第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 总纲目录教材研读1.简单的逻辑联结词2.全称量词与存在量词3.含有一个量词的命题的否定考点突破考点二 含有逻辑联结词的命题的真假判断考点二 含有逻辑联结词的命题的真假判断考点一 全称命题、特称命题考点三 由命题的真假确定参数的取值范围考点三 由命题的真假确定参数的取值范围 1.简单的逻辑联结词简单的逻辑联结词(1)命题中的① 且 、② 或 、③ 非 叫做逻辑联结词.(2)命题p∧q、p∨q、¬p的真假判断教材研读教材研读pqp∧qp∨q¬p真真④ 真 真假真假⑤ 假 真假假真假真⑥ 真 假假假⑦ 假 ⑧ 真 2.全称量词与存在量词全称量词与存在量词(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,用“⑨ ∀ ”表示;含有全称量词的命题叫做全称命题.(2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用“⑩ ∃ ”表示;含有存在量词的命题叫做特称命题.3.含有一个量词的命题的否定含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M,p(x) ∃x0∈M,¬p(x0) ∃x0∈M,p(x0) ∀x∈M,¬p(x) 1.若命题p:∀x∈R,2x2-1>0,则该命题的否定是 ( )A.∀x∈R,2x2-1<0 B.∀x∈R,2x2-1≤0C.∃x∈R,2x2-1≤0 D.∃x∈R,2x2-1>0答案答案 C 全称命题的否定为特称命题.命题p的否定为∃x∈R,2x2-1≤0,故选C.C 2.已知命题p:∃x0∈R, =1,则¬p是 ( )A.∀x∈R,2x≠1 B.∀x∉R,2x≠1C.∃x0∈R, ≠1 D.∃x0∉R, ≠1答案答案 A 命题p:∃x0∈R, =1的否定为¬p:∀x∈R,2x≠1,故选A.A 3.已知命题p:2是偶数,命题q:2是质数,则命题¬p,¬q,p∨q,p∧q中 真 命 题的个数为 ( )A.1 B.2 C.3 D.4答案答案 B p和q显然都是真命题,所以¬p,¬q都是假命题,p∨q,p∧q都是真命题.B 4.下列命题中的假命题是 ( )A.∃x0∈R,lg x0=1 B.∃x0∈R,sin x0=0C.∀x∈R,x3>0 D.∀x∈R,2x>0答案答案 C 当x=10时,lg 10=1,则A为真命题;当x=0时,sin 0=0,则B为真命题;当x<0时,x3<0,则C为假命题;由指数函数的性质知,∀x∈R,2x>0,则D为真命题.故选C.C 5.已知命题p:对任意x∈R,总有|x|≥0;命题q:x=1是方程x+2=0的根,则下列 命 题 为 真 命 题 的 是 ( )A.p∧(¬q) B.(¬p)∧qC.(¬p)∧(¬q) D.p∧q答案答案 A 由题意知,命题p为真命题,命题q为假命题,故¬q为真命题,所以p∧(¬q)为真命题.A 6.命题p的否定是“对所有正数x, >x+1”,则命题p是 .答案答案 ∃x0∈(0,+∞), ≤x0+1解析解析 因为p是¬p的否定,所以只需将全称量词变为存在量词,再对结论否定即可.∃x0∈(0,+∞), ≤x0+1 命题方向一 全称命题、特称命题的否定命题方向一 全称命题、特称命题的否定典例典例1 (1)(2018福建福州质检)已知命题p:∀x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≥0,则ဌ p是 ( )A.∃x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≤0B.∀x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≤0C.∃x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0D.∀x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0考点突破考点突破考点一 全称命题、特称命题考点一 全称命题、特称命题 A.∃x∈ ,cos x>xB.∃x∈ ,cos xxD.∀x∈ ,cos x≤x(2)已知命题p:∃x∈ ,cos x≤x,则¬p为 ( ) 答案答案 (1)C (2)C解析解析 (1)已知全称命题p:∀x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)≥0,则¬p:∃x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0,故选C.(2)原命题是一个特称命题,其否定是一个全称命题,而“cos x≤x”的否定是“cos x>x”.故选C. 命题方向二 全称命题、特称命题的真假判断命题方向二 全称命题、特称命题的真假判断典例典例2 (1)(2017东北三校联考(一))下列命题中,是假命题的是 ( )A.∃x∈R,log2x=0 B.∃x∈R,cos x=1C.∀x∈R,x2>0 D.∀x∈R,2x>0(2)下列命题中的真命题是 ( )A.∀x∈R,x2-x-1>0B.∀α,β∈R,sin(α+β)0,所以选项D为真命题.故选C.(2)因为x2-x-1= - ,所以A是假命题.当α=β=0时,有sin(α+β)=sin α+sin β,所以B是假命题.x2-x+1= + ≥ ,所以C是假命题.答案答案 (1)C (2)D当α=β= 时,有sin(α+β)=cos α+cos β, 所以D是真命题,故选D. 1.否定全称命题与特称命题的方法(1)改变量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改变.(2)否定结论:对原命题的结论进行否定.方法技巧方法技巧2.全称命题、特称命题的真假判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判断全称命题是假命题,只要能找出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).(2)要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一个x=x0,使p(x0)成立即可,否则,这一特称命题就是假命题. 易错警示易错警示因为命题p与¬p的真假性相反,因此不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假. 1-1 (2017辽宁沈阳质量检测(一))命题p:“∀x∈ N*, ≤ ”的否定为 ( )A.∀x∈N*, > B.∀x∉N*, > C.∃x∉N*, > D.∃x∈N*, > D答案答案 D 命题p的否定是把“∀”改成“∃”,再把“ ≤ ”改为“ > ”即可,故选D. 1-2 (2017河南郑州质量预测)命题“∃x0∈R, -x0-1>0”的否定是 ( )A.∀x∈R,x2-x-1≤0 B.∀x∈R,x2-x-1>0C.∃x0∈R, -x0-1≤0 D.∃x0∈R, -x0-1≥0答案答案 A 依题意得,命题“∃x0∈R, -x0-1>0”的否定是“∀x∈R,x2-x-1≤0”,故选A.A 1-3 下列命题:①∀x∈R,x2+2>0;②∀x∈N,x4≥1;③∃x∈Z,x3<1;④∃x∈Q,x2=3;⑤∀x∈R,x2-3x+2=0;⑥∃x∈R,x2+1=0.其中真命题的序号为 .①③①③ 答案答案 ①③解析解析 ①由于∀x∈R,都有x2≥0,因而有x2+2≥2,即x2+2>0,所以命题“∀x∈R,x2+2>0”是真命题.②由于0∈N,当x=0时,x4≥1不成立,所以命题“∀x∈N,x4≥1”是假命题.③由于-1∈Z,当x=-1时,x3<1,所以命题“∃x∈Z,x3<1”是真命题.④由于使x2=3成立的数只有± ,而它们都不是有理数,因此,没有任何一个有理数的平方能等于3,所以命题“∃x∈Q,x2=3”是假命题.⑤由于只有当x=2或x=1时,满足x2-3x+2=0,所以命题“∀x∈R,x2-3x+2=0”是假命题.⑥由于不存在一个实数x使x2+1=0成立,所以命题“∃x∈R,x2+1=0”是假命题. 典例典例3 (2017山东,5,5分)已知命题p:∃x∈R,x2-x+1≥0;命题q:若a20恒成立,∴∃x∈R,x2-x+1≥0成立.故命题p为真.q:a20,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2.下列命题为真命题 的 是 ( )A.p∧q B.p∧¬q C.¬p∧q D.¬p∧¬q答案答案 B ∵∀x>0,x+1>1,∴ln(x+1)>0,∴命题p为真命题;当b2x,命题p2:∃θ∈R,sin θ+cos θ= ,则在命题q1:p1∨p2;q2:p1∧p2;q3:(¬p1)∨p2和q4:p1∧(¬p2)中,是真命题的是 .答案答案 q1,q4 解析解析 因为y= 在R上是增函数,即y= >1在(0,+∞)上恒成立,所以命题p1是真命题;sin θ+cos θ= ·sin ≤ ,所以命题p2是假命题, ¬p2是真命题,所以命题q1:p1∨p2,q4:p1∧(¬p2)是真命题. q1,q4 典例典例4 已知命题p:关于x的方程x2-ax+4=0有实根;命题q:关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数.若p∨q是真命题,则实数a的取值范围是 .考点三 由命题的真假确定参数的取值范围考点三 由命题的真假确定参数的取值范围答案答案 (-∞,+∞)解析解析 若命题p是真命题,则Δ=a2-16≥0,即a≤-4或a≥4;若命题q是真命题 , 则 - ≤3,即a≥-12.因为p或q是真命题,所以a∈R,即a的取值范围是 (-∞,+∞).(-∞,+∞) ◆探究1 在本例条件下,若p∧q为真命题,求实数a的取值范围.解析解析 因为p∧q为真,所以p和q均为真,所以a的取值范围是[-12,-4]∪[4,+∞). ◆探究2 在本例条件下,若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围.解析解析 由p∨q是真命题,p∧q是假命题知,命题p和q一真一假.若p真q假,则a<-12;若p假q真,则-44.D 3-2 已知命题p:∃x∈R,mx2+1≤0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的 取 值 范 围 是 ( )A.m≥2 B.m≤-2C.m≤-2或m≥2 D.-2≤m≤2答案答案 A 依题意知p,q均为假命题,当p是假命题时,mx2+1>0恒成立,则有m≥0;当q是真命题时,则有Δ=m2-4<0,即-2