2.4.1抛物线及其抛物线及其 标准方程标准方程 喷泉喷泉 M·Fl·e=1 在平面内在平面内,与一个定点与一个定点F和一条定直线和一条定直线l(l不经过点不经过点F)的的距离相等距离相等的点的轨迹叫的点的轨迹叫抛抛物线物线.点点F叫抛物线的叫抛物线的焦点焦点,直线直线l 叫抛物线的叫抛物线的准线准线d 为为 M 到到 l 的距离的距离准线准线焦焦点点d一、抛物线的定义一、抛物线的定义: 解法二：以定点解法二：以定点 为原点，过点为原点，过点 垂直于垂直于 的直线为的直线为 轴建轴建立直角坐标系（如下图所示），则定点立直角坐标系（如下图所示），则定点 ，， 的方程的方程为为设动点 ，由抛物线定义得 化简得化简得： 二、标准方程的推导二、标准方程的推导 l解法三：以过解法三：以过F且垂直于且垂直于 l 的直的直线为线为x轴轴, ,垂足为垂足为K. .以以F, ,K的中点的中点O O为坐标原点建立直角坐标系为坐标原点建立直角坐标系xoy.两边平方两边平方, ,整理得整理得xKyoM(x,y)F二、标准方程的推导二、标准方程的推导依题意得依题意得这就是所求的轨迹方程这就是所求的轨迹方程. . 三、标准方程三、标准方程 把方程把方程 y2 = 2 2px (p＞＞0)叫做抛物线的叫做抛物线的标准方标准方程程.其中其中 p 为正常数为正常数,表示焦点在表示焦点在 x 轴正半轴上轴正半轴上.且且 p的几何意义是的几何意义是: :焦点坐标是焦点坐标是准线方程为准线方程为: :想一想想一想: : 坐标系的建立还坐标系的建立还有没有其它方案有没有其它方案也也会使抛物线方程的形式简单会使抛物线方程的形式简单 ？？﹒yxo方案方案(1)(1)﹒yxo方案方案(2)(2)﹒yxo方案方案(3)(3)﹒yxo方案方案(4)(4)焦点到准线的距离焦点到准线的距离 y y2 2=-2px=-2px(p>0)(p>0)x x2 2=2py=2py(p>0)(p>0)准线方程准线方程准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程标准方程标准方程图图图图 形形形形x xF FOy ylx xF FOy ylx xF FOy ylx xFOy yly y2 2=2px=2px(p>0)(p>0)x x2 2=-2py=-2py(p>0)(p>0)P的意义的意义:抛物抛物线的焦点到准线的焦点到准线的距离线的距离方程的特点方程的特点:(1)左边左边是二次是二次式式,(2)右边右边是一次是一次式式;决定了决定了焦点焦点的位置的位置.四．四种四．四种抛物线的抛物线的对比对比 P66P66思考：思考： 二次函数二次函数二次函数二次函数 的图像为的图像为的图像为的图像为什么是抛物线？什么是抛物线？什么是抛物线？什么是抛物线？ 当当a>0时与当时与当a<0时，结论都为：时，结论都为： yxoy=ax2+bx+cy=ax2+cy=ax2 例例1（（1）已知抛物线的标准方程是）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ，，求它求它的焦点坐标及准线方程的焦点坐标及准线方程（（2）已知抛物线的焦点坐标是）已知抛物线的焦点坐标是 F（（0，－，－2），），求求抛物线的标准方程抛物线的标准方程（（3）已知抛物线的准线方程为）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，，求抛物求抛物线的标准方程线的标准方程（（4）求过点）求过点A（（3，，2））的抛物线的标准方程的抛物线的标准方程焦点焦点F ( , 0 )32准线：准线：x =－－32x 2 =－－8 yy 2 =－－4 xy 2 = x 或或 x 2 = y4392看图看图看图 课堂练习：课堂练习：1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（（1）焦点是）焦点是F（（3，，0）；）；（（2）准线方程）准线方程 是是x = ；；（（3）焦点到准线的距离是）焦点到准线的距离是2。
y2 =12xy2 =xy2 =4x、、 y2 = -4x、、x2 =4y 或或 x2 = -4y2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y2 = 20x (2)x2= y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0焦点坐标焦点坐标焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程准线方程准线方程(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)（（5，，0））x=- -5（（0，，—））18y= - —188x= —5（（- - —，，0））58（（0，，- -2））y=2 例例2：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示卫星波：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处已知接收天线的径口（直径）经反射聚集到焦点处已知接收天线的径口（直径）为为4.8m，，深度为深度为0.5m建立适当的坐标系，求抛物线建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标的标准方程和焦点坐标 解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。
原点重合 设抛物线的标准方程是设抛物线的标准方程是 ，由已知条件，由已知条件可得，点可得，点A的坐标是的坐标是 ，代入方程，得，代入方程，得即即所以，所求抛物线的标准方程是所以，所求抛物线的标准方程是 ，，焦点的坐标是焦点的坐标是 4.4.标准方程中标准方程中p前面的前面的正负号正负号决定抛物线的决定抛物线的开口方向开口方向．． 1.1.抛物线的定义抛物线的定义: :2.2.抛物线的标准方程有四种不同的形式抛物线的标准方程有四种不同的形式: :每一对焦点和准线对应一种形式每一对焦点和准线对应一种形式. .3.3.p的几何意义是的几何意义是: :焦焦 点点 到到 准准 线线 的的 距距 离离 （2000.全国）过抛物线 的焦点 作一条直线交抛物线于 ， 两点，若线段 与 的长分别为 ，则 等于（ ）A. B. C. D.分析：抛物线 的标准方程为 ，其焦点为 .取特殊情况，即直线 平行与 轴，则 ，如图。
故 xyolF（（0,－－2））返回解：（2）因为焦点在 y 轴的负半轴上，并且p2 = 2，p = 4 ，所以所求抛物线的标准方程是 x2 =－8y . xyolFX = 1返回解：（3）因为准线方程是 x = 1，所以 p =2 ，且焦点在 x 轴的负半轴上，所以所求抛物线的标准方程是 y2 =－4x . 返回xyo(3,2)解：（4）因为(3，2)点在第一象限，所以抛物线的开口方向只能是向右或向上，故设抛物线的标准方程是 y2 = 2px（p>0），或 x2 = 2py（p>0），将（3，2）点的坐标分别代入上述方程可得抛物线的标准方程为 y 2 = x 或或 x 2 = y4392 。