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1、计算流体力学课程大纲课程名称课程名称：计算流体力学计算流体力学 Computational Fluid Dynamics学学 时时：30学学 分分：2主要内容简介：主要内容简介： 本课程主要介绍流体力学问题的计算机数值计算方法，包括有限元法的数学基础、有限差分法、有限元方法、单元与插值函数、流体力学典型问题有限元分析等。使学生掌握计算流体力学的基础理论、方法和技能，为今后从事本专业的科学研究工作和工程技术工作打下基础。 预修课程预修课程：流体力学 课程大纲主要参考书目及文献：主要参考书目及文献：1 1 章章本本照照等等，流流流流体体体体力力力力学学学学数数数数值值值值方方方方法法法法，机机械械
2、工工业业出出版版社社，20032003年年 ( (重重点点参参考考书书，可可到到我我校校图图书书馆馆主主页页上上的的“超超星星数数字字图图书书馆馆”下载本书！）下载本书！）2 2 傅德薰等，傅德薰等，计算流体力学计算流体力学计算流体力学计算流体力学，高等教育出版社，高等教育出版社，20022002年年3 3 张涤明等编，张涤明等编，计算流体力学计算流体力学计算流体力学计算流体力学，中山大学出版社，中山大学出版社，19911991年年4 4 陈材侃编著，陈材侃编著，计算流体力学计算流体力学计算流体力学计算流体力学，重庆大学出版社，重庆大学出版社，19921992年年0.前言流体运动的规律由一组控
3、制方程描述。计算机没有发明前，流体力学家们在对方程经大量简化后能够得到一些线性问题的解析解。但实际的流动问题大都是复杂的非线性问题，无法求得精确的解析解。计算机的出现以及计算技术的迅速发展使人们直接求解控制方程组的梦想逐步得到实现，从而催生了计算流体力学这门交叉学科。 计算流体力学（CFD，Computational Fluid Dynamics）是一门用数值计算方法直接求解流动主控方程（Euler或Navier-Stokes方程）以发现各种流动现象规律的学科。它综合了计算数学、计算机科学、流体力学、科学可视化等多种学科。广义的CFD包括计算水动力学、计算空气动力学、计算燃烧学、计算传热学、计
4、算化学反应流动，甚至数值天气预报也可列入其中。0.前言自上世纪六十年代以来CFD技术得到飞速发展，其原动力是不断增长的工业需求，而航空航天工业自始至终是最强大的推动力。传统飞行器设计方法试验昂贵、费时，所获信息有限，迫使人们需要用先进的计算机仿真手段指导设计，大量减少原型机试验，缩短研发周期，节约研究经费。四十年来，CFD在湍流模型、网格技术、数值算法、可视化、并行计算等方面取得飞速发展，并给工业界带来了革命性的变化。如在汽车工业中，CFD和其它计算机辅助工程（CAE）工具一起，使原来新车研发需要上百辆样车减少为目前的十几辆车；国外飞机厂商用CFD取代大量实物试验，如美国战斗机YF-23采用C
5、FD进行气动设计后比前一代YF-17减少了60的风洞试验量。0.前言当前CFD问题的规模为：机理研究方面如湍流直接模拟，网格数达到了109（十亿）量级，在工业应用方面，网格数最多达到了107（千万）量级。目前在航空、航天、汽车等工业领域，利用CFD进行的反复设计、分析、优化已成为标准的必经步骤和手段。1.计算流体力学的发展及应用20世纪30年代，由于飞机工业的需要、要求用流体力学理论来了解和指导飞机设计。一、计算流体力学的发展一、计算流体力学的发展当时，由于飞行速度很低，可以忽略粘性和旋涡，因此流动的模型为Laplace方程，研究工作的重点是椭圆型方程的数值解。利用复变函数理论和解的迭加方法来
6、求解析解。随着飞机外形设计越来越复杂，出现了求解奇异边界积分方程的方法。以后，为了考虑粘性效应，有了边界层方程的数值计算方法，并发展成以位势方程为外流方程，与内流边界层方程相结合，通过迭代求解粘性干扰流场的计算方法。 在同一时期，许多数学家研究了偏微分方程的数学理论，Hadamard，Courant，Friedrichs等人研究了偏微分方程的基本特性、数学提法的适定性、物理波的传播特性等问题，发展了双曲型偏微分方程理论。以后，Courant，Friedrichs，Lewy等人发表了经典论文，证明了连续的椭圆型、抛物型和双曲型方程组解的存在性和唯一性定理，且针对线性方程的初值问题，首先将偏微分方
7、程离散化，然后证明了离散系统收敛到连续系统，最后利用代数方法确定了差分解的存在性；他们还给出了著名的稳定性判别条件：CFL条件。这些工作是差分方法的数学理论基础。1.计算流体力学的发展及应用20世纪40年代，Von Neumann，Richtmyer，Hopf，Lax和其他一些学者建立了非线性双曲型方程守恒定律的数值方法理论，为含有激波的气体流动数值模拟打下了理论基础。上世纪50年代，仅采用当时流体力学的方法，研究较复杂的非线性流动现象是不够的，特别是不能满足高速发展起来的宇航飞行器绕流流场特性研究的需要。针对这种情况，一些学者开始将基于双曲型方程数学理论基础的时间相关方法用于求解宇航飞行器的
8、气体定常绕流流场问题，这种方法因数学提法适定，又有较好的理论基础，且能模拟流体运动的非定常过程，所以在60年代这是应用范围较广的一般方法。以后由Lax、Kreiss等人给出的非定常偏微分方程差分逼近的稳定性理论，进一步促进了时间相关方法。1.计算流体力学的发展及应用上世纪50年代我国也开始了计算流体力学方面的研究。我国早期的工作是研究钝头体超声速无粘绕流流场的数值解方法，研究钝头体绕流数值解的反方法和正方法。以后，随着我国宇航事业的发展，超声速、高超声速绕流数值计算方法的研究工作发展很快。20世纪70年代，在计算流体力学中取得较大成功的是飞行器跨音速绕流数值计算方法的研究。首先是Murman和
9、Cole用松弛方法求解位势流小扰动方程，数值模拟带激波的跨声速绕流场。解决了跨声速绕流中的混合问题。在他们的工作中第一次将迎风格式应用于空气动力学问题的模拟。不久以后Jameson提出了旋转格式，将穆尔曼-科勒方法推广于求解三维跨声速绕流的全位势流方程，获得成功。同一时期，我国开展了采用时间相关方法求解非定常欧拉方程、可压缩N-S方程和简化N-S方程的计算方法研究。在差分格式的构造方面，提出了求解欧拉方程的特征符号分裂法和三层格式等。在可压缩N-S方程的求解中，计算方法有了很大进展，先后提出了开关函数法、调和因子法、紧致迎风格式、推进迭代法、无波动无自由参数的耗散格式、界值有限格式和耗散比拟方
10、法等。这些研究工作进一步改进了计算方法精度，提高了求解效率，且对流场激波的数值模拟有较高的分辨能力。1.计算流体力学的发展及应用1.计算流体力学的发展及应用80年代以后，计算机硬件技术有了突飞猛进的发展，千万次机、亿次机逐渐进入实际应用。随着计算方法的不断改进和数值分析理论的发展高精度势值模拟已不再是天方夜谭。同时随着人类生产实践活动的不断发展，科学技术的日新月异，一大批高新技术产业对计算流体力学提出了新的要求，同时也为计算流体力学的发展提供了新的机遇。实践与理论的不断互动，形成计算流体力学的新热点、新动力，从而推动计算流体力学不断向前发展。1.计算流体力学的发展及应用首先，在计算模型方面，又
11、提出了一些新的模型。由最初的Euler和N-S方程，扩展到包括湍流、两相流、化学非平衡、太阳风等问题研究模型在内的多个模型。其中以考虑更多流动机制，如各向异性的非线性(应力/应变关系)湍流研究为重点。研研究究结结果果再再次次证证明明，万万能能的的湍湍流流模模型型还还不不存存在在，重重要要的的是是如如何何在在模模型型精精度度和和计计算算量量上上较较好好地地取取得得折折中中；也有学者从更高层次研究湍流模型问题，由湍流流动中速度不可微，怀疑N-S方程的有效性，进而提出以积分方程为基础的数学模型。其次，在计算方法方面，又提出了一些新的计算方法，如新的遗传算法、无网格算法、新型高精度紧致格式、气动计算的
12、新变分原理、结构/非结构混合网格新技术、新型动网格技术等等。目前计算方法的研究集中在高精度格式方法，即追求三阶精度以上，其中又以解决真正实际问题为主。除此之外，计算方法研究还涉及带限制器的高阶插值、谱方法、拉格朗日方法，时-空守恒元方法等等。将其它方法引进传统的计算流体力学也是现阶段的重要成果之一，其中特别值得一提的是将基因算法与传统计算流体力学结合在一起，在域分裂和最优化设计等许多方面显示出了良好的应用前景。在算法分析上，除传统的精度、稳定性、收敛性等方面的分析，还有更深层次的数值动力学分析，即将数值方法看成是动力系统来进行分析，揭示了许多奇异的数值现象。 1.计算流体力学的发展及应用再次，
13、在研究成果方面，英国M.A.Lesdhziaer关于湍流模型、美国H.C.Yee关于计算不确定性、日本学者的玻耳兹曼方程解流动问题、德国的E.vonLavante关于使用并行计算机进行发动机气缸流场涡和激波的非定常流动模拟等等，都有较新的学术思想，较高的学术水平。1.计算流体力学的发展及应用o研究计算方法，包括并行算法和各种新型算法； 目前，计算流体力学研究的热点是：目前，计算流体力学研究的热点是：o研究涡运动和湍流，包括可压和不可压湍流的直接数值模拟、大涡模拟和湍流机理；o研究网格生成技术及计算机优化设计；o研究CFD用于解决实际流动问题，包括计算生物力学、计算声学、微型机械流动、多相流及涡
14、轮机械流动的数值模拟等。二、计算流体力学的应用二、计算流体力学的应用 1.计算流体力学的发展及应用计算流体力学的应用已经从最初的航空航天领域不断地扩展到船舶、海洋、化工、铸造、制冷、工业设计、城市规划设计、建筑消防设计、汽车等多个领域。近几年来计算流体力学在全机流场计算、旋翼计算、航空发动机内流计算、导弹投放、飞机外挂物、水下流体力学、汽车等 方面获得广泛应用。这表明计算流体力学在解决工程实际问题方面具有重要的应用价值。20世纪80年代初期才开始有计算流体力学应用于汽车领域的论文发表。经过短短二十余年，其应用已涉及到汽车车身设计、汽车内部空间的空调与通风、发动机内部的气体流动以及冷却系、汽车液
15、力变矩器、废气涡轮增压器中的压气机和涡轮的叶轮与蜗壳等中的流动现象的研究与计算，同时进一步发展到研究汽车与发动机中传热、燃烧以及预测噪声强度与模具设计等相关的问题。随着计算流体力学在工程技术应用中的迅速推广，计算流体力学也逐渐软件化。CFX、FLUENT、PHOENICS、CFD2000、CFD+等一大批计算流体力学软件已经商品化。这些商业软件既有通用的也有作为特殊用途的专业软件。这些软件能方便地处理工程技术领域内的各种高难度复杂问题，因而极具吸引力。然而计算流体力学软件在某些领域的应用还不成熟，有必要在计算精度、功能的强化、计算的效率、收敛性和操作的简单化等方面作进一步的完善。 1.计算流体
16、力学的发展及应用计算流体力学应用研究中的关键问题包括：对应用于各种具体情况的数学模型、对复杂外形的描述以及对计算网格的划分做进一步研究；探索更有效的算法来提高计算精度，并降低计算费用；进一步开展计算流体力学在各方面的应用等。 任何流体运动的动力学特征都是由质量守恒、动量守恒和能量守恒定律所确定的，这些基本定律可以由流体流动的控制方程组来描述。利用数值方法通过计算机求解描述流体运动的控制方程，揭示流体运动的物理规律，研究流体运动的时一空物理特征，这样的学科称为计算流体力学。 2.计算流体力学常用数值方法简介计算流体力学是一门多领域交叉的应用基础学科，涉及流体力学理论、计算机技术、偏微分方程数学理
17、论、数值方法等学科。一般认为计算流体力学是从20世纪60年代中后期逐步发展起来的，大致经历了四个发展阶段：(1)无粘性线性；(2)无粘性非线性；(3)雷诺平均的N-S方程；(4)完全的N-S方程。随着计算机技术、网络技术、计算方法和后处理技术的迅速发展，利用计算流体力学解决流动问题的能力越来越高，许多复杂的流动问题可以通过数值计算手段进行分析并给出相应的结果。 经过40年来的发展，CFD己成为一种有力的数值实验与设计手段。在许多工业领域解决了大量的工程设计实际问题。现在人们已经可以利用计算流体力学方法来设计飞机的外形，确定其气动载荷，从而有效地提高了设计效率，减少了风洞试验次数，大大地降低了设
18、计成本。此外，计算流体力学也己经大量应用于大气、生态环境、车辆工程、船舶工程、传热以及工业中的化学反应等各个领域，显示了计算流体力学强大的生命力。 2.计算流体力学常用数值方法简介随着计算机技术的发展和所要解决工程问题复杂性的增加，CFD也己发展成为以数值手段求解流体力学物理模型、分析其流动机理为主线，包括计算机技术、计算方法、网格技术和可视化后处理技术等多种技术的综合体。目前CFD主要向2个方向发展：一方面是研究流动非定常稳定性以及湍流流动机理，开展高精度、高分辩率的计算方法和并行算法等的流动机理与算法研究；另一方面是将计算流体力学直接应用于模拟各种实际流动，解决生产中的各种问题。 流体力学
19、数值方法有很多种，其数学原理各不相同，但有二点是所有方法都具备的，即离散化和代数化。2.计算流体力学常用数值方法简介其基本思想是：将原来连续的求解区域划分成网格或单元子区域，在其中设置有限个离散点(称为节点)，将求解区域中的连续函数离散为这些节点上的函数值；通过某种数学原理，将作为控制方程的偏微分方程转化为联系节点上待求函数值之间关系的代数方程(离散方程)，求解所建立起来的代表方程以获得求解函数的节点值。不同的数值方法，其主要区别在于求解区域的离散方式和控制方程的离散方式上。在流体力学数值方法中，应用比较广泛的是有限差分法、有限元法、边界元法、有限体积法和有限分析法，现简述如下。 1、有限差分
20、法、有限差分法2.计算流体力学常用数值方法简介有限差分法的优点是它建立在经典的数数学学逼逼近近理理论论的基础上，容易为人们理解和接受；有限差分法的主要缺点是对于复杂流体区域的边界形状处理不方便，处理得不好将影响计算精度。这是最早采用的数值方法，它是将求解区域划分为矩矩形形或或正正交交曲曲线线网网格格，在网格线交点(即节点)上，将控制方程中的每一个微微商商用用差差商商来来代代替替，从而将连续函数的微分方程离散为网格节点上定义的差分方程，每个方程中包含了本节点及其附近一些节点上的待求函数值，通过求解这些代数方程就可获得所需的数值解。2.计算流体力学常用数值方法简介2、有限元法、有限元法 基本原理是
21、把适定的微分问题的解域进行离散化，将其剖分成相连结又互不重叠的具有一定规则几何形状的有限个子区域，称为单元，单元之间以节点相联结。函数值被定义在节点上，在单元中选择基基函函数数( (又又称称插插值值函函数数) )，以以节节点点函函数数值值与与基基函函数数的的乘乘积积的的线线性性组组合合成成单单元元的的近近似似解解来来逼逼近近单单元元中中的的真真解解。利用古典变分方法(里兹法或伽辽金法)由单元分析建立单元的有限元方程，然后组合成总体有限元方程，考虑边界条件后进而求解。单元几何形状是规则的，因此在单元上构造基函数可以遵循相同的法则，每个单元的有限元方程都具有相同的形式，可用标准化的格式表示，其求解
22、步骤也就变得很规范，即使是求解域剖分各单元的尺寸大小不一样，其求解步骤也不用改变，为利用计算机编制通用程序进行求解带来方便。有限元法的主要优点是对于求解区域的单元剖分没有特别的限制，因此特别适合处理具有复杂边界流场的区域。3、边界元法、边界元法2.计算流体力学常用数值方法简介边界元法是在经典积分方程和有限元法基础上发展起来的求解微分方程的数值方法，其基本思想是：将微分方程相应的基本解作为权函数，应用加权余量法和格林函数导出联系解域中待求函数值与边界上的函数值与法向导数值之间关系的积分方程；令积分方程在边界上成立，获得边界积分方程，该方程表述了函数值和法向导数值在边界上的积分关系，而在这些边界值
23、中，一部份是在边界条件中给定的，另一部份是待求的未知量，边界元法是以边界积分方程作为求解的出发点，求出边界上的未知量；在所导出的边界积分方程基础上利用有限元的离散化思想，把边界离散化，建立边界元代数方程组，求解后可获得边界上全部节点的函数值和法向导数值；将全部边界值代入积分方程中，即可获得内点函数值的计算表达式，它可以表示成边界节点值的线性组合。边界元法的优点是：2.计算流体力学常用数值方法简介(1) 将全解域的计算化为解域边界上的计算，使求解问题的维数降低了一维，减少了计算工作量；(3) 边界元法的精度一般高于有限元法。边界元法的主要缺点是边界元方程组的系数矩阵是不对称的满阵，该方法目前只适
24、用于线性问题。(2) 能够方便地处理无界区域问题。例如对于势流等的无限区域问题，使用边界元法求解时由于基本解满足无穷远处边界条件，在无穷远处边界上的积分恒等于零。因此对于无限区域问题，例如具有无穷远边界的势流问题，无需确定外边界，只需在内边界上进行离散即可；4、有限体积法、有限体积法2.计算流体力学常用数值方法简介(2) 对待求函数及其导数的变化型线或插值方式作出假设；有限体积法又称为控制体积法，其导出离散方程的基本思路是：(1) 将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，每一个控制体积都有一个节点作代表，将待求的守恒型微分方程在任一控制体积及一定时间间隔内对空间与时间作积分； 就离散方法而言，
25、有限体积法可视作有限元法和有限差分法的中间物，该方法的主要缺点是不便对离散方程进行数学特性分析。 (3) 对步骤1中各项按选定的型线作出积分并整理成一组关于节点上未知量的离散方程。有限体积法着重从物理观点来构造离散方程，每一个离散方程都是有限大小体积上某种物理量守恒的表示式，推导过程物理概念清晰，离散方程系数具有一定的物理意义，并可保证离散方程具有守恒特性，这是有限体积法的主要优点。2.计算流体力学常用数值方法简介5、有限分析法、有限分析法 有限分析法是在有限元法基础上发展起来的一种数值方法，其基本思想是：（1）将求解区域划分成矩形网格，网格线的交点为计算节点，每个节点与相邻的四个网格组成一个
26、计算单元，即一个计算单元由一个中心节点与8个相邻节点组成；（2）在每个单元中函数的近似解不是象有限元方法那样采用单元基函数的线性组合来表达，而是以单元中未知函数的分析解来表达；（3）为获得单元中的分析解，单元边界条件采用插值函数来逼近，在单元中把控制方程中非线性项局部线性化，并对单元中待求函数的组合形式作出假设，找出其系数用单元边界节点上待求函数值表达的分析解；虽然有限分析解获得的是求解区域中离散点的函数值，但由于每个单元内部都有与其中心节点对应的分析解表达式，因此有限分析解在每一个节点的局部区域内都是连续可微的，这对于需要计算求解函数导数的计算流体力学问题具有明显的优势。该计算方法与有限元法
27、、有限差分法比较具有较高的精度。此外，有限分析法不存在数值振荡失真问题。有限分析法的缺点是对复杂形状的求解区域适应性较差。 2.计算流体力学常用数值方法简介（4）利用单元分析解确定单元中心节点与8个相邻节点间待求函数值之间关系的一个代数方程，称为单元有限分析方程；将所有内点上的单元有限分析方程联立，就构成总体有限分析方程，通过代数方程组求解，即可获得求解区域中全部离散点的函数值。 CFD软件是用来进行流场的分析、计算、预测的专用工具。通过CFD模拟，可以分析并且显示流体流动过程中发生的现象，及时预测流体在模拟区域的流动性能，并通过各种参数改变，得到相应过程的最佳设计参数。3.计算流体力学的通用
28、软件CFD的数值模拟，能使我们更加深刻地理解问题产生的机理，为实验提供指导，节省以往实验所需的人力、物力和时间，并对实验结果整理和规律发现起到指导作用。随着计算机软硬件技术的发展和数值计算方法的日趋成熟，出现了基于现有流动理论的商用CFD软件。使研究人员能够轻松地进行流体数值计算，充分发挥商用CFD软件开发人员和其他专业研究人员各自的智力优势，为解决实际工程问题开辟了道路。 CFD研究走过了相当漫长的过程。早期数值模拟阶段，由于缺乏模拟工具，研究者一般根据自身工作性质和研究过程，自行编制模拟程序，其优点是针对性强，对具体问题的解决有一定精度。3.计算流体力学的通用软件自行编制模拟程序存在的问题
29、： (1) 使用的程序语言不同，使程序运行环境不兼容； (2) 模拟介质和目的不同，造成交流上和成果实际推广应用困难； (3) 由于方程求解和离散方法不同，程序运行速度相差很大；对方程简化处理方法不同，造成同一问题和条件下得到不同计算答案，使人们对CFD的实用性产生误解和怀疑； (4) 由于研究者计算机背景知识差异，造成相同参数的后处理方式不统一，研究结果缺乏可比性，从而失去可靠性； (5) 重复研究造成大量时间和财产浪费。以相对完善的商业模拟平台为基础，经二次开发使之适合一个过程的工作应该是CFD的发展方向。 1、常用常用CFD通用软件结构通用软件结构3.计算流体力学的通用软件计算流体力学商
30、业软件包括以下几个模块：几何模型建立与网格生成模块；前处理模块(Pre-processor)；核心处理模块(CFD-solver)；后处理模块(Post-processor)；软件使用教程及软件说明(Tutorial and Menu)。 几何模型建立及网格生成是由使用者本人根据研究的具体问题建立的相应二维或三维模拟模型，然后再按其外形结构和具体过程特点进行数学网格化处理并生成CFD计算网格文件(几何文件)的过程，它是CFD模拟计算的工作基础。一般CFD软件都可与CAD对接，以增强其处理复杂几何形状问题的能力。前处理模块主要是提供模拟过程基础平台及计算环境，与几何文件(mashing file
31、)连接，建立具体问题的流体进出口边界及其边界条件，提供模拟介质的特性参数及数据库等。3.计算流体力学的通用软件CFD的核心部分包括整个“软件包”功能下的所有可能的数学模型，向使用者提供由所研究问题性质决定的相应数学模型，同时提供使用者自编程接口程序和接口命令；该模块的另一功能是向使用者提供模拟过程数学方程的计算方法、数学离散方法、收敛方法和准则，进而形成模拟命令程序(Command File)。后处理模块向使用者提供模拟运算数据的存储、交换导出和各种参数图，并与基本图形处理工具(Graphical View and Plotting)实行连接，是模拟计算结果处理好坏的重要环节，可以为使用者提供
32、模拟几何模型上不同位置的参数分布图，并可以打印输出。 使用教程及说明(Tutorial and Menu)主要是向初学者提供具体的计算范例和使用说明、技巧以及使用时的适时帮助。总的来说，CFD模拟软件使用方便与否，主要取决于软件人机交互使用的方便程度和上述几个模块过程的完善性，重要环节就是数学模型及模型参数的实用性。3.计算流体力学的通用软件就CFD本质来讲，流体动力学是建立能够准确描述具体流动过程的数学微分方程组，依据模拟几何模型和流动过程特点给予相应的边界条件。最后，将上述方程组联立求解得出一定精度模拟结果。计算机的应用仅是快速准确实现上述目的的手段，真正技术核心是如何将高阶偏微分方程科学
33、离散化，如何确定离散单元，如何使计算过程快速收敛。在不稳定流体流动和湍流规律研究成果基础上，利用有限体积的理念，解决了无数流动分子与流体整体特征之间的联系关系，使上述过程成为现实。 2、CFD商业软件的基本选用原则商业软件的基本选用原则3.计算流体力学的通用软件 常用CFD软件平台各有其特点和相应的最佳应用领域，使用者要依据研究问题的具体情况选择模拟平台。合理选用CFD软件是模拟成功的前提，CFD通用商业软件的选用原则应有以下七方面：(1)条条条条件件件件原原原原则则则则：充分考虑自身现有的软件工作环境，在合理物理模型前提下，首选现有软件，做到不盲目、讲实效。(2)实实实实用用用用原原原原则则
34、则则：从具体问题出发，选择的模拟软件要包括相应的数学模型，依据问题的复杂程度，不盲目追求模型的复杂程度和精确度，以实用为模型选用准则。(3)计计计计算算算算机机机机原原原原则则则则：充分利用现有计算机条件，内存够用为限。计算流体力学对计算机的基本要求：一是计算速度(CPU)；二是随机内存空间(RAM)。 (4) 行行行行业业业业原原原原则则则则：充分借鉴前人研究成果，尽可能与前人研究具有可比性，相似性。同时，选择适当的数据处理与导出方式，以形成相似或类似的图表格式，便于比较对照。3.计算流体力学的通用软件(5) 匹匹匹匹配配配配原原原原则则则则：建立几何模型要考虑模型的复杂程度，尽可能与实际物
35、体一致，做到模拟计算与几何模型生成方法合理匹配；几何模型网格划分疏密程度与计算机内存合理匹配；几何模型与边界条件合理匹配；物理模型与模拟软件合理匹配。合理建立几何模型对达到模拟精度要求起决定作用。(6) 计计计计算算算算精精精精度度度度原原原原则则则则：一般以满足工程实际要求为宜，不过分追求高精度，收敛准则要适当。否则，计算很难收敛，时间和费用花费将很高。(7) 阶阶阶阶段段段段原原原原则则则则：模拟计算不是万能的，不可能解决所有问题，要分阶段工作。比如，以简单平台和模型取得计算初值，然后，进行精确模拟，从而节约时间，保证计算稳定性和收敛性。 计算流体力学商业软件最早出现于上世纪八十年代初，目
36、前已经在工业和研究领域发挥积极的作用。4.计算流体力学常用软件简介这些软件的使用减少了计算流体力学研究和开发人员的工作量，降低了其对计算机知识的要求，从而使研究者可以把精力集中在对计算流体力学本质问题的研究和技术开发上。自1981年英国的CHAM公司推出求解流动与传热问题的商业软件PHOENICS以后，迅速在国际软件产业中形成通称为CFD的软件产业市场，其它的求解流动与传热问题的商业软件，如：FLUENT、STAR-CD、FLOW3D、CFX等先后问世，目前全世界已有大约几十种求解流动和传热问题的商业软件。 PHOENICS是世界上第一个投放市场的CFD商用软件(1981)，可以算是CFD商用
37、软件的鼻祖。这一软件中所采用的一些基本算法，如SIMPLE方法、混合格式等，正是由该软件的创始人Spalding及其合作者所提出的，对以后开发的商用软件有较大的影响。这一软件采用有限容积法，可选择一阶迎风、混合格式及QUICK等，压力及速度耦合采用SIMPLEST算法，对两相流纳入了IPSA算法(适用于两种介质互相穿透时)及PSI-Cell算法(离子跟踪法)，代数方程组可以采用整场求解或点跌代、快跌代方法，同时纳入了块修正以加速收敛。该软件投放市场较早，因而曾经在工业界得到较广泛的应用。 4.计算流体力学常用软件简介1、PHOENICS软件软件Phoenics自1997年在中国推广使用以来，以
38、低廉价格和代理商成功的商业运做模式，在中国高校和研究单位得到很好推广。其特点是计算能力强、模型简单、速度快，便于模拟前期的参数初值估算，以低速热流输运现象为主要模拟对象，尤其适用于单相模拟和管道流动计算。4.计算流体力学常用软件简介不足之处在于：计算模型较少，尤其是两相流模型，不适用于两相错流流动计算；所形成的模型网格要求正交贴体；以压力矫正法为基本解法，因而不适合高速可压缩流体的流动模拟；此外，它的后处理设计尚不完善，软件的功能总量少于其他软件。其最大优点是对计算机内存、运算速度等指标要求相对较低。其边界条件以源项形式表现于方程组中是它的一大特点。由于缺乏使用群体和版本更新速度慢，以及其他新
39、兴软件的不断涌现，使得其实际应用受到很大限制，目前，应用较少。 2 、FLUENT软件软件4.计算流体力学常用软件简介该软件由美国FLUENT 公司于1983年推出，采用的数值方法是有限体积法。FLUENT于1998年进人中国市场，据报道，它的世界市场占有率为40%，是应用较广的软件之一。其前处理软件GAMBBIT可以生成多种网格形状，对于二维流动可以生成三角形和矩形网格，对于三维流动则可生成四面体、六面体、三角柱和金字塔网格，结合具体计算要求还可以生成混合网格，其自适应功能可以对网格进行细分和粗化。FLENT通过COKTEX图形后处理软件，可以得到二维和三维图像，如速度矢量图、等值线图(流线
40、图、等压线图)、等值面图等。它还可以通过其积分功能求得力和流量等数值。 Fluent软件能推出多种优化的物理模型，如定常和非定常流动：层流(包括各种非牛顿流模型)；紊流(包括先进的紊流模型)；不可压缩和可压缩流动；传热；化学反应等等。对每一种物理问题的流动特点，有适合它的数值解法，用户可对显式或隐式差分格式进行选择，以期在计算速度、稳定性和精度等方面达到最佳。4.计算流体力学常用软件简介Fluent将不同领域的计算软件组合起来，成为CFD计算软件群，软件之间可以方便地进行数值交换，并采用统一的前、后处理工具，这就省却了科研工作者在计算方法、编程、前后处理等方面投入重复、低效的劳动，而可以将主要
41、精力和智慧用于物理问题本身的探索上。 3、STAR-CD软件软件4.计算流体力学常用软件简介STAR-CD是全球第一个采用完全非结构化网格技术和有限体积方法来研究上业领域中复杂流动的流体分析商用软件包，是由英ComputationalDynamicsLtd公司推出，软件名称是由SimulationofTurbulentFlowinArbitraryRegions，再加上公司名称ComputationalDynamics的缩写组合而成。STAR-CD最初是由流体力学鼻祖-英国帝国理工大学计算流体力学领域的专家教授开发的，他们根据传统传热基础理论，合作开发了基于有限体积算法的非结构化网格计算程序。
42、在完全不连续网格、滑移网格和网格修复等关键技术上，STAR-CD又经过来自全球10多个国家，超过200名知名学者的不断补充与完善，成为同类软件中网格适应性、计算稳定性和收敛性最好的佼佼者。最新湍流模型的推出使得其在计算的稳定性、收敛性和结果的可靠性等方面在又得到了显著提高。 CFX软件是CFD领域的重要软件平台之一，在欧洲应用广泛。1995年进人中国市场。主要由：Build，Solver和Analyse组成。4.计算流体力学常用软件简介4、CFX软件软件Build主要是建立问题的集合模型，与FLUENT不同的是，CFX软件的前期处理模块与主体软件合二为一，并可以实现与CAD建立接口，功能非常强
43、；网格生成器适用于复杂外形的模拟计算。Solver主要是建立模拟程序，在给定边界条件下，求解方程；Analyse是后处理分析，对计算结果进行图形、表格和色彩图形处理。使用CFX可以进行包括流体流动、传热、辐射、多相流、化学反应、燃烧等许多工程实际问题的模拟。2003年CFX加入ANSYS软件包，成为其中专门进行流体力学数值计算的一个模块。5. 计算流体力学的可视化1、前言前言1987年，美国国家科学基金委召开的“科学计算可视化研讨会”的一份报告中，正式提出了科学计算可视化（VisualizationinScientificComputing。或称科学可视化，ScientificVisualiz
44、ation）这一概念。目前，科学计算可视化已被成功的应用到流体力学、气象、航空等众多领域。科学计算可视化对计算流体力学的研究和发展带来了巨大的推动作用。计算流体力学通过求解流场中的基本方程，来了解流场的运动规律。由于近年计算机技术的空前进步，流体力学数值解法的改进和网格划分技术的提高，为计算复杂流场提供了可能，从而CFD产生的解也越来越庞大，计算结果的不断增加，使得整理、分析、加工计算数据越来越繁琐；而另一方面，由于物理问题及几何边界的复杂性，以及计算流体力学发展水平的限制，使得复杂流场的计算不可能一次完成，而需要大量的调试和试算过程。可视化技术可对数据进行与计算过程同步或事后的快速分析。 5
45、. 计算流体力学的可视化2、CFD可视化的主要研究内容可视化的主要研究内容 计算流体力学的可视化总体上要完成两方面的工作：建立流场场景和提供交互工具。建立流场场景指绘制流场中各物理量的分布情况，交互工具则是指提供与场景的交互手段，如交互视点变换、局部放大移动等。 计算流体力学可视化的主要内容有以下几点：(1) 计算区域与计算网格的显示；(2) 计算过程及流体结构的显示；(3) 计算结果的显示与分析，包括速度、压力、水位、温度等；(4) 数据比较，可进行不同CFD模拟结果之间或CFD模拟结果与实测结果之间的快速比较。 5. 计算流体力学的可视化 3、CFD可视化的主要类型可视化的主要类型(1)事
46、后处理(Post Processing)：事后处理是把计算与计算结果的分析分成两个阶段进行，两者之间不能进行交互处理；(2)跟踪处理(Tracking)：跟踪处理是针对实时显示的计算结果，判断计算过程的正确与否以确定是否继续进行计算；(3)驾驭处理(Steering)：驾驭处理则可以对计算过程加以实时监控，修改或增减某些变量和参数，如在计算过程中增加或组合网格等，以保证计算过程的正确进行。 目前CFD的可视化多为事后处理。国外在90年代初已经推出一些较为成功的可视化软件系统：事后处理型的如美国NASA宇航研究中心的PLOT3D，GAS和RIP；跟踪型的如美国Stardant计算机公司研制的AV
47、S；驾驭型的如JZ等。而FLUENT、PHOENICS、CFX和STAR-CD等著名的CFD软件中也集成了功能强大的可视化后处理软件。 5. 计算流体力学的可视化4、CFD可视化技术分类可视化技术分类(1) 标量场(Scalar Field)可视化技术 对于流场计算产生的压力、温度、水位等标量，典型的可视化方法有等值线、等值面方法和标量场的体绘制方法。(a)等值线(Contour) 等值线多用于二维标量场的表示，其研究已相当成熟。而对于CFD 的计算结果，数据一般都定义在网格面上，根据网格类型的不同及等值线抽取时的网格单元处理次序，等值线抽取方法具体可分为网格序列法和网格无关法。将等值线抽取出
48、后可以用分段三次样条、双三次Hermite插值、分段B样条或双三次Bezier插值等方法对其进行光滑处理。 计算流体力学所产生的结果可分为标量、矢量和张量三大类。5. 计算流体力学的可视化等值线的表示除采用曲线直接表示外，还可采用区域填充的表示方法。也就是在计算网格单元中寻找不同等值线之间的封闭多边形，对不同的封闭多边形填以不同的等值层颜色。 而对CFD计算结果，亦有采取连续变化的色调图像形式对其进行流场数据可视化显示，这种方法能够给计算工作者带来最佳的计算结果分析效果。 (b) 等值面(Isosurfaces) 在三维情况下，常采用等值面对标量可视化。等值面图是在三维空间中，把一种空间分布的
49、物理量中具有相同量值和相同单位的点用曲面拟合成一组曲面图形，以描述那些具有连续分布特征物理量的分布规律。 5. 计算流体力学的可视化(c) 体绘制(Volume Rendering) 计算流体力学解三维问题时所生成的数据一般属于不规则数据场，传统图形学的可视化技术对其数据场建模形成三维形体后，将三维形体投影到二维平面上，通过形体的深度信息，产生立体感。但这种图形只表示了三维形体空间表面的效果，没有揭示三维数据场内部的变化规律。体绘制技术恰恰克服了这种局限性，该法不必生成中介几何图元，而直接对数据场进行成像，以反映数据场中各种信息的综合分布情况。其特点就是对三维数据的总体显示，对它的不同层次、材
50、料、特性的各个组成部分在一幅图像中整体表现出来，得到三维体数据的全局图像。体绘制算法多见的有：光线追踪法(Ray-Tracking)和体元投射法。或可将二者结合使用。 5. 计算流体力学的可视化(2) 矢量场(Vector Field)可视化技术 与标量场相比，矢量场的最大不同点在于每一物理量不仅具有大小，而且具有方向，这种方向性的可视化要求决定了它与标量场完全不同的可视化映射方法。矢量场可视化现有的各种表示方法，大致可以分为点、线、面、粒子及粒子动画，矢量场拓扑、矢量体绘制和基于纹理的方法等几大类。 (3) 张量场(Tensor Field)可视化 张量场能准确清晰的表示流体力学现象，张量的
51、分量刻画了流体微团的微观变化。目前，张量可视化的工作主要是对二阶实对称张量进行的，张量场的显示技术分两类：一类为针对某具体位置的图符显示，即点图标。另一类是沿特征线显示张量数据，即线图标方法，沿着轨迹表示出经过点的张量信息，可揭示张量场的整体结构。 6. 流体力学基本方程流体力学控制方程一般是含有空间坐标的一阶、二阶导数和时间的一阶导数的偏微分方程。其中，时间导数是线性的，而空间导数往往是非线性的。除势流以外，流动问题都由联立的控制方程组描述，而非单一方程。 一、偏微分方程的分类一、偏微分方程的分类式中的系数都是实函数，并假定它们为连续可微的。此类偏微分方程可以划分成三类：二个独立自变量的二阶
52、线性偏微分方程的一般形式为（3）双曲型：（1）椭圆型：（2）抛物型：6. 流体力学基本方程 例如，对于可压缩理想流体定常无旋流动的速度势方程可写成如下形式式中，是速度势；a是当地音速。这是一个非线性偏微分方程，仍然可按上述方法分类。其判别式为由此可见，对于亚音速流动M1，方程属于椭圆型；对于音速流动M0，方程为抛物型； 对于超音速流动 M1，方程为双曲型。 在流场的不同计算域中，控制方程的类型可能发生变化。方程类型的不同是与相应流场物理性质的不同相联系的。 6. 流体力学基本方程 实际上，只有在一定的意义下偏微分方程初值问题或边值问题才是适定的。这就是解必须存在、唯一、并且连续依赖于数据（连续
53、性）。如果发现一个具有物理来源的数学问题是不适定的，那么，这往往表明它的表述是不正确的。 二、模型方程的适定性问题二、模型方程的适定性问题在解决实际流动问题中，通常需要求一个解，它不仅要满足微分方程，而且还要满足某些附加条件，例如初始条件或边值条件。因此，对与偏微分方程有关的物理问题，我们必须考察给出方程的合理性，同时要考虑对附加条件提法的要求。这样，就需要研究偏微分方程定解问题在数学上的适定性。6. 流体力学基本方程第一，解解的的存存在在性性问题是研究在一定的定解条件下，方程的解是否存在。o解的存在性的证明是一件极为困难的事，往往由纯粹数学家在代表性的情况下去完成。 o但是，由于对实际流动问
54、题建立数学模型时，总要经过一些近似或提出一些附加要求。我们只能说定解问题反映了流动问题，而不能说两者完全等同，因此完全有必要从量的角度来研究解的存在性，以确定归结出的定解问题的合理性。o如果从物理意义上来看，对于合理地提出的问题，解的存在性似乎是不成问题的，因为自然现象本身就给出了这问题的解答（例如速度场、温度场等）。6. 流体力学基本方程通常，边界条件过多在物理上不合理，因而得不到解；边界条件不足将会出现多解。有些流动问题在物理域中可能存在多解，例如从层流到湍流的过渡区的流动常常会产生这种情况，这样的问题难于从数学上判断其适定性，只能在充分理解流动的物理机理的基础上来进行鉴别。 第三，解解的
55、的连连续续性性问题是指当定解条件如果稍有变化(扰动)，解仍应存在且仍为唯一，这个扰动后的唯一解与扰动前的解应相差无几，当扰动趋于零时，解的改变量也应趋于零，这就是微分问题的连续性。 第二，解的唯一性解的唯一性问题是研究在已给的定解条件下，问题的解是否只有一个，这表示附加条件与偏微分方程的匹配是否完备。7. 流体有限差分近似 由于应变量在节点之间的分布假设及推导离散化方程的方法不同，就形成了有限差分法、有限元法或谱方法等等不同类型的离散化方法。直到今日，数值方法中占主导地位的还是有限差分法。 偏微分方程定解问题的数值解法可以分为两个阶段：o首先，用网格线将连续的定解域划分为有限离散点（节点）集，
56、选取适当的途径将微分方程及其定解条件转化为网格节点上相应的代数方程组，即建立离散方程组。o其次，求解离散化方程组，得到节点上的离散近似解。节点之间的近似解，一般认为光滑变化，原则上可以应用插值方法确定，从而得到定解问题在整个定解区域上的近似解。这样，用离散分布近似解代替定解问题准确解的连续数据，这种方法称为离散近似。7. 流体有限差分近似一、模型方程的差分近似一、模型方程的差分近似 7. 流体有限差分近似7. 流体有限差分近似7. 流体有限差分近似7. 流体有限差分近似相对离散误差更能说明问题。 三、差分格式的离散误差 离散过程一般总会引入误差。离散误差是离散格式的精确解与偏微分方程的精确解之
57、差。 如果离散网格尺寸足够小，那么截断误差首项的数值给出离散误差很好的估计。 比较导数不同差分公式的离散误差时，一种直接的方法是考虑一个简单的解析函数。定义相对离散误差为：7. 流体有限差分近似7. 流体有限差分近似7. 流体有限差分近似o在计算时，误差的传播和积累必然会影响以后计算步的解的精度，为此就要分析这种误差传播的衰减趋势。如果误差积累在各步计算中被逐渐放大，以至物理问题的解被完全破坏，那么这种离散格式是不稳定的。相反，如果误差的影响逐步消失或保持有界，则认为离散格式是稳定的。这便是所谓的稳定性问题。六、差分格式的稳定性六、差分格式的稳定性o在离散方程的实际求解过程中，不可避免地会引入
58、舍入误差（包括初始数据的不精确）。对于给定的物理问题，其数值解的舍入误差取决于所用计算方法及所用计算机的字长。o分析稳定性的方法很多，常见的有：矩阵方法、傅立叶级数法、直观法、Hirt方法和能量法。 7. 流体有限差分近似o傅立叶级数法的基本思想可以从小扰动法的角度来理解。假定所计算的初边值问题的边界是准确无误的，而在某时层（例如初始时刻）的计算中引入了一个误差矢量，误差就是小扰动。如果这一扰动的强度（或振幅）是随时间的推移而增大的，则这一格式是不稳定的；反之，若扰动的振幅随时间而衰减或保持不变，则格式是稳定的。o我们以常系数扩散方程为例，说明傅立叶稳定性分析方法。 o为进行这种分析，可以把误
59、差矢量的一个分量的表达式代入到离散代数方程中，以得出相邻两层间该分量振幅比，通常称为放大因子放大因子。稳定性的条件要求放大因子的绝对值小于或等于1。当放大因子等于1时，称为中性稳定，那么任何时刻引进的误差都不会衰减或增大。7. 流体有限差分近似7. 流体有限差分近似8.几种模型方程的常用差分格式8.几种模型方程的常用差分格式8.几种模型方程的常用差分格式8.几种模型方程的常用差分格式8.几种模型方程的常用差分格式8.几种模型方程的常用差分格式8.几种模型方程的常用差分格式8.几种模型方程的常用差分格式9.有限元法o伽辽金法或里兹法在求解域的整体上选取整体基函数，组合整体近似解。导出代数方程组，
60、可以说是一种整体代数化的方法。o有限元法以加权剩余法或变分法为基础结合分块逼近技术，形成系统化的数值计算方法。 o有限元法将求解区域离散化，把求解域剖分成互相连结又互不重叠问一定形状的有限个子区域，称之为单元。在单元中选择基函数，组合单元近似解。由单元分析建立单元有限元方程，然后组合成总体有限元方程，进而求解。所以说是一种离散代数化的方法。9.有限元法有限元法的解题步骤是：(7) 解有限元方程，计算有关物理置。(6) 边界条件的处理；(5) 总体合成；(4) 元素分析；(3) 写出伽辽金积分表达式；(2) 选取单元插值函数；(1) 区域剖分；有限单元法的单元剖分就是用某一形式的网格，将求解区域
61、分割成有限个单元。剖分具有一定的随意性，常用的是三角形单元。9.有限元法1. 区域剖分区域剖分(1)对于同一求解区域，单元的大小可以不同，但是形状必须统一。将求解的区域分成若干个子区域，然后布置节点，进行统一编号。包括单元号（全区域统一进行编号），总体节点号（全区域的节点统一进行编号），单元节点号（按统一顺序编号）。这样，区域中任一节点有两个序号，在元素分析时用单元节点号，在总体合成时用总体节点号；两套节点编号之间的对应关系用一张表来表示。(5)所有单元必须落在求解区域内。(4)估计梯度较大的地方，剖分要细。(3)单元的内角要尽量避免大钝角。(2) 任何一个单元，它的每一条边都只能与一个单元相
62、邻。剖分时必须注意如下规则：9.有限元法9.有限元法3. 3. 写出伽辽金积分表达式写出伽辽金积分表达式 假设原微分方程为 假设上述方程的近似解为 则伽辽金加权余量法的积分表达式为 4. 4. 元素分析元素分析 对每个三角形单元，利用伽辽金加权余量法可以得到3个方程。5. 5. 总体合成总体合成 根据单元节点号与整体节点号的关系，进行对号入座，合成一个整体的线性代数方程。 6. 6. 边界条件的处理边界条件的处理 在总体有限元方程中，代入边界条件。将已知函数值的边界节点对应的行和列全部去掉。7. 7. 解有限元方程，计算有关物理量解有限元方程，计算有关物理量 10.有限元法自学提纲第第1 1章
63、章 有限元法的数学基础有限元法的数学基础参考书：参考书：参考书：参考书：流体力学数值方法流体力学数值方法流体力学数值方法流体力学数值方法，章本照，机械工业出版社，章本照，机械工业出版社，章本照，机械工业出版社，章本照，机械工业出版社，20032003200320031、有限差分的基本思想？特点？、有限差分的基本思想？特点？有限差分法是求解微分方程常用的一种数值计算方法。它的基本思想是将求解区域划分为有限个离散点的网格闻特种不向类型的差商式去近似地替代方程中的微商，从而建立起含有求解函数离散位的代数方程组。解此方程就可获得原来微分方程的近似解。3、有限元法的主要思想？、有限元法的主要思想？10.
64、有限元法自学提纲2、有限元法的数学原理？、有限元法的数学原理？有限元方法的数学原理是泛函变分原理或者是方程余量与权函数正交化原理。有限元方法离散化求解的主要思想是“分块逼近”。即将求解区域划分成有限个互不重叠的子区域，称为“单元”。在每个单元体内，选择若干个合适的点作为求解函数的插值点，称为“结点”。单元中的求解函数将由一种规则化的基函数的线性组合来近似替代，线性组合的系数正是求解函数在结点上的函数值(或导数值)。这样，通过单元体的积分就可以获得单元有限元方程，经过累加可以获得总体有限元方程。求解总体有限元方程，可得所求结点上的函数值。4、与有限差分相比，有限元法的主要优点？、与有限差分相比，
65、有限元法的主要优点？10.有限元法自学提纲（1）有限元方法对于求解区域的单元划分没有特别的限制。这对于处理具有复杂边界区域问题，格外方便；且可根据问题的物理特点，在求解区域中安排单元网格的疏密。（2）有限元方法是特区域进行分片离散。对每一个单元而言，它的近似解是连续解析的，这和有限差分法中完全用离散的结点值来近似地表示连续函数不一样。（3）对于具有事先未知边界形状的求解区域，或者是求解区域内部具有不同介质的交界面，处理起来比较容易。10.有限元法自学提纲5、泛函的定义？、泛函的定义？设Y是给定的函数集，如果对于Y中每个函数y(x)，有一个数JR与之对应，则称变量J为函数y(x)的泛函。记为：J
66、=Jy(x)6、通过实例理解变分原理、通过实例理解变分原理书中第3页的“例1：最速降线问题”7、函数的内积、函数的内积函数的内积的定义，表达式及其记号。10.有限元法自学提纲8、各种算子及其表达式、各种算子及其表达式算子的定义，各种算子的表达式及其记号。9、对称正算子方程的变分原理、对称正算子方程的变分原理存在解 u = u0，则 u0所满足的充分必要条件是泛函在 u = u0 处取极小值。设L是对称正算子，如果算子方程10.有限元法自学提纲11、函数空间的基函数10、函数的线性相关与线性无关12、函数空间的极小化序列13、关于极小化序列的定理（Ritz法的基础）17、伽辽金加权余量法的强解表
67、达式14、Ritz法的主要步骤15、伽辽金加权余量法的基本思想与解题步骤16、伽辽金加权余量法的弱解表达式10.有限元法自学提纲1、有限元法的解题步骤、有限元法的解题步骤第第2 2章章 有限元方法有限元方法(6)选取合适的基函数(1)写出积分表达式(2)划分单元和确定节点(3)单元序号、单元节点号以及总体节点号的编写方法(4)单元节点号与总体节点号的关系(5)确定节点的位置坐标(12)求解总体有限元方程(7)构造单元基函数的法则(8)基函数的特点(9)单元分析：在单元中进行积分(10)总体合成(11)边界条件的处理方法10.有限元法自学提纲(5)分析计算结果2、如何编写有限元法计算机程序、如何
68、编写有限元法计算机程序(1)推导和建立单元有限元方程(2)输入基本数据(3)编制计算源程序(4)上机计算10.有限元法自学提纲1、单元的形态2、常用的单元形态有哪些3、基函数类型（插值函数的类型）4、单元的自由度5、插值多项式的构成6、局部坐标与物理坐标7、一维单元的插值基函数8、三角形单元的插值基函数(1)面积坐标(2)面积坐标与直角坐标的关系第第3 3章章 单元与单元基函数单元与单元基函数10.有限元法自学提纲1、理想不可压无旋流（仔细逐步研究，最好能够编程序求解）2、不可压粘性流动（掌握一般的技巧与步骤）第第4 4章章 流体力学典型问题有限元分析流体力学典型问题有限元分析计算流体力学试题章本照：章本照：流体力学数值方法流体力学数值方法书中习题书中习题1.第41页，习题32.第73页，习题2和习题53.第114页，习题54.第163页，习题3
