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1、学案学案4 基本不等式基本不等式 及应用及应用 名师伴你行名师伴你行填填知学情填填知学情填填知学情填填知学情课内考点突破课内考点突破课内考点突破课内考点突破规规规规 律律律律 探探探探 究究究究考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读考考考考 向向向向 预预预预 测测测测返回目录返回目录 名师伴你行考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读 基本不等式及基本不等式及应用应用1.掌握两个（不扩展到三个）正数的算掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数小于它们的几何平均数的定术平均数小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用理，并会简单的应用. 2.掌握比较法、分析法、综合法证明简掌握比较法、分析法、综
2、合法证明简单的不等式单的不等式.3.能够利用基本不等式求函数的最值能够利用基本不等式求函数的最值,能熟练运用比较法、综合法证明不等能熟练运用比较法、综合法证明不等式，注意掌握变形过程中的一些常用式，注意掌握变形过程中的一些常用技巧；能够运用配方思想、函数思想、技巧；能够运用配方思想、函数思想、分类讨论思想来证明不等式分类讨论思想来证明不等式.名师伴你行考考考考 向向向向 预预预预 测测测测 从近几年的高考试题看从近几年的高考试题看,均值不等式均值不等式 (a,bR+)的应用一直是高考命题的热点的应用一直是高考命题的热点,在选择题、在选择题、填空题、解答题中都有可能出现，它的应用范围涉及填空题、
3、解答题中都有可能出现，它的应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但是它在高考中高中数学的很多章节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求最值、求取值范围等却不外乎大小判断、求最值、求取值范围等.因此因此2012年的高考复习年的高考复习,要注意复习方向要注意复习方向.返回目录返回目录 1.如果如果a，bR,那么那么 （当且仅（当且仅当当 时取时取“=”）.2.如果如果a，b是正数，那么是正数，那么 （当且仅当（当且仅当 时取时取“=”）.3.通常把通常把 叫做基本不等式叫做基本不等式.(a0,b0)a2+b22ab a=ba=b 名师伴你行返回目录返回目录 2010年高考安徽卷若年
4、高考安徽卷若a0,b0,a+b=2,则下列不则下列不等式对一切满足条件的等式对一切满足条件的a,b恒成立的是恒成立的是 (写出所有正确命题的编号写出所有正确命题的编号).ab1; 2;a2+b22;a3+b33; 2.名师伴你行考点考点考点考点1 1 基本不等式基本不等式基本不等式基本不等式返回目录返回目录 【分析】【分析】由基本不等式和其变形式判断由基本不等式和其变形式判断,化不等式为化不等式为基本不等式的形式基本不等式的形式.名师伴你行 【解析解析】ab =1，成立，成立.欲证欲证 ,即证即证a+b+2 2,即即2 0,显然不成立显然不成立.欲证欲证a2+b2=(a+b)2-2ab2,即证
5、即证4-2ab2,即即ab1,由由知成立知成立.a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)3a2-ab+b2 (a+b)2-3ab 4- 3abab ,由由知知,ab 不恒成立不恒成立.返回目录返回目录 名师伴你行欲证欲证 2,即证即证 2,即即ab1,由由知成立知成立.故填故填. 熟练掌握基本不等式及其几种变形式熟练掌握基本不等式及其几种变形式.应用均值不等应用均值不等式判断命题的真假的关键是看是否符合均值不等式的条件，式判断命题的真假的关键是看是否符合均值不等式的条件，即即a2+b22ab成立的条件是成立的条件是a，bR,而而 成立的条件是成立的条件是a0且且b0.返回目录返回目录 若若a
6、，b是正数，则是正数，则 这四个数的大小顺序是这四个数的大小顺序是 .(a，b是正数，是正数，而而 ,又又a2+b22ab 2(a2+b2)(a+b)2 , ，因此因此 .)名师伴你行返回目录返回目录 2010年高考重庆卷已知年高考重庆卷已知x0,y0,x+2y+2xy=8,则则x+2y的最小值是的最小值是 . 【分析分析】在在x+2y+2xy中中2xy与与x+2y有联系有联系:x+2y2 ,故可由基本不等式建立求故可由基本不等式建立求x+2y的最小值的不的最小值的不等式等式.考点考点考点考点2 2 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 名师伴你行返
7、回目录返回目录 名师伴你行 【解析解析】x+2y+2xy=8,x+2y2 ,8x+2y+ ,令令x+2y=t,则则t+ 8,t2+4t-320,(t+2)236,又又x0,y0,t0,t4,即即x+2y4.(“=”成立时成立时x=2,y=1)x+2y的最小值为的最小值为4.返回目录返回目录 （1）利用均值不等式求最值需注意的问题：）利用均值不等式求最值需注意的问题： 各数各数(或式或式)均为正均为正; 和或积为定值和或积为定值; 等号能否成立等号能否成立,即即“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”，这，这三个条件缺一不可三个条件缺一不可. （2）合理拆分项或配凑因式是常用的技巧）合理拆分项或
8、配凑因式是常用的技巧,而拆与而拆与凑的目标在于使等号成立凑的目标在于使等号成立,且每项为正值且每项为正值,必要时需出必要时需出现积为定值或和为定值现积为定值或和为定值.名师伴你行返回目录返回目录 （3）当多次使用均值不等式时）当多次使用均值不等式时,一定要注意每次是否一定要注意每次是否能保证等号成立能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性并且要注意取等号的条件的一致性,否则否则就会出错就会出错,因此在利用均值不等式处理问题时因此在利用均值不等式处理问题时,列出等号成列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转换是否而且也是检验转换是否有误的一种方法有
9、误的一种方法.名师伴你行返回目录返回目录 2010年高考浙江卷若正实数年高考浙江卷若正实数x,y满足满足2x+y+6=xy,则则xy的最小值是的最小值是 . 【解析】【解析】由由x0,y0,2x+y+6=xy,得得2x+y2 +6(当且仅当当且仅当2x=y时时,取取“=”），），即即( )2-2 -60,( -3 )5( + )0.又又 0, 3 ，即，即xy18.xy的最小值为的最小值为18.名师伴你行返回目录返回目录 【证明证明证明证明】当且仅当当且仅当a=b=c= 时时,取等号取等号.考点考点考点考点3 3 利用均值不等式证明利用均值不等式证明利用均值不等式证明利用均值不等式证明 已知已
10、知a，b，c(0,+ ),且且a+b+c=1，求证：，求证：【分析分析分析分析】可进行可进行“1的代换的代换”，为使用基本不等式创造条件，为使用基本不等式创造条件.名师伴你行返回目录返回目录 (1)利用均值不等式证明不等式是综合法证明不等利用均值不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况式的一种情况,其实质就是从已知的不等式入手其实质就是从已知的不等式入手,借助借助不等式性质和均值不等式不等式性质和均值不等式,经过逐步的逻辑推理经过逐步的逻辑推理,最后最后推得所证问题推得所证问题,其特征是其特征是“执因导果执因导果”. (2)证明不等式时要注意灵活变形证明不等式时要注意灵活变形,多次利用均值
11、不多次利用均值不等式时等式时,注意每次等号是否都成立注意每次等号是否都成立.同时也要注意应用同时也要注意应用均值不等式的变形形式均值不等式的变形形式.名师伴你行返回目录返回目录 (1)已知已知a0,b0,a+b=1,求证求证: 4;(2)证明证明:a4+b4+c4+d44abcd.名师伴你行 【证明】【证明】(1)a0,b0,a+b=1, (当且仅当当且仅当a=b= 时等号成立时等号成立). 4.原不等式成立原不等式成立.(2)a4+b4+c4+d42a2b2+2c2d2=2(a2b2+c2d2)22abcd=4abcd.故原不等式得证故原不等式得证,等号成立的条件是等号成立的条件是a2=b2
12、,且且c2=d2且且ab=cd.返回目录返回目录 2009年高考湖北卷围建一个面积为年高考湖北卷围建一个面积为360 m2的矩形场地的矩形场地,要求矩形场地的一面利用要求矩形场地的一面利用旧墙旧墙(利用的旧墙需维修利用的旧墙需维修),其他三面围其他三面围墙要新建墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为一个宽度为2 m的进出口的进出口,如图所示如图所示.已知旧墙的维修费用为已知旧墙的维修费用为45元元/m,新墙的造价为新墙的造价为180元元/m.设利用的旧墙长度为设利用的旧墙长度为x(单位单位:m),修建此矩形场地围墙修建此矩形场地围墙的总费用为的总费用为y(单位单位:元
13、元).(1)将将y表示为表示为x的函数的函数;(2)试确定试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出并求出最小总费用最小总费用.考点考点考点考点4 4 基本不等式的实际应用基本不等式的实际应用基本不等式的实际应用基本不等式的实际应用 名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行 【解析】【解析】（1）如图，设矩形的另一边长为）如图，设矩形的另一边长为a m，则，则y=45x+180（x-2）+1802a=225x+360a-360.由已知由已知xa=360，得，得a= ，y=225x+ -360（x0）.(2)x0,225x+ 2=10 800.y=225x+
14、 -36010 440.当且仅当当且仅当225x= 时，等号成立时，等号成立.即当即当x=24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是是10 440元元.返回目录返回目录 在应用均值不等式解决实际问题时在应用均值不等式解决实际问题时,要注意以下四点要注意以下四点: (1)设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为函数函数; (2)建立相应的函数关系式建立相应的函数关系式,确定函数的定义域确定函数的定义域; (3)在定义域内只需再利用均值不等式在定义域内只需再利用均值不等式,求出函数的求出函数的最值最值; (4)回到
15、实际问题中去回到实际问题中去,写出实际问题的答案写出实际问题的答案.名师伴你行返回目录返回目录 已知已知26列火车以相同速度列火车以相同速度v由由A地驶向地驶向400千米处的千米处的B地地,每两列火车间的距离为每两列火车间的距离为d千米千米,现知现知d与速度与速度v的平方成的平方成正比正比,且当且当v=20(千米千米/小时小时)时时,d=1(千米千米).(1)写出写出d关于关于v的函数关系式的函数关系式;(2)若不计火车的长度若不计火车的长度,则则26列火车都到达列火车都到达B地最少需要地最少需要多少小时多少小时?此时火车的速度为多少此时火车的速度为多少?名师伴你行返回目录返回目录 【解析】【
16、解析】(1)由题意可知由题意可知d=kv2,其中其中k为比例系数为比例系数,且且v0,当当v=20时时,d=1,1=k202,即即k=1400,d= v2(v0).(2)每两列火车间的距离为每两列火车间的距离为d千米千米,最后一列火车与最后一列火车与第一列火车间的距离是第一列火车间的距离是25d,最后一列火车到达最后一列火车到达B地的地的时间为时间为t= ,由由(1)可知可知d= v2,代入上式整代入上式整理理得得t= =25=10, 为为80千米千米/小时小时.名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行当且仅当当且仅当 ,即即v=80(千米千米/小时小时)时等号时等号成立成立,26列火车都到达列
17、火车都到达B地最少需要地最少需要10小时小时,此时火车的速此时火车的速度度返回目录返回目录 1.1.基本不等式具有将基本不等式具有将基本不等式具有将基本不等式具有将“ “和式和式和式和式” ”转化为转化为转化为转化为“ “积式积式积式积式” ”与将与将与将与将“ “积式积式积式积式” ”转化为转化为转化为转化为“ “和式和式和式和式” ”的放缩功能，在证明或求最值的放缩功能，在证明或求最值的放缩功能，在证明或求最值的放缩功能，在证明或求最值时，要注意这种转化思想的应用时，要注意这种转化思想的应用时，要注意这种转化思想的应用时，要注意这种转化思想的应用. . 2. 2.创设应用基本不等式的条件创
18、设应用基本不等式的条件创设应用基本不等式的条件创设应用基本不等式的条件 （1 1） 合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时出与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时出与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时出与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时出现积为定值或和为定值现积为定值或和为定值现积为定值或和为定值现积为定值或和为定值. . （2 2） 当多次使用基本不等式时，一定要注意每次当多次使用基本不等式时，一定要注意
19、每次当多次使用基本不等式时，一定要注意每次当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性性性性 ， 否则就会出错，否则就会出错，否则就会出错，否则就会出错， 因此在利用基本不等式处理问因此在利用基本不等式处理问因此在利用基本不等式处理问因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而题时，列
20、出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法且也是检验转换是否有误的一种方法且也是检验转换是否有误的一种方法且也是检验转换是否有误的一种方法. .名师伴你行返回目录返回目录 3.3.最值的求法最值的求法最值的求法最值的求法 “ “和定积最大，和定积最大，和定积最大，和定积最大， 积定和最小积定和最小积定和最小积定和最小” ”即两个正数的和为定值，即两个正数的和为定值，即两个正数的和为定值，即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；反过来，若积为定值，则可求其和则可求其积的最大值；反过来，若积为定值，则可求其和则可求其积的最大值；反过来，若积为定值，则可求其和则可求其
21、积的最大值；反过来，若积为定值，则可求其和的最小值的最小值的最小值的最小值. .应用此结论需注意以下三点：（应用此结论需注意以下三点：（应用此结论需注意以下三点：（应用此结论需注意以下三点：（1 1）各项或各因）各项或各因）各项或各因）各项或各因式为正；（式为正；（式为正；（式为正；（2 2）和或积为定值；（）和或积为定值；（）和或积为定值；（）和或积为定值；（3 3）各项或各因式能取得）各项或各因式能取得）各项或各因式能取得）各项或各因式能取得相等的值相等的值相等的值相等的值. .必要时作适当变形，以满足上述前提，即一正、必要时作适当变形，以满足上述前提，即一正、必要时作适当变形，以满足上述
22、前提，即一正、必要时作适当变形，以满足上述前提，即一正、二定、三相等二定、三相等二定、三相等二定、三相等. . 4. 4.基本不等式的几种变形公式基本不等式的几种变形公式基本不等式的几种变形公式基本不等式的几种变形公式 对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，如：握它的几种变形形式及公式的逆用等，如：握它的几种变形形式及公式的逆用等，如：握它的几种变形形式及公式的逆用等，如： ( (a,ba,bR R). ). (a (a0,b0,b0).0).名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行
