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1、第六章第六章 超静定结构内力计算超静定结构内力计算学习要求：学习要求： 1 1、掌握超静定结构概念及超静定次数的确定。、掌握超静定结构概念及超静定次数的确定。 2 2、了解力法、位移法解超静定结构基本未知量及原、了解力法、位移法解超静定结构基本未知量及原理。理。 3 3、掌握用力矩分配法的基本原理，会两个结点的分、掌握用力矩分配法的基本原理，会两个结点的分配。配。 一、超静定结构的概念一、超静定结构的概念 有多余约束的几何不变体系，结构的支座反力和有多余约束的几何不变体系，结构的支座反力和内力仅用静力平衡条件不能确定或不能全部确定。内力仅用静力平衡条件不能确定或不能全部确定。ABPC 有一个多
2、余约束，称为有一个多余约束，称为一次超静定。一次超静定。AB 有两个多余约束，称为有两个多余约束，称为二次超静定。二次超静定。多余约束中产生的约束力称为多余约束中产生的约束力称为“多余未知力多余未知力”。 超静定结构概述超静定结构概述二、超静定次数的确定二、超静定次数的确定 结构中多余约束的数目称为结构的超静定次数。判结构中多余约束的数目称为结构的超静定次数。判断超静定次数的方法是去掉多余约束使原结构变成静断超静定次数的方法是去掉多余约束使原结构变成静定结构。定结构。常见的去掉多余约束方式有以下几种：常见的去掉多余约束方式有以下几种： 1 1、去掉支座处的一根支杆、去掉支座处的一根支杆( (可
3、动铰支座可动铰支座) )，相当，相当于去掉一个约束。于去掉一个约束。 2 2、去掉一个固定铰支座，相当于去掉两个约束。、去掉一个固定铰支座，相当于去掉两个约束。 3 3、将固定端支座改成铰支座，相当于去掉一个、将固定端支座改成铰支座，相当于去掉一个约束。约束。 4 4、去掉一个固定端支座，相当于去掉三个约束。、去掉一个固定端支座，相当于去掉三个约束。力法、位移法力法、位移法概述概述力法和位移法是计算超静定力法和位移法是计算超静定 结构的两种基本方法。结构的两种基本方法。 在力法中，通过综合考虑平衡条件、物理条件及几何条件在力法中，通过综合考虑平衡条件、物理条件及几何条件先求出多余约束力，进而求
4、出内力和位移；先求出多余约束力，进而求出内力和位移； 而位移法则是先求结点位移，再计算内力。而位移法则是先求结点位移，再计算内力。 在力法和位移法计算中都要建立求解基本未知量的典型方在力法和位移法计算中都要建立求解基本未知量的典型方程。程。1 1、计算途径的比较、计算途径的比较 力法以多余未知力为基本未知量，位移法以结点位移为力法以多余未知力为基本未知量，位移法以结点位移为基本未知量。基本未知量。 从典型方程建立的过程看，力法的基本方程是位移协调方从典型方程建立的过程看，力法的基本方程是位移协调方程；位移法的基本方程是与附加约束相连的原结构的某一结点程；位移法的基本方程是与附加约束相连的原结构
5、的某一结点或一部分的平衡方程。或一部分的平衡方程。2 2、适用范围的比较、适用范围的比较 凡多余约束数多而结点位移少的结构，宜采用位移法；反凡多余约束数多而结点位移少的结构，宜采用位移法；反之宜采用力法。之宜采用力法。 当两种方法的未知量数目差不多时，宜选用位移法。当两种方法的未知量数目差不多时，宜选用位移法。 力矩分配法计算较为简便，但单纯用力矩分配法只能计算力矩分配法计算较为简便，但单纯用力矩分配法只能计算无结点线位移的结构。无结点线位移的结构。一、力法基本未知量的确定一、力法基本未知量的确定 结构中多余约束的数目即结构的超静定次数为力法结构中多余约束的数目即结构的超静定次数为力法基本未知
6、量数目。判断超静定次数的方法是去掉多余基本未知量数目。判断超静定次数的方法是去掉多余约束使原结构变成静定结构。约束使原结构变成静定结构。位移法基本未知量的确定位移法基本未知量的确定 位移法的基本未知量为结点位移。结点位移分为位移法的基本未知量为结点位移。结点位移分为结点角位移和结点线位移两类。结点角位移和结点线位移两类。1、结点角位移、结点角位移PABCDABCDP 由于由于A A、B B、C C为固定端支为固定端支座，所以其位移均已知为零，座，所以其位移均已知为零，不需作为未知量；而同一刚不需作为未知量；而同一刚结点处各杆的杆端转角相等，结点处各杆的杆端转角相等，所以每个刚结点处只有一个所以
7、每个刚结点处只有一个独立的结点转角未知量。故独立的结点转角未知量。故上图刚架只有一个结点转角上图刚架只有一个结点转角未知量。未知量。 由于由于A A、D D为铰支座，已知为铰支座，已知弯矩为零，不取为基本未知量；弯矩为零，不取为基本未知量；B B、C C为刚结点，所以图示连续为刚结点，所以图示连续梁梁 有两个结点角位移。有两个结点角位移。 所以，结点角位移的数目所以，结点角位移的数目等于该结构的刚结点数！等于该结构的刚结点数！2、独立结点线位移、独立结点线位移 在微弯状态下，假定受弯直杆两端之间距离在变形在微弯状态下，假定受弯直杆两端之间距离在变形前后保持不变，即杆长保持不变。前后保持不变，即
8、杆长保持不变。ABCDCD 由于杆由于杆ACAC、BDBD两端的距离假设不两端的距离假设不变故变故C C、D D结点都没有竖向位移；结点都没有竖向位移； C C、D D结点虽然有水平位移，但由于结点虽然有水平位移，但由于CDCD杆的长度不变，因此结点杆的长度不变，因此结点C C和和D D的水的水平位移相等。所以只有一个独立结平位移相等。所以只有一个独立结点线位移。点线位移。所以该刚架有三个基本未知量。所以该刚架有三个基本未知量。*三三.用力矩分配法计算超静定结构用力矩分配法计算超静定结构 力矩分配法是以位移法为基础的渐近解法，力矩分配法是以位移法为基础的渐近解法，在计算过程中采用逐步修正的步骤
9、，最后收在计算过程中采用逐步修正的步骤，最后收敛于真实状态即求得每段杆两端的弯矩；再敛于真实状态即求得每段杆两端的弯矩；再运用迭加法画各段杆弯矩图。运用迭加法画各段杆弯矩图。力矩分配法的适用条件：无侧移刚架和连续梁。力矩分配法的适用条件：无侧移刚架和连续梁。 正负号规定：杆端弯矩以顺时针为正及转动正负号规定：杆端弯矩以顺时针为正及转动约束中的约束力矩也均以顺时针为正。约束中的约束力矩也均以顺时针为正。 力矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念一、力矩分配法的基本参数一、力矩分配法的基本参数 1 1、转动刚度、转动刚度 SAB : SAB : 使使ABAB杆的杆的A A端也称近端端也称近端产生单
10、位转角时所需施加的力矩。产生单位转角时所需施加的力矩。ABABABAB= =1 =1 =1 =1SAB = 4 iSAB = iSAB = 3 i 转动刚度的大小不仅与该梁的线刚度转动刚度的大小不仅与该梁的线刚度i i 有有关关i = EI/Li = EI/L），而且与远端的支承情况有关。），而且与远端的支承情况有关。 转动刚度反映了杆端抵抗转动的能力。转动刚转动刚度反映了杆端抵抗转动的能力。转动刚度越大，表示杆端产生单位转角所需施加的力矩越大。度越大，表示杆端产生单位转角所需施加的力矩越大。当 1时:MAB = SAB 2 2、分配系数、分配系数令：令：Ak =SAk SA SAA Ak称为
11、分配系数称为分配系数3 3、传递系数、传递系数 C C 表示当杆件近端有转角时，杆件远端弯矩与近表示当杆件近端有转角时，杆件远端弯矩与近端弯矩的比值。它的大小与远端的支承情况有关。端弯矩的比值。它的大小与远端的支承情况有关。远端固定：远端固定：C = 0.5C = 0.5远端远端 铰支：铰支： C = 0 C = 0远端定向远端定向 支座：支座：C = C = 1 1 汇交于同一结点各杆的分配系数之汇交于同一结点各杆的分配系数之和等于和等于1 1，即：，即：= AB ACAD = 1 AABCDmAAA把上述问题归纳如下：把上述问题归纳如下： 当结点当结点A A作用有力偶荷载作用有力偶荷载 m
12、 m 时，结点时，结点A A上各杆近端得到上各杆近端得到按各杆的分配系数乘以按各杆的分配系数乘以 m m 的的近端弯矩，也称分配弯矩。近端弯矩，也称分配弯矩。 以上是用力矩的分配和传递的概念解决结点力偶荷以上是用力矩的分配和传递的概念解决结点力偶荷载作用下的计算问题，故称为力矩分配法。载作用下的计算问题，故称为力矩分配法。远端支承情况远端支承情况转动刚度转动刚度传递系数传递系数固固 定定4i0.5铰铰 支支3i0滑滑 动动i1 各杆的远端则有传递系数乘以近端弯矩或分配各杆的远端则有传递系数乘以近端弯矩或分配弯矩的远端弯矩，也称传递弯矩。弯矩的远端弯矩，也称传递弯矩。单结点连续梁或刚架跨间有荷载
13、作用时单结点连续梁或刚架跨间有荷载作用时例：例：32kN20kN/mABCMBMFBAMFBCMBBABCMB 解：解：1 1、先在、先在B B点加点加上阻止转动的约束力上阻止转动的约束力矩矩MBMB，这时，这时B B点相当点相当于固端，查表于固端，查表6-16-1求求得各固端弯矩。得各固端弯矩。MFBA = qL2/12 = 60kNmMFAB = qL2/12 = 60kNmMFBC = 3PL/16 = 36kNmMFCB = 0所以：所以：MB= 6036 = 24kNm 2 2、放松结点、放松结点B B，这相当于在结，这相当于在结点点B B上加一个外力偶（上加一个外力偶（ MB MB
14、 ），），按分配系数分配于两杆的按分配系数分配于两杆的B B端，并端，并使两杆的远端产生传递弯矩。具使两杆的远端产生传递弯矩。具体计算如下：体计算如下：32kN20kN/m3m3m6mABCEIEI设设 i = EI/6AC32kN20kN/m3m3m6mABCEIEISBA= 4i SBC= 3i 分配系数：分配系数：BA= 4/7= 0.571BC= 3/7 = 0.429分配弯矩：分配弯矩：MBA= 0.571(24) = 13.7kNmMBC= 0.429(24) = 10.3kNm传递弯矩：传递弯矩：MAB= 0.5(13.7) = 6.85kNmcMCB= 0c最后杆端弯矩：最后杆
15、端弯矩：MAB= MFAB MCAB = 66.85kNmMBA= MFBA MBA = 46.3kNmMBC= MFBC MBC = 46.3kNmMCB= 060603600.571 0.42913.7 10.36.85046.366.8546.3066.8546.39033.434824.85AM M图图kNmkNm）多结点的力矩分配多结点的力矩分配32kN20kN/mABCD步骤：步骤： 1、先锁：加约束锁紧全部刚结点，计算各杆的固端、先锁：加约束锁紧全部刚结点，计算各杆的固端弯矩和结点的约束力矩。约束力矩弯矩和结点的约束力矩。约束力矩 MB = MfBj 2、逐次放松：每次放松一个结
16、点邻近结点仍锁住、逐次放松：每次放松一个结点邻近结点仍锁住进行单结点的力矩分配和传递。轮流放松各结点，经进行单结点的力矩分配和传递。轮流放松各结点，经多次循环后各结点渐趋平衡。实际计算一般进行多次循环后各结点渐趋平衡。实际计算一般进行23个个循环就可获得足够的精度。循环就可获得足够的精度。 3、叠加：将各次计算所得杆端弯矩相加代数和、叠加：将各次计算所得杆端弯矩相加代数和就得到杆端弯矩，即：就得到杆端弯矩，即：M = MfM分配分配M传递传递1、力矩分配法的适用条件：无侧移刚架和连续梁。、力矩分配法的适用条件：无侧移刚架和连续梁。力矩分配法要点力矩分配法要点2 2、力矩分配法的基本参数、力矩分
17、配法的基本参数（1 1）、转动刚度）、转动刚度 SAB SAB*固固 4i*铰支铰支 3i滑滑 i其中其中 i = EI/L（2 2）、分配系数）、分配系数AB AB AB =SAB SA SAA（3 3）、传递系数）、传递系数 CAB CAB*固定固定 CAB =0.5*铰铰 支支CAB =0 重点：掌握三跨连续梁两节点的分配如：6m30kNABCD4kN/m8m3m3mA40kN10kN/mBCD4m4m8m8mi = 1i = 1i = 1EI3EI2EI留意：各段的线刚度题型题型5 5、用力矩分配法绘制图示连续梁的弯矩图。、用力矩分配法绘制图示连续梁的弯矩图。EIEI为常数。为常数。
18、6m30kNABCD4kN/m8m3m3m留意：查表时对应符号APBABPAB留意：留意：BA1、计算各杆的固端 弯矩MfMfAB=0=1/8462=18MfBC=-1/8PL=-1/8306=-22.5MfCB=1/8PL=1/8306=22.5MfCD=MfDC=02、计算转动刚度 S和分配系数 B节点SBA=3i 3EI/6SBC=4i 4EI/6C节点SCB=4iSCB=4i4EI/6SCD=4i=4EI/8B节点C节点BA=SBA SBA+ SBCBC=SBc SBA+ SBC=3/7=4/7 SCB+ SCDCB=SCBCD=SCD SCB+ SCD=3/7=4/703/74/74
19、/73/71822.522.50012.859.656.4254.8254.6856.2383.121.78 1.340.670.890.380.51023.067 23.06710.9910.995.495(45)23.06710.995.495(18)M图(kNm)结果列入表格例：用力矩分配法作图示梁的弯矩图。例：用力矩分配法作图示梁的弯矩图。A80kN20kN/mBCD4m4m8m8mi = 1i = 1i = 1解：计算分配系数解：计算分配系数BA=4141 41= 0.5BC=4141 41= 0.5 0.5 0.5 0.571 0.429808080800 00 01601600
20、091.3691.36 68.6468.6445.6845.6862.8462.84 62.8462.8431.4231.4231.4231.4217.9417.9413.4813.488.978.974.4854.485 4.4854.4852.242.242.242.241.21.28 80.960.960.640.640.320.32 0.320.32113.66113.6612.3612.36 12.3612.3676.9276.92 76.9276.920 0113.6113.66 612.3612.3616096.9196.9176.9276.92160121.5121.54 4A
21、BCDM M图图kNmkNm） 0.5 0.5 0.571 0.429808080800 00 01601600 091.3691.36 68.6468.6445.6845.6862.8462.84 62.8462.8431.4231.4217.9417.9413.4813.488.978.974.4854.485 4.4854.4852.242.242.242.241.21.28 80.960.960.640.640.320.32 0.320.3212.3612.36 12.3612.3676.9276.92 76.9276.920 0113.66113.6631.4231.4230kN/m
22、30kN/m40kN40kN8m8m8m8m4m4m4m4m2EI2EI2EI2EIEIEIA AB BC CD D分配系数分配系数固端弯矩固端弯矩分配弯矩分配弯矩 及及传递弯矩传递弯矩0.60.40.40.600-160-160160-60-600966432-52.8-52.8-79.2-79.2-26.4-26.40最后杆端弯矩最后杆端弯矩15.8410.5605.28-2.11-2.11-3.17-3.170-1.06-1.060.640.4200.210.21-0.08-0.08-0.13-0.13112.48-112.48-112.48142.5-142.5-142.500力矩分配
23、法解题注意事项：力矩分配法解题注意事项： 1、力矩分配放松结点过程宜从约束力矩大的结、力矩分配放松结点过程宜从约束力矩大的结点开始，可加快收敛速度。点开始，可加快收敛速度。 2、进行力矩分配时，相邻结点不可同时放松，应逐、进行力矩分配时，相邻结点不可同时放松，应逐个放松、传送。当结点较多大于个放松、传送。当结点较多大于3个时，可以同时个时，可以同时放松所有的不相邻结点，以加快计算过程。放松所有的不相邻结点，以加快计算过程。 3、力矩分配法是一种增量渐近法，精度可以控制。、力矩分配法是一种增量渐近法，精度可以控制。一般当传递力矩达到固端弯矩的一般当传递力矩达到固端弯矩的5以下时，即可终止以下时，即可终止计算，不再传递力矩。计算，不再传递力矩。
