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1、 运 筹 学 Operations Research 第一章 线性规划及单纯形法第一章 线性规划及单纯形法如何转化为标准形式？如何转化为标准形式？1、目标函数为求极小值，即为： 。 因为求 min z 等价于求 max (-z)，令 z = - z，即化为： 2、约束条件为不等式，xn+1 0松弛变量如何处理？如何处理？1 线性规划问题及其数学模型、右端项右端项b bi i 0 0时，只需将等式两端同乘（时，只需将等式两端同乘（-1-1）则右端项必大于零则右端项必大于零 4 4、决策变量无非负约束、决策变量无非负约束 设设 xj 没有非负约束，若没有非负约束，若 xj 0 0，可令可令 xj
2、= - = - xj ，则则 xj 0 0； 又若又若 xj 为自由变量，即为自由变量，即 xj 可为任意实数，可为任意实数，可令可令 xj = = xj - xj，且且 xj , xj 00第一章 线性规划及单纯形法e.g. 3试将 LP 问题min z = -x1+2x2-3x3 s.t. x1+x2+x3 7 x1-x2+x3 2 -3x1+x2+2x3 = -5 x1,x2 0 化为标准形式。解：令 x3= x4 - x5 其中x4、x5 0；对第一个约束条件加上松弛变量 x6 ；对第二个约束条件减去松弛变量 x7 ；对第三个约束条件两边乘以“-1” ；令 z=-z 把求 min z
3、改为求 max zmax z= x1-2x2+3x4- 3x5 s.t. x1+x2+x4-x5+x6=7 x1-x2+x4-x5-x7=2 3x1-x2-2x4+2x5=5 x1,x2,x4,x5,x6,x70 2 线性规划问题的图解法max z = 15x1 +25x2s.t. x1 + 3x2 60 x1 + x2 40 x1，x2 0 (40,0)(0,0)BC(30,10)O(0,20)AL1L2Z=250目标函数变形：目标函数变形：x2=-3/5 x1+z/25x2x1最优解最优解： x1=30 x2 =10最优值最优值：zmax=700B B点是使点是使z z达到最达到最大的唯一
4、可行点大的唯一可行点第一章 线性规划及单纯形法LPLP问题图解法的基本步骤问题图解法的基本步骤：1、在平面上建立直角坐标系；在平面上建立直角坐标系；2、图示约束条件，确定可行域和顶点坐标；图示约束条件，确定可行域和顶点坐标；3、图示目标函数（等值线）和移动方向；图示目标函数（等值线）和移动方向；4、寻找最优解。寻找最优解。2 线性规划问题的图解法max z =3x1 + 5.7x2 s.t. x1 + 1.9x2 3.8 x1 - 1.9x2 3.8 x1 + 1.9x2 11.4 x1 - 1.9x2 -3.8 x1 ，x2 0x1x2ox1 - 1.9 x2 = 3.8 x1 + 1.9
5、x2= 3.8x1 + 1.9 x2 = 11.4（7.6,2）D0=3 x1 +5.7 x2 max Z min Z（3.8,4）34.2 = 3 x1 +5.7 x2 可行域可行域x1 - 1.9 x2 = -3.8(0,2)(3.8,0) 绿色线段上的所有点绿色线段上的所有点都是最优解都是最优解,即有无穷多即有无穷多最优解。最优解。Zman=34.2第一章 线性规划及单纯形法max z = 2x1 + 2x2 s.t. 2x1 x2 2 -x1 + 4x2 4 x1，x2 0OA(,0)x1x2Note:可行域为无界区域，可行域为无界区域，目标函数值可无限目标函数值可无限增大，即解无界。
6、增大，即解无界。称为无最优解称为无最优解。可行域为无界可行域为无界区域一定无最区域一定无最优解吗？优解吗？2 线性规划问题的图解法由由以上两例分析可得如下重要结论：以上两例分析可得如下重要结论：1、LP LP 问题从解的角度可分为：问题从解的角度可分为： 有可行解有可行解 无可行解无可行解a.有唯一最优解有唯一最优解b.b. 有无穷多最有无穷多最优解优解c.C. 无最优解无最优解2、LP LP 问题若有最优解，必在可行域的某个顶点上取问题若有最优解，必在可行域的某个顶点上取 到；若有两个顶点上同时取到，则这两点的连线上到；若有两个顶点上同时取到，则这两点的连线上 任一点都是最优解。任一点都是最
7、优解。3 3：差值法（伏格尔法）：差值法（伏格尔法） 最小元素法的缺点是：为了节省一处的费用，有最小元素法的缺点是：为了节省一处的费用，有最小元素法的缺点是：为了节省一处的费用，有最小元素法的缺点是：为了节省一处的费用，有时造成其它处要多花几倍的运费。伏格尔法考虑到，时造成其它处要多花几倍的运费。伏格尔法考虑到，时造成其它处要多花几倍的运费。伏格尔法考虑到，时造成其它处要多花几倍的运费。伏格尔法考虑到，一产地的产品假如不能按最小费用就近供应，就考虑一产地的产品假如不能按最小费用就近供应，就考虑一产地的产品假如不能按最小费用就近供应，就考虑一产地的产品假如不能按最小费用就近供应，就考虑次小费用，
8、这就有一个差额，差额越大，说明不按最次小费用，这就有一个差额，差额越大，说明不按最次小费用，这就有一个差额，差额越大，说明不按最次小费用，这就有一个差额，差额越大，说明不按最小运费调运时，运费增加越多。因而对差额最大处，小运费调运时，运费增加越多。因而对差额最大处，小运费调运时，运费增加越多。因而对差额最大处，小运费调运时，运费增加越多。因而对差额最大处，就应当采用最小调运方案。就应当采用最小调运方案。就应当采用最小调运方案。就应当采用最小调运方案。 基于此，伏格尔法的步骤是：每次从当前运价表基于此，伏格尔法的步骤是：每次从当前运价表基于此，伏格尔法的步骤是：每次从当前运价表基于此，伏格尔法的
9、步骤是：每次从当前运价表上，计算各行各列中最小费用与次小费用这两个运价上，计算各行各列中最小费用与次小费用这两个运价上，计算各行各列中最小费用与次小费用这两个运价上，计算各行各列中最小费用与次小费用这两个运价的差值，优先取最大差值的行或列中最小的运价来确的差值，优先取最大差值的行或列中最小的运价来确的差值，优先取最大差值的行或列中最小的运价来确的差值，优先取最大差值的行或列中最小的运价来确定运输关系，直到求出初始方案。定运输关系，直到求出初始方案。定运输关系，直到求出初始方案。定运输关系，直到求出初始方案。仍然考虑先前的例子 销地产地B1B2B3B4产量A1 3113107A2 19284A3
10、741059销量3656伏格尔法的步骤如下： 销地产地B1B2B3B4产量行差额A1 31131070A2 192841A37410591销量3656列差额2513（1 1 1 1）先分别计算出各行各列最小费用与次小费用的）先分别计算出各行各列最小费用与次小费用的）先分别计算出各行各列最小费用与次小费用的）先分别计算出各行各列最小费用与次小费用的差额，并填入该表的最右列和最下行。差额，并填入该表的最右列和最下行。差额，并填入该表的最右列和最下行。差额，并填入该表的最右列和最下行。（2 2 2 2）从行差额和列差额中选出最大者，选择它所在的）从行差额和列差额中选出最大者，选择它所在的）从行差额和
11、列差额中选出最大者，选择它所在的）从行差额和列差额中选出最大者，选择它所在的行或列中的最小元素所在的格作为优先的运输方案。行或列中的最小元素所在的格作为优先的运输方案。行或列中的最小元素所在的格作为优先的运输方案。行或列中的最小元素所在的格作为优先的运输方案。在这里优先选在这里优先选在这里优先选在这里优先选A3A3满足满足满足满足B2 6B2 6个单位，个单位，个单位，个单位， B2B2列已满足，划去列已满足，划去列已满足，划去列已满足，划去B2B2列。列。列。列。 销地产地B1B2B3B4产量行差额A1 31131070A2 192841A374 610591销量3656列差额2513（3
12、3 3 3）计算剩余元素的行差额和列差额，并选出最大者，）计算剩余元素的行差额和列差额，并选出最大者，）计算剩余元素的行差额和列差额，并选出最大者，）计算剩余元素的行差额和列差额，并选出最大者，选择它所在的行或列中的最小元素所在的格作为优先选择它所在的行或列中的最小元素所在的格作为优先选择它所在的行或列中的最小元素所在的格作为优先选择它所在的行或列中的最小元素所在的格作为优先的运输方案。在这里优先选的运输方案。在这里优先选的运输方案。在这里优先选的运输方案。在这里优先选A3A3供应供应供应供应B4 3B4 3个单位，个单位，个单位，个单位， A3A3行行行行已满足，划去已满足，划去已满足，划去
13、已满足，划去A3A3行。行。行。行。 销地产地B1B2B3B4产量行差额A1 31131070A2 192841A374 6105 392销量3656列差额2513（4 4 4 4）继续进行。在这里优先选）继续进行。在这里优先选）继续进行。在这里优先选）继续进行。在这里优先选A2A2供应供应供应供应B1 3B1 3个单位，个单位，个单位，个单位， B1B1列已满足，划去列已满足，划去列已满足，划去列已满足，划去B1B1列。列。列。列。 销地产地B1B2B3B4产量行差额A1 31131070A2 1 392841A374 6105 392销量3656列差额2512（5 5 5 5）继续进行）继
14、续进行）继续进行）继续进行 销地产地B1B2B3B4产量行差额A1 3113 5 1077A2 1 392846A374 6105 392销量3656列差额2512（6 6 6 6）继续进行）继续进行）继续进行）继续进行 销地产地B1B2B3B4产量行差额A1 3113 5 10 7A2 1 3928 14A374 6105 392销量3656列差额2512 销地产地B1B2B3B4产量A1 3113 510 27A2 1 3 928 14A374 6 105 39销量3656（7 7 7 7）继续进行得最终结果为：）继续进行得最终结果为：）继续进行得最终结果为：）继续进行得最终结果为：（8
15、8 8 8）得到初始方案：）得到初始方案：）得到初始方案：）得到初始方案：X X X X13131313=5=5=5=5，X X X X14141414=2=2=2=2，X X X X21212121=3=3=3=3，X X X X24242424=1=1=1=1，X X X X32323232=6=6=6=6，X X X X34343434=3=3=3=3总运费总运费总运费总运费=3*5+10*2+1*3+8*1+4*6+5*3=85=3*5+10*2+1*3+8*1+4*6+5*3=85=3*5+10*2+1*3+8*1+4*6+5*3=85=3*5+10*2+1*3+8*1+4*6+5*
16、3=85（元）（元）（元）（元） 销地产地B1B2B3B4产量A1 3113 510 27A2 1 3928 14A374 6105 39销量3656例：求v1至v8的最短路。v2v3v7v1v8v4v5v66134105275934682v2v3v7v1v8v4v5v66134105275934682(1) v1:0,v1计算min 0+2, 0+1, 0+3= min 2,1,3=1 v4:1.v11,v10,v1(2)A=v1检查边（v1,v2),(v1,v4),(v1,v3)v2v3v7v1v8v4v5v66134105275934682(3)A=v1,v4计算 min0+2, 0+3
17、, 1+10, 1+2=min 2,3,11,3=2 v2:2,v10,v11,v12,v1考虑边（考虑边（v1,v2),(v1,v6),(v4,v2),(v4,v7)v2v3v7v1v8v4v5v66134105275934682（4）A=v1,v2,v4 计算min 0+3, 2+6, 2+5, 1+2=min 3,8,7,3=3 v6:3,v12,v11,v10,v13,v1考虑边（考虑边（v1,v6),(v2,v3),(v2,v5),(v4,v7)v2v3v7v1v8v4v5v66134105275934682(5)A=V1,V2,V4,V6计算 min 2+6, 2+5, 1+2,
18、3+4=min 8,7,3,7=3 v7:3,v42，V11，V10，V13，V13,v4考虑边考虑边(v2,v3),(v2,v5),(v4,v7),(v6,v7)V2V3V7V1V8V4V5V66134105275934682(6)A=V1,V2,V4,V6,V7计算min 2+6, 2+5, 3+3, 3+8=min 8,7,6,11=6 v5:6,v72,v11,v10,v13,v13,v46,v7考虑边考虑边(v2,v3),(v2,v5),(v7,v5),(v7,v8)v2v3v7v1v8v4v5v66134105275934682(7)A=V1,V2,V4,V6,V7计算min 2+
19、6, 6+9, 6+4, 3+8=min 8,15,10,11=8 v3:8,v22,V11,V10,V13,V13,V46,V78,v2考虑边考虑边(v2,v3),(v5,v3),(v5,v8),(v7,v8)v2v3v7v1v8v4v5v66134105275934682(8)A=v1,v2,v3,v4,v6,v7 计算 min 8+6, 6+4, 3+8=min 14,10,11=10 v8:10,v52,v11,v10,v13,v13,v46,v78,v210,v5考虑边（考虑边（v3,v8),(v5,v8),(v7,v8)v2v3v7v1v8v4v5v66134105275934682(9)A=v1,v2,v3,v4,v6,v7,v8v1到v10的最短路径为v1v4v7v5v8，最短路长度为10。2,v11,v10,v13,v13,v46,v78,v210,v5反向追踪：反向追踪：v8-v5-v7-v4-v1
