《高中数学 第三章 导数应用 3.2.2 最大值、最小值问题课件2 北师大版选修22》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第三章 导数应用 3.2.2 最大值、最小值问题课件2 北师大版选修22（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2.2最大值、最小值问题求极值的步骤求极值的步骤 2. 求导数求导数 ；3. 解方程解方程 ； 4. 对于方程对于方程 的每一个解的每一个解 ，分析，分析 在在 左右两侧的符号，确定极值点：左右两侧的符号，确定极值点： 在在 两侧若两侧若 的符号的符号 （1） “左正右负左正右负”，则，则 为为极大值极大值点；点； （2） “左负右正左负右正”，则，则 为为极小值极小值点；点； （3）相同，则）相同，则 不是极值点；不是极值点； 1. 求函数求函数f(x)的定义域的定义域 ；一、复习引入一、复习引入 极值是函数的局部性质，而不是在整个定义域内极值是函数的局部性质，而不是在整个定义域内的性质
2、，即：如果的性质，即：如果 是是 的极大的极大( (小小) )值点，那值点，那么在么在 附近找不到比附近找不到比 更大更大( (小小) )的值的值。 但是，解决实际问题或研究函数性质时，我们往但是，解决实际问题或研究函数性质时，我们往往更关心在某个区间上，函数的哪个值往更关心在某个区间上，函数的哪个值最大最大，哪个值，哪个值最小最小。 若若 是是 在在 上的最大上的最大(小小)值点，则值点，则 不小不小 (大大)于于 在此区间上的所有函数值。在此区间上的所有函数值。 由图知，最大由图知，最大(小小)值在极大值在极大(小小)值点或区间的端值点或区间的端点处取得。点处取得。xyo abxyo a(
3、b)二、新课讲授二、新课讲授问题：问题：对于函数的最值概念的学习，你认为对于函数的最值概念的学习，你认为有哪些方面是值得注意的？有哪些方面是值得注意的？ （1）函数的最值是一个整体性概念，最大值必须）函数的最值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大者，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最大者，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小者。是整个区间上所有函数值中的最小者。 （2）函数的最大值和最小值是比较整个定义区间）函数的最大值和最小值是比较整个定义区间的所有函数值得到的；极大值和极小值是比较极值的所有函数值得到的；极大值和极小值是比较极值点附近的函数值得出的。点附近的函
4、数值得出的。 极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值可以在端点取得。能在区间内取得，最值可以在端点取得。 例例1： 求函数求函数 在区间在区间 上的上的最值。最值。xyo-2求最值的步骤：求最值的步骤：（1）求）求 f (x)在在 (a，b) 内的极值；内的极值；（3）将）将 f (x) 的的各个极值与端点值各个极值与端点值 f (a)，f (b) 进行进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。最小值。（2）算）算 f (x) 的端点值的端点值 f (a)，f (b) ；变式训练
5、变式训练1. 求函数求函数 在区间在区间1，e上的最值。上的最值。 日常生活中，人们常常会遇到这样的一些问题，日常生活中，人们常常会遇到这样的一些问题，在一定条件下，怎样使得在一定条件下，怎样使得“用料最省用料最省”“利润最大利润最大”“成成本最低本最低”“选址最优选址最优”等等。这类最值问题一般都可以等等。这类最值问题一般都可以利用函数与导数的知识来解决。利用函数与导数的知识来解决。三、问题探究三、问题探究 易拉罐包装的设计问题易拉罐包装的设计问题 市场上有许多饮料都是用金属制成的易拉罐包装，市场上有许多饮料都是用金属制成的易拉罐包装，包装的形状也是多种多样的，在包装设计中有许多数学包装的形
6、状也是多种多样的，在包装设计中有许多数学问题。问题。 1.背景分析背景分析如何使得容量相同的饮料包装所需的如何使得容量相同的饮料包装所需的材料最少，就是节约包装成本的含义。材料最少，就是节约包装成本的含义。据调查容量为据调查容量为330 mL 的饮料包装最为常见，仔细观察的饮料包装最为常见，仔细观察发现，这种易拉罐的顶盖比底部和侧壁部分要厚，经调发现，这种易拉罐的顶盖比底部和侧壁部分要厚，经调查得知，这种设计是为了保证开启时的冲力不致将顶盖查得知，这种设计是为了保证开启时的冲力不致将顶盖掀起，顶盖厚度近似为其他部分的掀起，顶盖厚度近似为其他部分的3倍，相应的单位面倍，相应的单位面积的成本也是侧
7、壁部分的积的成本也是侧壁部分的3倍倍.下面我们讨论：在容量一定的情况下面我们讨论：在容量一定的情况下，怎样设计能下，怎样设计能节约包装的成本节约包装的成本。 2.建立数学模型的方案建立数学模型的方案（1）模型假设）模型假设 1）一个易拉罐近似地看成一个圆柱体；）一个易拉罐近似地看成一个圆柱体； 2）影响易拉罐包装成本的量有底面半经、高、侧面）影响易拉罐包装成本的量有底面半经、高、侧面 面积、顶盖和底部的面积，其他因素忽略不计；面积、顶盖和底部的面积，其他因素忽略不计；（2）变量表示）变量表示 1）设易拉罐的底面半径为）设易拉罐的底面半径为 （单位：（单位：cm） 2）设易拉罐的高为）设易拉罐的
8、高为 （单位：（单位：cm） 3）易拉罐的体积为）易拉罐的体积为 （单位：（单位：mL） 4）易拉罐的侧壁和底部每平方厘米的成本为）易拉罐的侧壁和底部每平方厘米的成本为1， 顶盖每平方厘米的成本为顶盖每平方厘米的成本为3 5）易拉罐的包装成本为）易拉罐的包装成本为 3.求包装成本的最小值求包装成本的最小值 3.求包装成本的最小值求包装成本的最小值 4.实际应用分析实际应用分析 理论值：理论值：高约为高约为 cm,底面底面直径直径约为约为 cm ； 高：底面直径高：底面直径= ： 测量值：测量值：高高约约为为 cm,底面底面直径约为直径约为 cm ； 高：底面直径高：底面直径= ： 四、课堂小结
9、四、课堂小结1. 知识知识2. 方法方法3. 思想思想五、作业布置五、作业布置P69 A组 2,4 一一 边长为边长为 48 cm 的正方形铁皮，四角各截去一的正方形铁皮，四角各截去一大小大小相同相同的正方形后折起，可做成无盖的长方体容的正方形后折起，可做成无盖的长方体容器，其容积器，其容积 V 是关于截去小正方形边长是关于截去小正方形边长 x 的函数。的函数。（1）随）随 x 的变化，容积的变化，容积 V 如何变化？如何变化？（2）截去小正方形边长为多少时，）截去小正方形边长为多少时，容积容积最大最大？最大容积是多少？最大容积是多少？动手做一做动手做一做分析：分析： 解决实际应用问题，首先要
10、分析并列出函数关解决实际应用问题，首先要分析并列出函数关系，要注意根据实际意义写出定义域。求函数值的系，要注意根据实际意义写出定义域。求函数值的变化情况即单调性，求导判断导数符号即可，求最变化情况即单调性，求导判断导数符号即可，求最值就是求导、解方程求出极值点，最后通过比较函值就是求导、解方程求出极值点，最后通过比较函数值写出最值。数值写出最值。解：解：求导得求导得，令令 ，得，得+ 0极大值极大值- vo248192x8分析可知，分析可知，x = 8 是极大值点，极大值为是极大值点，极大值为V= f (x)在在 上递增，在上递增，在 上递减。上递减。由表知：由表知：（2）由函数的单调性和图像可知，）由函数的单调性和图像可知，x = 8时最大时最大值点，值点，此时此时V = f (8) = 即当截去小正方形边长为即当截去小正方形边长为 8 cm时，得到最大容时，得到最大容积为积为 。
