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1、第十三讲 反比例函数1.1.了解：反比例函数的定义与关系式了解：反比例函数的定义与关系式. .2.2.掌握：反比例函数的图象与性质掌握：反比例函数的图象与性质, ,反比例函数中比例系数反比例函数中比例系数k k的的几何意义几何意义. .3.3.会：运用反比例函数处理实践问题会：运用反比例函数处理实践问题. .解答反比例函数与方程及解答反比例函数与方程及与其他函数相交融的综合性标题与其他函数相交融的综合性标题. .一、反比例函数的有关概念一、反比例函数的有关概念1.1.反比例函数的定义反比例函数的定义普通地，形如普通地，形如y= (ky= (k是常数，是常数，k0)k0)的函数叫做反比例函数的函
2、数叫做反比例函数, ,其其中中_是自变量是自变量,_,_的函数的函数,k,k是比例系数是比例系数. .2.2.反比例函数关系式的三种方式反比例函数关系式的三种方式(1)y=_(k(1)y=_(k是常数，是常数，k0);k0);(2)y=k_(k(2)y=k_(k是常数，是常数，k0);k0);(3)xy=_(k(3)xy=_(k是常数，是常数，k0).k0).x xy y是是x xx-1x-1k k【即时运用即时运用】1.1.假设函数假设函数y= y= 是反比例函数，那么是反比例函数，那么m m的值为的值为_._.2.2.假设反比例函数的图象经过点假设反比例函数的图象经过点(1(1，-3)-3
3、)，那么这个函数的关，那么这个函数的关系式为系式为_._.3.3.菱形的面积为菱形的面积为1010，两条对角线的长分别为，两条对角线的长分别为x x，y y，那么，那么y y与与x x的函的函数关系式为数关系式为_._.-2-2二、反比例函数的图象与性质二、反比例函数的图象与性质1.1.反比例函数反比例函数y= (ky= (k是常数是常数,k0),k0)的图象是的图象是_，且关于，且关于_对称对称. .双曲线双曲线原点原点2.2.反比例函数反比例函数y= (ky= (k是常数是常数,k0),k0)的图象和性质的图象和性质函数函数 图象图象 所在象限所在象限性质性质y= y= (k(k是是常数常
4、数, ,k0)k0)k_0k_0 一、三象限一、三象限(x,y(x,y同号同号) ) 在每个象限内，在每个象限内，y y随随x x的增大而的增大而_k_0k_0 二、四象限二、四象限(x,y(x,y异号异号) ) 在每个象限内，在每个象限内，y y随随x x的增大而的增大而_ 减小减小增大增大【即时运用即时运用】1.1.知反比例函数知反比例函数y= y= 的图象位于第一、三象限，那么的图象位于第一、三象限，那么k k的取的取值范围是值范围是_._.2.2.假设点假设点A(-1A(-1，y1)y1)，B(2B(2，y2)y2)，C(3C(3，y3)y3)都在反比例函数都在反比例函数y= y= 的
5、图象上，那么的图象上，那么y1y1，y2y2，y3 y3 的大小关系是的大小关系是_._.3.3.知反比例函数知反比例函数y= y= 的图象如下图，那么一次函数的图象如下图，那么一次函数y=kx+ky=kx+k的图的图象不经过第象不经过第_象限象限. .k k2 2y2y2y3y3y1y1四四【中心点拨】【中心点拨】1.1.反比例函数的图象是双曲线，它既是轴对称图形，又是中心反比例函数的图象是双曲线，它既是轴对称图形，又是中心对称图形对称图形. .其对称轴是直线其对称轴是直线y=xy=x和直线和直线y=-x,y=-x,对称中心是坐标原点对称中心是坐标原点. .2.2.正比例函数正比例函数y=k
6、1xy=k1x与反比例函数与反比例函数(1)(1)当当k1k20k1k20k1k20时，两图象必有两个交点时，两图象必有两个交点, ,且这两个交点关于原且这两个交点关于原点成中心对称点成中心对称. .反比例函数的图象与性质反比例函数的图象与性质中考指数：中考指数：知识知识点睛点睛1.1.图象的特点图象的特点反比例函数的图象与反比例函数的图象与x x轴、轴、y y轴都没有交点，即双曲线的轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不能与坐标轴相交两个分支无限接近坐标轴，但永远不能与坐标轴相交. .2.2.比例系数比例系数k k与图象位置、函数增减性的关系与图象位置、函数增减性的关系反比
7、例函数图象的位置和函数的增减性，是由其比例系反比例函数图象的位置和函数的增减性，是由其比例系数数k k的符号决定的；由反比例函数的图象位置和函数的增的符号决定的；由反比例函数的图象位置和函数的增减性可以判断减性可以判断k k的符号的符号. .特别特别提醒提醒反比例函数的增减性必须在图象的一个分支上研究反比例函数的增减性必须在图象的一个分支上研究. .【例【例1 1】(2021(2021青岛中考青岛中考) )点点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)都在都在反比例函数反比例函数y= y= 的图象上，假设的图象上，假设x1x20x3
8、,x1x20x3,那么那么y1,y2,y3y1,y2,y3的大的大小关小关系是系是( )( )(A)y3y1y2 (B)y1y2y3(A)y3y1y2 (B)y1y2y3(C)y3y2y1 (D)y2y1y3(C)y3y2y1 (D)y2y1y3【教他解题】【教他解题】确定确定A,B,CA,B,C的位置的位置k=-3O,k=-3O,图象在第二、四象限，图象在第二、四象限，x1x2Ox3x1x2Ox3AA，B B在第二象限，在第二象限，C C在第四象限在第四象限y3y3最小最小. .比较比较y1,y2y1,y2的大小的大小由由kOkO，知每个分支上，知每个分支上y y随随x x的增大的增大而增大
9、，故而增大，故y1y2.y1y2.答案答案y3y1y2y3y11 (B)m0(A)m1 (B)m0(C)m1 (D)m0(C)m1 (D)m0,k-20,所以所以k2,k2,正确；反比例函数的图正确；反比例函数的图象在一，三象限或二，四象限，所以象在一，三象限或二，四象限，所以正确；假设正确；假设A,BA,B在不同的在不同的分支，那么不正确；在同一分支上，那么一定正确，故分支，那么不正确；在同一分支上，那么一定正确，故不正不正确，确， 正确正确. .答案：答案：与双曲线有关的面积计算与双曲线有关的面积计算中考指数：中考指数：知知识识点点睛睛双曲线上的点与坐标轴围成图形的面积双曲线上的点与坐标轴
10、围成图形的面积设设P(xP(x0 0,y,y0 0) )为双曲线为双曲线y= (k0)y= (k0)上任意一点：上任意一点：1.1.如图，过点如图，过点P P作作x x轴垂线，垂足为轴垂线，垂足为A A，则，则S SAOPAOP= = OAAP= |xOAAP= |x0 0yy0 0|=|=知知识识点点睛睛2.2.过点过点P P分别作分别作x x轴、轴、y y轴的垂线，垂足为轴的垂线，垂足为A A，B B，则，则S S矩形矩形OAPBOAPB=OAAP=|x=OAAP=|x0 0yy0 0|=|k|.|=|k|.特特别别提提醒醒1.1.用好双曲线的对称性：双曲线关于原点用好双曲线的对称性：双曲
11、线关于原点O O对称，因此双对称，因此双曲线曲线y= (k0)y= (k0)与过原点与过原点O O的正比例函数的正比例函数y=kxy=kx的交点关于的交点关于原点原点O O对称对称. .2.2.会用割补法求面积会用割补法求面积. .尤其要注意有时需先利用坐标轴构尤其要注意有时需先利用坐标轴构造出特殊图形造出特殊图形( (如矩形、梯形、直角三角形等如矩形、梯形、直角三角形等).).【例【例2 2】(2021(2021东营中考东营中考) )如图，直线如图，直线l l和和双曲线双曲线y= (ky= (k0)0)交于交于A,BA,B两点两点,P,P是线段是线段ABAB上的点上的点( (不与不与A,BA
12、,B重合重合),),过点过点A,B,PA,B,P分别分别向向x x轴作垂线轴作垂线, ,垂足分别是垂足分别是C,D,E,C,D,E,连结连结OA,OA,OB,OP,OB,OP,设设AOCAOC面积是面积是S1S1、BODBOD面积是面积是S2S2、POEPOE面积是面积是S3S3，那么，那么( )( )(A)S1(A)S1S2S2S3 (B)S1S3 (B)S1S2S2S3S3(C)S1=S2(C)S1=S2S3 (D)S1=S2S3 (D)S1=S2S3S3【教他解题教他解题】察看察看点点A A，B B在双曲线在双曲线y= (kO)y= (kO)上，上，点点P P在双曲线的上方在双曲线的上方
13、比较比较设设PEPE交双曲线于点交双曲线于点F,F,那么那么S1=S2S1=S2=SFOE=SFOE，而，而S3SFOES3SFOE答案答案S1=S2S3S1=S2S3，选，选D D【对点训练】【对点训练】4.(20214.(2021威海中考威海中考) )以下选项中，阴影部分面积最小的是以下选项中，阴影部分面积最小的是( )( )【解析】选【解析】选C.C.由反比例函数的性质可得由反比例函数的性质可得A A、B B选项中的阴影面积都选项中的阴影面积都是是2 2，C C选项中阴影的面积为选项中阴影的面积为 D D选项中的阴影面积为选项中的阴影面积为2 2，应选，应选C.C.5.(20215.(2
14、021荆门中考荆门中考) )如图，点如图，点A A是反比例函数是反比例函数y= (xy= (x0)0)的图的图象上恣意一点，象上恣意一点，ABxABx轴交反比例函数轴交反比例函数y= y= 的图象于点的图象于点B B，以，以ABAB为边作为边作ABCDABCD，其中，其中C C，D D在在x x轴上，那么轴上，那么SABCDSABCD为为( )( )(A)2(A)2(B)3(B)3(C)4(C)4(D)5(D)5【解析】选【解析】选D.D.如图如图, ,连结连结OB,OA,OB,OA,设设ABAB与与y y轴交于点轴交于点E E，由，由ABxABx轴轴, ,得得AByABy轴，所以轴，所以OB
15、EOBE的面积为的面积为1.51.5，OAEOAE的面积为的面积为1 1，即，即OABOAB的面积为的面积为1.5+1=2.51.5+1=2.5，所以，所以SABCD=2SOAB=22.5=5.SABCD=2SOAB=22.5=5.6. (20216. (2021桂林中考桂林中考) )双曲线双曲线y1, y2y1, y2在第一象限的图象如图所在第一象限的图象如图所示，示，y1= y1= 过过y1y1上的恣意一点上的恣意一点A A，作，作x x轴的平行线交轴的平行线交y2y2于于B B，交，交y y轴于轴于C C，假设，假设SAOB=1SAOB=1，那么，那么y2y2的关系式是的关系式是_._.
16、【解析】由于反比例函数【解析】由于反比例函数y1= y1= 所以所以SAOC=2.SAOC=2.又又SAOB=1SAOB=1，所以，所以SCOB=3SCOB=3，所以反比例函数，所以反比例函数y2y2的关系式是的关系式是y2=y2=答案：答案：y2= y2= 反比例函数关系式及其运用反比例函数关系式及其运用中考指数：中考指数：知知识识点点睛睛利用反比例函数解决实际问题的步骤利用反比例函数解决实际问题的步骤1.1.建模：通过分析题意构建反比例函数模型建模：通过分析题意构建反比例函数模型. .2.2.求关系式：用待定系数法求出反比例函数关系式求关系式：用待定系数法求出反比例函数关系式. .3.3.
17、解决问题：利用函数关系解决问题解决问题：利用函数关系解决问题. .特特别别提提醒醒实际问题中的反比例函数，其自变量的取值往往受到一定实际问题中的反比例函数，其自变量的取值往往受到一定的限制，这时其图象通常是双曲线的一支或一段的限制，这时其图象通常是双曲线的一支或一段. .【例【例3 3】(2021(2021大庆中考大庆中考) )如下图，制造一种产品的同时，需将如下图，制造一种产品的同时，需将原资料加热，设该资料温度为原资料加热，设该资料温度为y y ，从加热开场计算的时间为，从加热开场计算的时间为x x分钟分钟. .据了解，该资料在加热过程中温度据了解，该资料在加热过程中温度y y与时间与时间
18、x x成一次函数关成一次函数关系系. .知该资料在加热前的温度为知该资料在加热前的温度为1515，加热，加热5 5分钟使资料温度到分钟使资料温度到达达6060时停顿加热，停顿加热后，资料温度逐渐下降，这时温时停顿加热，停顿加热后，资料温度逐渐下降，这时温度度y y与时间与时间x x成反比例函数关系成反比例函数关系. .(1)(1)分别求出该资料加热和停顿加热过程中分别求出该资料加热和停顿加热过程中y y与与x x的函数关系的函数关系( (要要写出写出x x的取值范围的取值范围) )；(2)(2)根据工艺要求，在资料温度不低于根据工艺要求，在资料温度不低于3030的这段时间内，需求的这段时间内，
19、需求对该资料进展特殊处置，那么对该资料进展特殊处置所用的时对该资料进展特殊处置，那么对该资料进展特殊处置所用的时间为多少分钟？间为多少分钟？【思绪点拨】【思绪点拨】 设出函数关系式设出函数关系式 列方程列方程 解方程解方程 确定函数关系式确定函数关系式 代入代入 结果结果【自主解答】【自主解答】(1)(1)设加热过程中一次函数关系式为设加热过程中一次函数关系式为y=kx+by=kx+b，该，该函数图象经过点函数图象经过点(0,15)(0,15)，(5,60)(5,60)，即即 解得解得所以一次函数关系式为所以一次函数关系式为y=9x+15(0x5).y=9x+15(0x5).设加热停顿后反比例
20、函数关系式为设加热停顿后反比例函数关系式为y= y= 该函数图象经过点该函数图象经过点(5,60)(5,60)，即即 =60 =60，得，得a=300a=300，所以反比例函数关系式为，所以反比例函数关系式为y= (x5).y= (x5).(2)(2)由题意得：由题意得： 解得解得解得解得x2=10x2=10，那么，那么x2-x1=10x2-x1=10所以对该资料进展特殊处置所用的时间为所以对该资料进展特殊处置所用的时间为 分钟分钟. . 【对点训练】【对点训练】7.(20217.(2021泰州中考泰州中考) )某公司方案新建一个容积某公司方案新建一个容积V(m3)V(m3)一定的长方一定的长
21、方体污水处置池，池的底面积体污水处置池，池的底面积S(m2)S(m2)与其深度与其深度h(m)h(m)之间的函数关系之间的函数关系式为式为S= (h0)S= (h0)，这个函数的图象大致是，这个函数的图象大致是( )( )【解析】选【解析】选C.C.由于由于V V是定值是定值( (常数常数) )，所以，所以S S与与h h的关系是反比例函的关系是反比例函数关系，且数关系，且h h0 0，所以选，所以选C.C.8.(20218.(2021兰州中考兰州中考) )近视眼镜的度数近视眼镜的度数y(y(度度) )与镜片焦距与镜片焦距x(m)x(m)成反成反比例，知比例，知400400度近视眼镜镜片的焦距
22、为度近视眼镜镜片的焦距为0.25 m0.25 m，那么，那么y y与与x x的函数的函数关系式为关系式为( )( )【解析】选【解析】选C.C.设设y= (k0)y= (k0)，k=4000.25=100,y=k=4000.25=100,y=9.(20219.(2021宜宾中考宜宾中考) )蓄电池的电压为定值，运用此电源时，电蓄电池的电压为定值，运用此电源时，电流流I(A)I(A)是电阻是电阻R()R()的反比例函数，其图象如下图的反比例函数，其图象如下图. .(1)(1)求这个反比例函数的表达式；求这个反比例函数的表达式；(2)(2)当当R=10 R=10 时，电流能是时，电流能是4 A4
23、A吗？为什么？吗？为什么？【解析】【解析】(1)(1)电流电流I(A)I(A)是电阻是电阻R()R()的反比例函数，的反比例函数，设设I= (k0)I= (k0)，把把(4(4，9)9)代入得：代入得：k=49=36k=49=36，I=I=(2)(2)方法一：当方法一：当R=10 R=10 时，时，I=3.64,I=3.64,电流不能够是电流不能够是4 A.4 A.方法二：方法二：104=4036,104=4036,当当R=10 R=10 时，电流不能够是时，电流不能够是4 A.4 A.【高手支招】列实践问题的反比例函数关系式【高手支招】列实践问题的反比例函数关系式(1)(1)列实践问题中的反
24、比例函数关系式首先应分析清楚各变量之列实践问题中的反比例函数关系式首先应分析清楚各变量之间应满足的关系，即实践问题中的变量之间的关系间应满足的关系，即实践问题中的变量之间的关系建立反比建立反比例函数模型例函数模型处理实践问题处理实践问题. .(2)(2)在列实践问题中的函数关系式时，一定要留意关系式中自变在列实践问题中的函数关系式时，一定要留意关系式中自变量的取值范围量的取值范围【创新命题】同一坐标系中的双曲线与直线【创新命题】同一坐标系中的双曲线与直线【例】【例】(2021(2021嘉兴中考嘉兴中考) )如图，一次如图，一次函数函数y1=kx+by1=kx+b的图象与反比例函数的图象与反比例
25、函数y2=y2=的图象相交于点的图象相交于点A(2A(2，3)3)和点和点B B，与与x x轴相交于点轴相交于点C(8C(8，0)0)(1)(1)求这两个函数的关系式；求这两个函数的关系式；(2)(2)当当x x取何值时，取何值时，y1y1y2y2【解题导引】先由【解题导引】先由A A，C C两点坐标分别求出两个函数的关系式两点坐标分别求出两个函数的关系式. .以以两图象的交点为界限，由图象位置特征讨论两图象的交点为界限，由图象位置特征讨论y1y1与与y2y2的大小的大小. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)把把 A(2 A(2，3)3)代入代入y2= y2= 得得m=6m=6把把 A(2
26、 A(2，3)3)，C(8C(8，0)0)代入代入y1=kx+by1=kx+b，得，得解得解得这两个函数的关系式为这两个函数的关系式为(2)(2)由题意得由题意得解得解得当当x x0 0或或2 2x x6 6时，时，y1y1y2y2【名师点评名师点评】经过对反比例函数与一次函数图象的综合运用的经过对反比例函数与一次函数图象的综合运用的分析和总结，我们可以得到以下该类型标题的创新点拨和解题分析和总结，我们可以得到以下该类型标题的创新点拨和解题启示：启示： 创新新点点拨 1.一次函数和反比例函数是两一次函数和反比例函数是两类重要的函数，也是重要的函数，也是历年中年中考命考命题的的热点内容点内容.在
27、各在各类考考试中中,常常出常常出现两两类函数的函数的图象融合在一起的象融合在一起的综合合问题.2.这类试题不不仅能考能考查两个函数的基本性两个函数的基本性质，而且能考，而且能考查学生学生综合分析合分析问题的能力的能力.解解题启启示示1.探求同一坐探求同一坐标系下两函数的系下两函数的图象常用排除法象常用排除法.2.探求两函数关系式常利用两函数探求两函数关系式常利用两函数图象的交点坐象的交点坐标.3.探求两探求两图象中点的坐象中点的坐标常利用解方程常利用解方程(组)来解决，来解决，这也也是求两函数是求两函数图象交点坐象交点坐标的常用方法的常用方法.1.(20211.(2021毕节中考毕节中考) )
28、一次函数一次函数y=kx+k(k0)y=kx+k(k0)和反比例函数和反比例函数y=y= (k0) (k0)在同不断角坐标系中的图象大致是在同不断角坐标系中的图象大致是( )( )【解析】选【解析】选C.C.当当k k0 0时，一次函数经过一、二、三象限，反时，一次函数经过一、二、三象限，反比例函数在一、三象限，没有符合条件的选项；比例函数在一、三象限，没有符合条件的选项；当当k k0 0时，时，一次函数经过二、三、四象限，反比例函数在二、四象限一次函数经过二、三、四象限，反比例函数在二、四象限. .应选应选C.C.2.(20212.(2021益阳中考益阳中考) )反比例函数反比例函数y= y
29、= 的图象与一次函数的图象与一次函数y=2x+1y=2x+1的图象的一个交点是的图象的一个交点是(1(1，k)k)，那么反比例函数的关系式是，那么反比例函数的关系式是_ 【解析】把【解析】把(1(1，k)k)代入代入y=2x+1,y=2x+1,解得解得k=3,k=3,所以反比例函数的关所以反比例函数的关系式是系式是y=y=答案：答案：y= y= 3.(20213.(2021宁波中考宁波中考) )如图，知一次函数与反比例函数的图象交如图，知一次函数与反比例函数的图象交于点于点A(-4A(-4，-2)-2)和和B(aB(a，4).4).(1)(1)求反比例函数的关系式和点求反比例函数的关系式和点B
30、 B的坐标；的坐标；(2)(2)根据图象回答，当根据图象回答，当x x在什么范围内时，一次函数的值大于反在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值？比例函数的值？【解析】【解析】(1)(1)设反比例函数的关系式为设反比例函数的关系式为y=y=反比例函数图象经过点反比例函数图象经过点A(-4,-2)A(-4,-2)，-2=-2=k=8,k=8,反比例函数的关系式为反比例函数的关系式为y=y=B(a,4)B(a,4)在在y= y= 的图象上，的图象上，4= a=2,4= a=2,点点B B的坐标为的坐标为(2(2，4).4).(2)(2)根据图象得，当根据图象得，当x x2 2或或-4-4x x0 0时，一次函数的值大于反比时，一次函数的值大于反比例函数的值例函数的值
