第四章：根轨迹法 教学目的 对于低阶控制系统，我们可以用求解微分方程方法来分析控制系统，而对于高阶系统，用微分方程的方法求解就比较困难根轨迹方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用起来比较简便，因此在工程设计中获得了广泛应用 通过本章内容学习，要使学生懂得根轨迹的概念，根轨迹的作图方法，以及根轨迹与系统性能之间的关系 本章重点1、根轨迹方程或：模值条件：相角条件： 本章重点2、根轨迹的绘制方法，八个法则3、广义根轨迹的概念4、根轨迹与系统性能的关系5、几个基本要概念 根轨迹的概念：根轨迹是指开环系统某一参数从零到无穷变化时，闭环特征根相应在s平面上运动的轨迹 根轨迹增益k*与开环增益k的关系：根据对传递函数分子多项式和分母多项式的分解，开环传递函数可写成二种不同的表达式 本章重点尾1型：时间常数表达式首1型：零极点形式K*与k的关系： K*是根轨迹增益；k是开环增益 本章要求1、正确理解根轨迹的概念2、掌握根轨迹绘制方法（以开环增益k为变量）3、广义根轨迹绘制方法（以系统其它参数为变量）4、用根轨迹分析系统性能了解：零度根轨迹学时：8学时 第四章第一次课一、根轨迹的基本概念1、开环系统的某一参数从零变化到无穷时，闭环系统的特征根在s平面上变化的轨迹。
注意理解：根轨迹是由开环系统来作闭环系统极点的运动的轨迹 一般系统的闭环传递函数比较复杂，而开环传递函数的表达式相对简单，所以绘制根轨迹比较容易2、根轨迹有常规根轨迹（以开环增益为变量参数）；广义根轨迹（除开环增益k外，以其他参数为变量） 第四章第一次课3、从相位条件看，有180°根轨迹，有0°根轨迹（具有正反馈系统）4、根轨迹方程：幅值条件、相角条件，根轨迹上的任意一点都得满足这二个条件二、根轨迹的绘制方法，七个基本绘图法则 第四章第二次课一、继续讲绘制根轨迹的基本法则二、由根轨求闭环系统的极点三、广义根轨迹1、参数根轨迹，正确理解等效单位反馈，等效传递函数 问题：如何解析出等效传递函数2、零度根轨迹 第四章第三次课一、零度根轨迹 什么情况下产生零度根轨迹 零度根轨迹与常规根轨迹的差别二、系统性能分析 第四章第四次课一、应用MATLAB绘制根轨迹二、本章小结 要求解系统的特征根，对于高于三阶的系统，求根比较要求解系统的特征根，对于高于三阶的系统，求根比较困难，如果要研究系统参数变化对特征根的影响时，需要大困难，如果要研究系统参数变化对特征根的影响时，需要大量反复的计算，同时还不能直观地看出系统性能随参数变化量反复的计算，同时还不能直观地看出系统性能随参数变化的影响趋势。
的影响趋势 为了避免直接求解高阶方程的特征根困难， 为了避免直接求解高阶方程的特征根困难，19481948年，年，W.R.EvansW.R.Evans根据反馈控制系统开环传递函数与其闭环特征方程根据反馈控制系统开环传递函数与其闭环特征方程式之间的内在联系，提出了一种非常实用的求取闭环特征方式之间的内在联系，提出了一种非常实用的求取闭环特征方程式根的程式根的图解法－根轨迹法图解法－根轨迹法 根轨迹的概念：根轨迹的概念：它是开环系统某一参它是开环系统某一参数从零变化至无穷时，闭环系统的特征根数从零变化至无穷时，闭环系统的特征根在在s平面上变化的轨迹平面上变化的轨迹 注意概念，根轨迹是通过开环系统来注意概念，根轨迹是通过开环系统来研究闭环系统特征根的变化研究闭环系统特征根的变化 1.根轨迹概念ks(0.5s+1)ks(0.5s+1)R(s)C(s)设控制系统及系统的传设控制系统及系统的传递函数如图所示，当递函数如图所示，当k从从0→∞时，求系统特时，求系统特征根的变化征根的变化 注意注意：K一变，一组根变一变，一组根变；K一停，一组根停一停，一组根停；一组根对应同一个一组根对应同一个K；根轨迹概念根轨迹概念 -2-10jks(0.5s+1)K:0 ~ ∞特征方程：特征方程：S2+2s+2k=0特征根：特征根：s1,2= －－1±√1－－2kk=0时，时， s1=0, s2=－－20＜＜k＜＜0.5 时，两个负实根时，两个负实根k=0.5 时，时，s1=s2=－－10.5＜＜k＜＜∞时，时，s1,2=－－1±j√2k－－1演示演示rltool 2.根轨迹与系统性能之间的关系根轨迹与系统性能之间的关系 有了根轨迹，就可以立即分析系统的稳定性有了根轨迹，就可以立即分析系统的稳定性: 稳定性：如果从 稳定性：如果从k＝＝0到到k＝＝∞，，根轨迹不会越过虚轴进入右半根轨迹不会越过虚轴进入右半s平面，说明系统对所有的平面，说明系统对所有的k值都是稳定的。
值都是稳定的 如果越过虚轴进入右半 如果越过虚轴进入右半s平面，此时根轨迹与虚轴交点处的平面，此时根轨迹与虚轴交点处的k值值就是系统稳定与不稳定的临界增益就是系统稳定与不稳定的临界增益 动态性能：从根轨迹图可以分析出系统的工作状态，如过阻尼 动态性能：从根轨迹图可以分析出系统的工作状态，如过阻尼状态、欠阻尼状态状态、欠阻尼状态…… GHG(s)= KG*∏(s-piqi=1);∏(s-zifi=1)H(s)= KH*∏(s-pjhj=1)j=1∏(s-zjl)Φ(s)=∏(s-piqi=1)hj=1∏(s-pj)∏(s-zifi=1)+kG*kH*∏(s-zjl)j=1∏(s-zifi=1)∏(s-pjhj=1)*KG结论：结论：1 零点、零点、 2 极点、极点、3 根轨迹增益根轨迹增益3.根轨迹增益、闭环零极点与开环零根轨迹增益、闭环零极点与开环零极点的关系极点的关系K*为开环系统根轨迹增益 结论：n1）闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨）闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益对于单位反馈系统，闭环系统的根轨迹增益迹增益对于单位反馈系统，闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统根轨迹增益。
就等于开环系统根轨迹增益n2）闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通）闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函数的极点所组成对于单位反馈系统，闭环路传递函数的极点所组成对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点零点就是开环零点n3）闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益）闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益k*均有关 4）根轨迹法的基本任务就是如何由已知的开环零、极）根轨迹法的基本任务就是如何由已知的开环零、极点的分布，通过图解的方法，求出闭环的极点点的分布，通过图解的方法，求出闭环的极点 4.根轨迹方程根轨迹方程 由于根轨迹是所有闭环极点的集合，而闭环极点又是特征方程由于根轨迹是所有闭环极点的集合，而闭环极点又是特征方程的特征根，为了求出所有的闭环极点，研究一下闭环系统的特征的特征根，为了求出所有的闭环极点，研究一下闭环系统的特征方程特征方程特征方程 1+GH = 0或：GH＝－1 所以，只要将闭环特征方程化为根轨迹方程，就可以绘出根轨迹所以，只要将闭环特征方程化为根轨迹方程，就可以绘出根轨迹图，由于图，由于GH是系统的开环传递函数，这样就达到了从是系统的开环传递函数，这样就达到了从开环传递函开环传递函数出发数出发，，研究闭环系统的目的研究闭环系统的目的。
根轨迹方程根轨迹方程特征方程特征方程 1+GH = 01+K*= 0j=1m∏s pi( - )pi开环极点开环极点“×”, 也是常数！也是常数！开环零点开环零点“○”,是是常数！常数！Zji=1n∏根轨迹增益根轨迹增益K* ，，不是定数，从不是定数，从0 ~ ∞变化变化这种形式这种形式的特征方程的特征方程就是就是根轨迹方程根轨迹方程s zj( -) 根轨迹的模值条件与相角条件根轨迹的模值条件与相角条件j=1mn1+K*= 0∏∏((ss--zjpi))i=1-1∑∠∠(s-zj) －－∑∠∠(s-pj) = (2k+1) π k=0, ±1, ±2, …j=1i=1mnj=1mnK*= 1∏∏︱︱ ss--zjpi︱︱︱︱︱︱i=1K*=mnj=1∏︱︱ s-zj︱︱∏ s-pi︱︱︱︱i=1相角条件相角条件:模值条件模值条件:绘制根轨迹的充要条件绘制根轨迹的充要条件 确定根轨迹上某点对应的确定根轨迹上某点对应的K*值值 根轨迹的分支数根轨迹的分支数n法则一法则一 根轨迹的分支数等于特征方程的阶次，根轨迹的分支数等于特征方程的阶次，即开环极点个数。
即开环极点个数 根轨迹的连续性与对称性根轨迹的连续性与对称性n法则二法则二 根轨迹连续且对称于实轴根轨迹连续且对称于实轴4.2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点n根轨迹的起点是指根轨迹的起点是指k=0时的特征根位置，根轨迹的时的特征根位置，根轨迹的终点是指终点是指 时的特征根位置时的特征根位置n根轨迹起始于开环极点根轨迹起始于开环极点 此时开环极点就是闭环极点此时开环极点就是闭环极点 n法则三法则三 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点若根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点若n>m,则有则有(n-m)条根轨迹终止于条根轨迹终止于[s]平面无穷远处平面无穷远处 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线nn>m，(n-m)条根轨迹沿什么方向趋于条根轨迹沿什么方向趋于[s]平面无穷远处平面无穷远处渐近线可认为是渐近线可认为是 时的根轨迹时的根轨迹 法则四法则四 如果如果m
是共轭复数极点° °= =° °- -° °= =- -Ð Ð- -- -Ð Ð= =- -Ð Ð- -- -Ð Ð- -- -Ð Ð- -- -Ð Ð= =РХ ¥- -° °- -= =° °- -- -- -- -° °= =- -Ð Ð- -- -Ð Ð- -- -Ð Ð- -- -Ð Ð= =Ð Ð0180180)()( )()()()()()(,)180180)(0 )()( )()()()(,3212322212122131211111131pszspspspszssHsGszpspspszssHsGspz有有中间取非根轨迹的点中间取非根轨迹的点，，在（在（则有则有之间取根轨迹上的点之间取根轨迹上的点与与在在q q n法则五法则五 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 ：实轴上的某一区域，若其：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域是右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域是根轨迹 n系统闭环特征方程为系统闭环特征方程为代入得代入得• 根轨迹若有分离点，表明闭环特征方程有重根，重根条件为根轨迹若有分离点，表明闭环特征方程有重根，重根条件为• 两式相除得两式相除得法则六法则六 根轨迹在实轴上的分离点的坐标应满足上述方程。
根轨迹在实轴上的分离点的坐标应满足上述方程 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 n法则七法则七 根轨迹与虚轴相交，说明控制系统有位于根轨迹与虚轴相交，说明控制系统有位于虚轴上的闭环极点，即特征方程有纯虚根虚轴上的闭环极点，即特征方程有纯虚根 n例例 4-2-1 负反馈系统的开环负反馈系统的开环 传递函数为传递函数为 绘制系统的根轨迹绘制系统的根轨迹n解解 开环极点为开环极点为n1）根轨迹的分支数等于）根轨迹的分支数等于3n2）根轨迹起点为（）根轨迹起点为（0，，j0)，，(-1，，j0)，，(-2，，j0) 终点均为无穷远终点均为无穷远 n3）渐近线三条，实轴上交点坐标是：）渐近线三条，实轴上交点坐标是：n渐近线与实轴正方向夹角：渐近线与实轴正方向夹角： n4）实轴上的根轨迹）实轴上的根轨迹（（-∞，，-2]段及段及[-1，，0]段n5）求）求实轴上的分离点坐标实轴上的分离点坐标 求分离点求分离点: 根轨迹的起始角与终止角根轨迹的起始角与终止角n起始角起始角：根轨迹离开开环复数极点根轨迹离开开环复数极点 处的处的 切线方向与实轴正方向的夹角，切线方向与实轴正方向的夹角， 如如 。
n终止角终止角：根轨迹进入开环复数零点根轨迹进入开环复数零点 处的切线方向与实轴正方向的夹角，处的切线方向与实轴正方向的夹角， 如如 n在根轨迹上取一试验点在根轨迹上取一试验点 ， n起始角起始角表达式表达式n同理可求出同理可求出终止角终止角表达式表达式n法则八法则八 始于开环复数极点处的根轨迹的起始角和止始于开环复数极点处的根轨迹的起始角和止于开环复数零点处的终止角按上两式计算于开环复数零点处的终止角按上两式计算 • 法则法则9: 根之和：根之和：o 若若n-m>=2，，则有则有 根据代数式方程根与系数的关系可写出根据代数式方程根与系数的关系可写出 n例例 4-2-3 负反馈系统的开环传递函数为负反馈系统的开环传递函数为 绘制系统的根轨绘制系统的根轨迹迹解：解：n1）根轨迹的分支数等于）根轨迹的分支数等于2。
n2）根轨迹起点是）根轨迹起点是 终点是终点是 及无穷远及无穷远n3）因为）因为n=2,m=1,所以只有一条渐近线，是负实所以只有一条渐近线，是负实轴n4）实轴上的根轨迹是）实轴上的根轨迹是（（-∞，，-１１] n5））根轨迹在实轴上的会合点坐标根轨迹在实轴上的会合点坐标 是根轨迹与实轴分离点，是根轨迹与实轴分离点， 不 不是根轨迹上的点，是根轨迹上的点，舍去n６）起始角起始角 解：解： ⑴ ⑴根轨迹的起点、终点及分支数根轨迹的起点、终点及分支数 ⑵⑵实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹[0,-3][0,-3] 例例4-4 4-4 设设一一单单位位反反馈馈控控制制系系统统的的开开环环传传递递函函数数为为试绘制该系统的根轨迹试绘制该系统的根轨迹 系系统有有4 4条条根根轨迹迹分分支支，，它它们的的起起点点为开开环极极点点（（0 0，，- -3 3，， ）），，终点为无穷远处终点为无穷远处 ⑶⑶根轨迹的根轨迹的渐近近线 渐渐近近线线与与实实轴轴的的夹夹角角分分别别为为 、、 ，，渐渐近近线线与实轴的与实轴的交点为交点为 。
⑷⑷根轨迹的分离点根轨迹的分离点 根根据据公公式式，，可可得得分分离离点点为为 ，，分分离离角角为为 ，对应分离点的，对应分离点的 值值 ⑸⑸复数极点复数极点 的起始角的起始角 系统特征方程为系统特征方程为 ⑹⑹根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点令令 ，实部和虚部分别为零，得，实部和虚部分别为零，得 绘制根轨迹的规则表 绘制根轨迹的规则表 广义根轨迹 控制系统中除了k* 发生变化外，还有许多参数，如时间常数时间常数参数发生变化也会影响根轨迹的运动 以开环增益k*为可变参量的常规根轨迹是最常见的若需要研究除k*外的其它参数对系统性能的影响，就要绘制以其它参数为可变参量的根轨迹，即参数根轨迹或广义根轨迹 广义根轨迹 若系统可变参量为时间常数 ，此时不能采用前述的方法直接绘制系统根轨迹，而需要把闭环特征方程式中不含 的各项去除该方程，使原方程变为 其中： 为等效开环传递函数， 在其中相当于 的位置这样，前述的各项规则依然有效 定义：以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹称为参数根轨迹，在参数根轨迹中k*是固定的。
参数根轨迹 解 系统开环传递函数为 例7 设反馈系统如图所示，试绘制以 为参变量的根轨迹 以不含 的项 ，除以上式得 特征方程为 参数根轨迹系统等效开环传递函数为式中， ⑴根轨迹的起点、终点及分支数 ⑵实轴上的根轨迹 负实轴为根轨迹的一部分 系统有2条根轨迹分支，起始于开环极点 ，终止于开环零点0和无穷远处 参数根轨迹 ⑶根轨迹的会合点 根据 ，可得会合点为 ，会合角为 ，相应的 ， ⑷复数极点 的出射角 解本题的MATLAB程序为 % ks/(s2+2s+10) n=[1 0] d=[1 2 10] rlocus(n,d) 零度零度根轨迹根轨迹特征方程为以下形式时，特征方程为以下形式时，绘制绘制零度零度根轨迹根轨迹请注意：请注意：G(s)H(s)的分子分母均的分子分母均首一首一1、、K*:0 ~ +1–2、、K*:0 ~ –1+ 零度零度根轨迹的模值条件与相角条件根轨迹的模值条件与相角条件K*=mnj=1∏︱︱ s-zj︱︱∏ s-pi︱︱︱︱i=1模值条件模值条件:∑∠∠(s-zj) －－∑∠∠(s-pj) = (2k+1) π k=0, ±1, ±2, …j=1i=1mn相角条件相角条件:2kπ零度零度 绘制绘制零度零度根轨迹的基本法则根轨迹的基本法则1根轨迹的根轨迹的条数条数就是特征根的就是特征根的个数个数2根轨迹对称于根轨迹对称于 轴轴实实3根轨迹起始于根轨迹起始于,终止终止于于开环极点开环极点开环零点开环零点( )∞( )∞j=1mn=∏∏︱︱ ss--zjpi︱︱︱︱︱︱i=11K*不变！不变！不变！不变！不变！不变！4∣ ∣n-m∣ ∣条渐近线对称于实轴条渐近线对称于实轴,起起点点∑pi-∑zj∣ ∣n-m∣ ∣i=1j=1nmσa =不变！不变！渐近线渐近线方方向向:φa=(2k+1)πn-mk= 0,1,2, …2kπ5实轴上某段实轴上某段右右侧零、极点侧零、极点个数之和个数之和为为 奇奇 数数，则该段，则该段是是根轨迹根轨迹偶偶6根轨迹的分离点根轨迹的分离点j=1m∑i=1n∑d-pi11d-zj=k= 0,1,2, …λL=(2k+1)πL,不变！不变！不变！不变！7与虚轴的交点与虚轴的交点8起始角与终止角起始角与终止角变了变了 确定闭环极点的方法 当 值满足幅值条件时，对应的根轨迹上的点，就是此时的闭环极点。
同样，利用幅值条件可确定根轨迹上任一点所对应的 值 有时已知一对主导共轭极点的阻尼比，要求确定闭环极点及其相应的开环增益为此可先画出一条给定的 线，根据它与复平面上根轨迹的交点确定一对共轭闭环极点然后用幅值条件求相应的开环增益，并用试探法求出满足幅值条件的实数极点 例4中，若给定一对主导极点的阻尼比 ，则 确定闭环极点的方法 用试探法可以确定此时的另一个闭环极点为 ，则系统的闭环传递函数为在图中作60º线可得它与根轨迹的交点为 ，根据幅值条件，对应的开环增益为 应用MATLAB绘根轨迹例，系统开环传递函数为: 求系统的根轨迹，作阻尼线ζ=0.5，求系统闭环极点，求系统的阶跃响应 G=zpk([-6.93+6.93i -6.93-6.93i],[0 0 -13.86],1);建立开环传递函数Gz=0.5;设阻尼系统figure(1);作图(1)rlocus(G);画G的根轨迹sgrid(z,’new’);作阻尼=0.5的阻尼线axis([-10 5 -10 10]);图(1)坐标系的设置K=rlocfind(G);通过光标求阻尼=0.5的增益figure(2);作图(2)rlocus(G); 求阻尼=0.5的增益hold on;rlocus(G,K); 求阻尼=0.5时系统的闭环极点-4.49+7.77iaxis([-40 5 -10 10])设图(2)的坐标系应用MATLAB绘根轨迹 应用MATLAB绘根轨迹t=0:0.005:3;求阶跃响应,设坐标系kos=0.5;阻尼系数wn=4.49/kos;求wn,因为:wn=σ/ζ=4.49/0.5num=wn^2;设闭环传递函数的分子多项式系数den=[1,2*kos*wn,wn^2]; 设闭环传递函数的分母多项式系数figure(3);作图(3)阶跃响应图step(num,den,t);grid 应用MATLAB绘根轨迹 应用MATLAB绘根轨迹 应用MATLAB绘根轨迹 。