林公式:或或或或或或或或几个初等函数的麦克劳林公式（几个初等函数的麦克劳林公式（读者可自行求出这些重读者可自行求出这些重要公式要公式）其中其中类似可得其中已知其中类似可得（4）其中（5） 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式应用函数的用函数的马克克劳林公式不但可以近似林公式不但可以近似计算算函数函数值，准确估，准确估计误差，而且差，而且还能达到我能达到我们任意任意需要的精度需要的精度随着随着
7、计算机技算机技术的的发展，由于多展，由于多项式函数易于式函数易于上机上机编程程计算，使我算，使我们可以可以对函数函数值近似近似计算的精算的精度越来越高度越来越高泰勒公式的应用泰勒公式的应用-在近似计算中的应用在近似计算中的应用 误差误差M 为为在包含在包含 0 , x 的某区间上的上界的某区间上的上界.需解问题的类型需解问题的类型:1) 已知已知 x 和误差限和误差限 , 要求确定项数要求确定项数 n ;2) 已知项数已知项数 n 和和 x , 计算近似值并估计误差计算近似值并估计误差;3) 已知项数已知项数 n 和误差限和误差限 , 确定公式中确定公式中 x 的适用范围的适用范围.已知已知解
8、解:令令 x = 1 , 得得的麦克劳林公式为的麦克劳林公式为例例3 计算无理数计算无理数 e 的近似值的近似值 , 使误差不超过使误差不超过要使要使 ， 只要只要即即 解得解得所以，当所以，当时,计算得算得，其，其误差不超差不超过同同样方法，我方法，我们可以通可以通过ln(1+x)的的马克克劳林林公式公式计算出算出ln2，ln3设定精度的近似定精度的近似值利用函数的利用函数的马克克劳林公式近似林公式近似计算函数算函数值，n取越大，取越大，计算精度越高算精度越高问题讨论：1试比比较函数的微分法近似函数的微分法近似计算与函数的算与函数的马克克劳林公式近似林公式近似计算的算的联系与差异系与差异2给出求函数出求函数马克克劳林公式的一般方法林公式的一般方法说明明在一定精度要求下，用函数在一定精度要求下，用函数马克克劳林公式近似林公式近似计算函算函数数值的方法的方法本本节研究了函数利用多研究了函数利用多项式函数表示的方法式函数表示的方法泰勒泰勒公式和公式和马克克劳林式林式这些表示方法些表示方法为函数函数值的近似的近似计算提供了十分有效的工具算提供了十分有效的工具同同时，我，我们还给出了几个十分重要的函数出了几个十分重要的函数的的马克克劳林公式，并林公式，并给出了利用出了利用这些公式近似些公式近似计算算函数函数值的方法的方法
