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1、回回归模型是用模型是用统计分析方法建立的最常用的一分析方法建立的最常用的一类模型模型 数学建模的根本方法数学建模的根本方法机理分析机理分析测试分析分析经过对数据的数据的统计分析，找出与数据分析，找出与数据拟合最好的模型合最好的模型 不涉及回不涉及回归归分析的数学原理和方法分析的数学原理和方法 经过实经过实例例讨论讨论如何如何选择选择不同不同类类型的模型型的模型 对软对软件得到的件得到的结结果果进进展分析，展分析，对对模型模型进进展改良展改良 由于客由于客观事物内部事物内部规律的复律的复杂及人及人们认识程度的限制程度的限制,无法分析无法分析实践践对象内在的因果关系，建立符合机理象内在的因果关系，
2、建立符合机理规律的数学模型。律的数学模型。 10.1 牙膏的销售量牙膏的销售量 问题建立牙膏建立牙膏销售量与价售量与价钱、广告投入之、广告投入之间的模型的模型 预测在不同价在不同价钱和广告和广告费用下的牙膏用下的牙膏销售量售量 搜集了搜集了30个个销售周期本公司牙膏售周期本公司牙膏销售量、价售量、价钱、广告广告费用，及同期其它厂家同用，及同期其它厂家同类牙膏的平均售价牙膏的平均售价 9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.80298.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851销售量销售量(百万支百万支)价钱差价钱差
3、元元广告费用广告费用(百万元百万元)其它厂家其它厂家价钱价钱(元元)本公司价本公司价钱钱(元元)销售销售周期周期根本模型根本模型y 公司牙膏公司牙膏销销售量售量x1其它厂家与本公司价其它厂家与本公司价钱钱差差x2公司广告公司广告费费用用x2yx1yx1, x2解解释变释变量量(回回归变归变量量, 自自变变量量) y被解被解释变释变量量 因因变变量量 0, 1 , 2 , 3 回回归归系数系数 随机随机误误差差 均均值为值为零的正零的正态态分布随机分布随机变变量量 MATLAB 统计统计工具箱工具箱 模型求解模型求解b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,alpha) 输
4、入入 x= n 4数数据矩据矩阵阵, 第第1列列为为全全1向向量量alpha(置信程度置信程度,0.05) b的估的估计计值值 bintb的置信区的置信区间间 r 残差向量残差向量y-xb rintr的置信区的置信区间间 Stats检验统计检验统计量量 R2,F, p yn维维数据向量数据向量输出出 由数据由数据 y,x1,x2估估计参数参数参数估计值参数估计值置信区间置信区间17.32445.7282 28.92061.30700.6829 1.9311 -3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9409 p=0.000
5、0 0 1 2 3结果分析结果分析y的的90.54%可由模型确定可由模型确定 参数参数参数估计值参数估计值置信区间置信区间17.32445.7282 28.92061.30700.6829 1.9311 -3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000 0 1 2 3F远远超越超越F检验检验的的临临界界值值 p远远小于小于=0.05 2的置信区的置信区间间包含零点包含零点(右右端点距零点很近端点距零点很近) x2对对因因变变量量y 的的影响不太影响不太显显著著x22x22项显项显著著 可将可将x2保管在
6、模型中保管在模型中 模型从整体上看成立模型从整体上看成立销售量预测销售量预测 价价钱差差x1=其它厂家价其它厂家价钱x3-本公司价本公司价钱x4估估计x3 调整整x4控制价控制价钱差差x1=0.2元，投入广告元，投入广告费x2=650万元万元销售量售量预测区区间为 7.8230，8.7636置信度置信度95%上限用作上限用作库存管理的目的存管理的目的值 下限用来把握公司的下限用来把握公司的现金流金流 假假设估估计x3=3.9，设定定x4=3.7，那么可以，那么可以95%的的把握知道把握知道销售售额在在 7.83203.7 29百万元以百万元以上上控制控制x1经过经过x1, x2预测预测y(百万
7、支百万支)模型改良模型改良x1和和x2对对y的影响独立的影响独立 参数参数参数估计值参数估计值置信区间置信区间17.32445.7282 28.92061.30700.6829 1.9311 -3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000 0 1 2 3参数参数参数估计值参数估计值置信区间置信区间29.113313.7013 44.525211.13421.9778 20.2906 -7.6080-12.6932 -2.5228 0.67120.2538 1.0887 -1.4777-2.8518 -
8、0.1037 R2=0.9209 F=72.7771 p=0.0000 3 0 1 2 4x1和和x2对对y的影响的影响有交互作有交互作用用两模型销售量预测比较两模型销售量预测比较(百万支百万支)区区间 7.8230，8.7636区区间 7.8953，8.7592 (百万支百万支)控制价控制价钱差差x1=0.2元，投入广告元，投入广告费x2=6.5百万元百万元预测区区间长度更短度更短 略有添加略有添加 x2=6.5x1=0.2 x1x1x2x2两模型两模型 与与x1,x2x1,x2关系的比较关系的比较交互作用影响的讨论交互作用影响的讨论价价钱差差 x1=0.1 价价钱差差 x1=0.3加大广告
9、投入使加大广告投入使销售量添加售量添加 x2大于大于6百万元百万元价价钱差差较小小时添加添加的速率更大的速率更大 x2价钱优势会使销售量添加价钱优势会使销售量添加 价钱差较小时更需求靠广告价钱差较小时更需求靠广告来吸引顾客的眼球来吸引顾客的眼球 完全二次多项式模型完全二次多项式模型 MATLAB中有命令中有命令rstool直接求解直接求解x1x2从输出从输出 Export 可得可得10.2 软件开发人员的薪金软件开发人员的薪金资历 从事从事专业任任务的年数；管理的年数；管理 1= 1=管理人管理人员，0=0=非管理人非管理人员；教育；教育 1= 1=中学，中学，2=2=大学，大学，3=3=更高
10、程度更高程度建立模型研建立模型研讨薪金与薪金与资历、管理、管理责任、教育程度的关系任、教育程度的关系分析人事分析人事战略的合理性，作略的合理性，作为新聘用人新聘用人员薪金的参考薪金的参考 编编号号薪金薪金资资历历管管理理教教育育0176111021160810303187011130411283102编编号号薪金薪金资资历历管管理理教教育育422783716124318838160244174831601451920717024619346200146名软件开发人员的档案资料名软件开发人员的档案资料 分析与假设分析与假设 y 薪金，薪金，x1 资历资历 年年 x2 = 1 管理人管理人员员，x
11、2 = 0 非管理人非管理人员员1=中学中学2=大学大学3=更高更高资历每加一年薪金的增每加一年薪金的增长是常数；是常数；管理、教育、管理、教育、资历之之间无交互作用无交互作用 教教育育线性回性回归模型模型 a0, a1, , a4是待估是待估计计的回的回归归系数，系数，是随机是随机误误差差 中学：中学：x3=1, x4=0 x3=1, x4=0 ；大学：；大学：x3=0, x4=1x3=0, x4=1； 更高：更高：x3=0, x3=0, x4=0 x4=0 模型求解模型求解参数参数参数估计值参数估计值置信区间置信区间a011032 10258 11807 a1546 484 608 a26
12、883 6248 7517 a3-2994 -3826 -2162 a4148 -636 931 R2=0.957 F=226 p=0.000R2,F, p 模型整体上可用模型整体上可用资历添加添加1 1年薪年薪金增金增长546 546 管理人管理人员薪金多薪金多6883 6883 中学程度薪金比更中学程度薪金比更高的少高的少2994 2994 大学程度薪金比更大学程度薪金比更高的多高的多148 148 a4置信区置信区间间包含零点，包含零点，解解释释不可靠不可靠!中学：中学：x3=1, x4=0;x3=1, x4=0;大学：大学：x3=0, x4=1; x3=0, x4=1; 更高：更高：x
13、3=0, x4=0. x3=0, x4=0. x2 = 1 管理，管理，x2 = 0 非管理非管理x1资历资历(年年)残差分析方法残差分析方法 结果分析结果分析残差残差e 与资历与资历x1的关系的关系 e与管理与管理教育教育组组合的关系合的关系 残差全残差全为正，或全正，或全为负，管，管理理教育教育组合合处置不当置不当 残差大残差大约分成分成3 3个程度，个程度， 6 6种管理种管理教育教育组合混在合混在一同，未正确反映一同，未正确反映 。应在模型中添加管理在模型中添加管理x2x2与教与教育育x3, x4x3, x4的交互的交互项 组合组合123456管理管理010101教育教育112233管
14、理与教育的组合管理与教育的组合进一步的模型进一步的模型添加管理添加管理x2x2与教育与教育x3, x4x3, x4的交互的交互项参数参数参数估计值参数估计值置信区间置信区间a01120411044 13a1497486 508a270486841 7255a3-1727-1939 -1514a4-348-545 152a5-3071-3372 -2769a618361571 2101R2=0.999 F=554 p=0.000R2,F有改良，一切回有改良，一切回归归系数置信区系数置信区间间都不含零点，模型完全可用都不含零点，模型完全可用 消除了不正常景象消除了不正常景象 异常数据异常数据(33
15、(33号号) )应去掉去掉 e x1 e 组合组合去掉异常数据后的结果去掉异常数据后的结果参数参数参数估计值参数估计值置信区间置信区间a01120011 11261a1498494 503a270416962 7120a3-1737-1818 -1656a4-356-431 281a5-3056-3171 2942a620191894 2100R2= 0.9998 F=36701 p=0.0000e x1 e 组合组合R2： 0.957 0.999 0.9998F： 226 554 36701 置信区置信区间长间长度更短度更短残差残差图非常正常非常正常最最终模型的模型的结果可以运用果可以运用模
16、型运用模型运用 制定制定6 6种管理种管理教育教育组合人合人员的的“根底薪金根底薪金( (资历为0 0组合组合管理管理教育教育系数系数“根底薪金根底薪金101a0+a39463211a0+a2+a3+a513448302a0+a410844412a0+a2+a4+a619882503a011200613a0+a218241中学：中学：x3=1, x4=0 x3=1, x4=0 ；大学：；大学：x3=0, x4=1x3=0, x4=1； 更高：更高：x3=0, x3=0, x4=0 x4=0 x1= 0； x2 = 1 管理，管理，x2 = 0 非管理非管理大学程度管理人大学程度管理人员比更高程
17、度管理人比更高程度管理人员的薪金高的薪金高 大学程度非管理人大学程度非管理人员比更高程度非管理人比更高程度非管理人员的薪金略低的薪金略低 对定性要素定性要素( (如管理、教育如管理、教育) )，可以引入，可以引入0-10-1变量量处置，置，0-10-1变量的个数量的个数应比定性要素的程度少比定性要素的程度少1 1 软件开发人员的薪金软件开发人员的薪金残差分析方法可以残差分析方法可以发现模型的缺陷，引入交互作用模型的缺陷，引入交互作用项经常可以改善模型常可以改善模型 剔除异常数据，有助于得到更好的剔除异常数据，有助于得到更好的结果果注：可以直接注：可以直接对6 6种管理种管理教育教育组合引入合引
18、入5 5个个0-10-1变量量 10.3 酶促反响酶促反响 问题研研讨酶促反响促反响酶催化反响中催化反响中嘌呤霉素呤霉素对反反响速度与底物反响物响速度与底物反响物浓度之度之间关系的影响关系的影响 建立数学模型，反映建立数学模型，反映该酶促反响的速度与底促反响的速度与底物物浓度以及度以及经嘌呤霉素呤霉素处置与否之置与否之间的关系的关系 设计了两个了两个实验 ：酶经过嘌呤霉素呤霉素处置；置；酶未未经嘌呤霉素呤霉素处置。置。实验数据数据见下表下表: 方方案案底物浓度底物浓度(ppm)0.020.060.110.220.561.10反反应速度速度处理理764797107123 139 159 152
19、191 201 207 200未未处理理6751848698115 131 124 144 158 160/线性化模型线性化模型 经嘌呤霉素呤霉素处置后置后实验数据的估数据的估计结果果 参数参数参数估参数估计值（10-3）置信区置信区间（10-3） 15.1073.539 6.676 20.2470.176 0.319R2=0.8557 F=59.2975 p=0.0000对 1 , 2非非线性性 对对 1, 2线线性性 线性化模型结果分析线性化模型结果分析 x较较大大时时，y有有较较大偏向大偏向 1/x较较小小时时有很好的有很好的线线性性趋势趋势，1/x较较大大时时出出现现很大的起落很大的起
20、落 参数估参数估计时计时，x x较较小小 1/x1/x很大很大 的数据控制的数据控制了回了回归归参数确参数确实实定定 1/y1/xxybeta,R,J = nlinfit (x,y,model,beta0) beta的置信区的置信区间间MATLAB 统计统计工具箱工具箱 输入入 x自自变变量数据矩量数据矩阵阵y 因因变变量数据向量量数据向量beta 参数的估参数的估计值计值R 残差，残差，J 估估计预计预测误测误差的差的Jacobi矩矩阵阵 model 模型的函数模型的函数M文件名文件名beta0 给给定的参数初定的参数初值值 输出出 betaci =nlparci(beta,R,J) 非线性
21、模型参数估计非线性模型参数估计function y=f1(beta, x)y=beta(1)*x./(beta(2)+x);x= ; y= ;beta0=195.8027 0.04841;beta,R,J=nlinfit(x,y,f1,beta0);betaci=nlparci(beta,R,J);beta, betaci beta0线线性化性化模型估模型估计结计结果果 非线性模型结果分析非线性模型结果分析参数参数参数估参数估计值置信区置信区间 1212.6819197.2029 228.1609 20.06410.0457 0.0826 画面左下方的画面左下方的Export 输出其它出其它统
22、计结果。果。拖拖动画面的十字画面的十字线，得，得y的的预测值和和预测区区间剩余剩余规范差范差s= 10.9337最终反响速度为最终反响速度为半速度点半速度点(到达最终速度一半到达最终速度一半时的时的x值值 )为为其它其它输出出命令命令nlintool 给出交互画面出交互画面o 原始数据原始数据+ 拟合结果拟合结果 混合反响模型混合反响模型 x1为为底物底物浓浓度，度， x2为为一示性一示性变变量量 x2=1表示表示经过处经过处置，置，x2=0表示未表示未经处经处置置 1是未是未经处经处置的最置的最终终反响速度反响速度 1是是经处经处置后最置后最终终反响速度的增反响速度的增长值长值 2是未是未经
23、处经处置的反响的半速度点置的反响的半速度点 2是是经处经处置后反响的半速度点的增置后反响的半速度点的增长值长值 在同一模型中思索在同一模型中思索嘌呤霉素呤霉素处置的影响置的影响o 原始数据原始数据+ 拟合结果拟合结果 混合模型求解混合模型求解用用nlinfit 和和 nlintool命令命令估估计结果和果和预测剩余剩余规范差范差s= 10.4000 参数参数参数估参数估计值置信区置信区间 1160.2802145.8466 174.7137 20.04770.0304 0.0650 152.403532.4130 72.3941 20.0164-0.0075 0.0403 2置信区置信区间间包
24、含零点，包含零点，阐阐明明 2对对因因变变量量y的影响不的影响不显显著著参数初值参数初值(基于对数据的分析基于对数据的分析)经嘌呤霉素处置的作用不影响半速度点参数经嘌呤霉素处置的作用不影响半速度点参数未经未经处置处置经处置经处置o 原始数据原始数据+ 拟合结果拟合结果 未经未经处置处置经处置经处置简化的混合模型简化的混合模型 简化的混合模型方式化的混合模型方式简单，参数置信区，参数置信区间不含零点不含零点剩余剩余规范差范差 s = 10.5851，比普通混合模型略大，比普通混合模型略大 估估计结果和果和预测参参数数参数估参数估计值置信区置信区间 1166.6025 154.4886 178.7
25、164 20.05800.0456 0.0703 142.025228.9419 55.1085普通混合模型与简化混合模型预测比较普通混合模型与简化混合模型预测比较实际值一般模型一般模型预测值(一般一般模型模型）简化模型化模型预测值(简简化化模型模型）6747.34439.207842.73585.44465147.34439.207842.73585.44468489.28569.571084.73567.0478191190.83299.1484189.05748.8438201190.83299.1484189.05748.8438207200.968811.0447198.183710
26、.1812200200.968811.0447198.183710.1812简化混合模型的化混合模型的预测区区间较短，更短，更为适用、有效适用、有效预测区区间为预测值 注：非注：非线性模型性模型拟合程度的合程度的评价无法直接利用价无法直接利用线性模型的方法，但性模型的方法，但R2 与与s依然有效。依然有效。酶促反响酶促反响 反响速度与底物反响速度与底物浓度的关系度的关系非非线性关系性关系求解求解线性模型性模型 求解非求解非线性模型性模型机理分析机理分析嘌呤霉素呤霉素处置置对反响速度与底物反响速度与底物浓度关系的影响度关系的影响混合模型混合模型 发现问题，发现问题，得参数初值得参数初值引入引入0
27、-10-1变量变量简化模型化模型 检查参数置信区检查参数置信区间能否包含零点间能否包含零点10.4 投资额与国民消费总值和物价指数投资额与国民消费总值和物价指数 问题建立投建立投资额模型，研模型，研讨某地域某地域实践投践投资额与国与国民消民消费总值 ( GNP ) 及物价指数及物价指数 ( PI ) 的关系的关系2.06883073.0424.5201.00001185.9195.0101.95142954.7474.9190.96011077.6166.491.78422631.7401.9180.9145 992.7144.281.63422417.8423.0170.8679 944.0
28、149.371.50422163.9386.6160.8254 873.4133.361.40051918.3324.1150.7906 799.0122.851.32341718.0257.9140.7676 756.0125.741.25791549.2206.1130.7436 691.1113.531.15081434.2228.7120.7277 637.797.421.05751326.4 229.8110.7167 596.7 90.91物价物价指数指数国民消国民消费总值投投资额年份年份序号序号物价物价指数指数国民消国民消费总值投投资额年份年份序号序号根据根据对未来未来GNPGN
29、P及及PIPI的估的估计，预测未来投未来投资额 该地域延地域延续2020年的年的统计数据数据 时间序列中同一序列中同一变量的量的顺序序观测值之之间存在自相关存在自相关以以时间为序的数据，称序的数据，称为时间序列序列 分分析析许多多经济数据在数据在时间上有一定的滞后性上有一定的滞后性 需求需求诊断并消除数据的自相关性，建立新的模型断并消除数据的自相关性，建立新的模型假假设采用普通回采用普通回归模型直接模型直接处置，将会出置，将会出现不良后不良后果果 投资额与国民消费总值和物价指数投资额与国民消费总值和物价指数 1.32341718.0257.9140.7676 756.0125.741.2579
30、1549.2206.1130.7436 691.1113.531.15081434.2228.7120.7277 637.797.421.05751326.4 229.8110.7167 596.7 90.91物价物价指数指数国民消国民消费总值投投资额年份年份序号序号物价物价指数指数国民消国民消费总值投投资额年份年份序号序号根本回归模型根本回归模型投投资额与与 GNP及物价指数及物价指数间均有很均有很强的的线性关系性关系t 年份，年份， yt 投投资额资额，x1t GNP, x2t 物价指数物价指数 0, 1, 2 回回归归系数系数 x1tytx2tyt t 对对t相互独立的零均相互独立的零均
31、值值正正态态随机随机变变量量根本回归模型的结果与分析根本回归模型的结果与分析 MATLAB 统计统计工具箱工具箱 参数参数参数估参数估计值置信区置信区间 0322.7250224.3386 421.1114 10.61850.4773 0.7596 2-859.4790-1121.4757 -597.4823 R2= 0.9908 F= 919.8529 p=0.0000剩余剩余规范差范差 s=12.7164 s=12.7164 没有思索没有思索时间序列数据的滞后性影响序列数据的滞后性影响R20.9908，拟拟合度高合度高模型模型优点点模型缺陷模型缺陷能能够忽忽视了随机了随机误差存在自相关；假
32、差存在自相关；假设存在自相关性，用此模型会有不良后果存在自相关性，用此模型会有不良后果自相关性的定性诊断自相关性的定性诊断 残差残差诊断法断法模型残差模型残差作残差作残差 etet-1 散点散点图大部分点落在第大部分点落在第1, 3象限象限 t 存在正的自相关存在正的自相关 大部分点落在第大部分点落在第2, 4象限象限 自相关性直自相关性直观判判别在在MATLAB任任务区中区中输出出et为为随机随机误误差差 t 的估的估计计值值 et-1et t 存在负的自相关存在负的自相关 根本回归模型的随机误根本回归模型的随机误差项差项t t 存在正的自相存在正的自相关关 自回归性的定量诊断自回归性的定量
33、诊断自回归模型自回归模型自相关系数自相关系数 0, 1, 2 回回归归系数系数 = 0无自相关性无自相关性 0 0如何估如何估计 如何消除自相关性如何消除自相关性D-W统计量统计量D-W检验检验 ut 对对t相互独立的零均相互独立的零均值值正正态态随机随机变变量量存在负自相关性存在负自相关性存在正自相关性存在正自相关性广义差分法广义差分法 D-W统计量与统计量与D-W检验检验 检验程度程度, ,样本容量，本容量，回回归变量数目量数目D-W分布表分布表n较大较大DW4-dU44-dLdUdL20正正自自相相关关负负自自相相关关不不能能确确定定不不能能确确定定无无自自相相关关检验临界界值dLdL和
34、和dUdU由由DW值的大小确定自相关性的大小确定自相关性广义差分变换广义差分变换 以以 *0, 1 , 2 为回回归系数的普通回系数的普通回归模模型型原模型原模型 DW值 D-W检验检验无自相关无自相关 有自相关有自相关 广义广义差分差分继续此继续此过程过程原模型原模型 新模型新模型 新模型新模型 步步骤 原模型原模型变换变换不能确定不能确定添加数据量；添加数据量；选用其它方法选用其它方法 投资额新模型的建立投资额新模型的建立 DWold dL 作作变换 原模型原模型残差残差et样本容量本容量n=20，回，回归变量数目量数目k=3，=0.05 查表查表临界界值dL=1.10, dU=1.54D
35、Wold=0.8754原模型有原模型有正自相关正自相关DW4-dU44-dLdUdL20正正自自相相关关负负自自相相关关不不能能确确定定不不能能确确定定无无自自相相关关新模型的自相关性检验新模型的自相关性检验dU DWnew 4-dU 新模型新模型残差残差et样本容量本容量n=19，回，回归变量数目量数目k=3，=0.05 查表查表临界界值dL=1.08, dU=1.53DWnew=1.5751新模型无自相关性新模型无自相关性DW4-dU44-dLdUdL20正正自自相相关关负负自自相相关关不不能能确确定定不不能能确确定定无无自自相相关关新模型新模型复原复原为原始原始变量量一一阶自回自回归模型模型一一阶自回自回归模型残差模型残差et比根本回比根本回归模型要小模型要小新模型新模型 et *，原模型，原模型 et +残差图比较残差图比较新模型新模型 t *，新模型，新模型 t +拟合图比较拟合图比较模型结果比较模型结果比较根本回归模型根本回归模型一阶自回归模型一阶自回归模型
