构造全等三角形(常见辅助线法)

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1、ABDEFMN构造全等三角形(常见辅助线法)构造全等三角形(常见辅助线法)如图如图,AB=AD,BC=DC,AB=AD,BC=DC,求证求证:B=D.:B=D.ACBD连接连接ACAC构造全等三角形构造全等三角形连连线线 构构造造全全等等构造全等三角形(常见辅助线法)连线连线 构造全等构造全等如图如图,AB,AB与与CDCD交于交于O, O, 且且AB=CDAB=CD，AD=BCAD=BC，OB=5cmOB=5cm，求，求ODOD的长的长. .连接连接BDBD构造全等三角形构造全等三角形ACBDO构造全等三角形(常见辅助线法)构造全等三角形(常见辅助线法)如何利用三角形的中线来构造全等三角形？

2、如何利用三角形的中线来构造全等三角形？ 可可以以利利用用倍倍长长中中线线法法，即即把把中中线线延长一倍，来构造全等三角形。延长一倍，来构造全等三角形。 如图，若如图，若AD为为ABC的中线，的中线， 必有结论必有结论：ABCDE12 延长延长AD到到E，使，使DE=AD，连结连结BE（也可连结（也可连结CE）。）。ABDECD，1=E，B=2，EC=AB，CEAB。构造全等三角形(常见辅助线法)已知，如图已知，如图ADAD是是ABCABC的中线，的中线，ABCDE延长延长ADAD到点到点E E，使，使DE=ADE=AD D，连结连结CE.CE.思考：若思考：若AB=3,AC=5AB=3,AC=

3、5求求ADAD的取值范围？的取值范围？倍长中线构造全等三角形(常见辅助线法)构造全等三角形(常见辅助线法)已知在已知在ABC中，中，C=2 B, 1= 2求证求证:AB=AC+CDADBCE12在在AB上取点上取点E使得使得AE=AC，连接，连接DE截长截长F在在AC的延长线上取点的延长线上取点F使得使得CF=CD，连接，连接DF补短补短构造全等三角形(常见辅助线法)A1BCD234如图所示，已知如图所示，已知AD BC，1= 2，3= 4，直线，直线DC经过点经过点E交交AD于点于点D，交交BC于点于点C。求证：。求证：AD+BC=ABEF在在AB上取点上取点F使得使得AF=AD,连接连接E

4、F截长补短构造全等三角形(常见辅助线法)证明明：例例1已知：如已知：如图，在四，在四边形形ABCD中，中，BD是是ABC的角平分的角平分线，AD=CD，求，求证：A+ C=180DABCE在在BC上截取上截取BE，使，使BE=AB，连结DE。 BD是是ABC的角平分的角平分线（已知）（已知）1=2（角平分（角平分线定定义）在在ABD和和EBD中中 AB=EB（已知）（已知） 1=2（已（已证） BD=BD（公共（公共边）ABDEBD（S.A.S）1243 3+ 4180（平角定（平角定义），），A3（已（已证）A+ C180 （等量代（等量代换）3 32 21 1* * A3（全等三角形的（全

5、等三角形的对应角相等）角相等） AD=CD（已知），（已知），AD=DE（已（已证）DE=DC（等量代（等量代换）4=C（等（等边对等角）等角）AD=DE（全等三角形的（全等三角形的对应边相等）相等）构造全等三角形(常见辅助线法)证明明:例例1已知：如已知：如图，在四，在四边形形ABCD中，中，BD是是ABC的角平分的角平分线，AD=CD，求，求证：A+ C=180DABCF延延长BA到到F，使，使BF=BC，连结DF。 BD是是ABC的角平分的角平分线（已知）（已知）1=2（角平分（角平分线定定义）在在BFD和和BCD中中 BF=BC（已知）（已知） 1=2（已（已证） BD=BD（公共（公

6、共边）BFDBCD（S.A.S）1243 FC（已（已证）4=C（等量代（等量代换）3 32 21 1* * FC（全等三角形的（全等三角形的对应角相等）角相等） AD=CD（已知），（已知），DF=DC（已（已证）DF=AD（等量代（等量代换）4=F（等（等边对等角）等角） 3+ 4180 （平角定（平角定义）A+ C180 （等量代（等量代换）DF=DC（全等三角形的（全等三角形的对应边相等）相等）构造全等三角形(常见辅助线法)练习练习1 1如如图，已知，已知ABC中，中，AD是是BAC的角平分的角平分线，AB=AC+CD，求，求证：C=2 BABCDE122 21 1证明证明: :在在A

7、B上截取上截取AE，使，使AE=AC，连结DE。 AD是是BAC的角平分的角平分线（已知）（已知）1=2（角平分（角平分线定定义）在在AED和和ACD中中 AE=AC（已知）（已知） 1=2（已（已证） AD=AD（公共（公共边）AEDACD（S.A.S）3B=4（等（等边对等角）等角）4* * C3（全等三角形的（全等三角形的对应角相等角相等)又又 AB=AC+CD=AE+EB（已知）（已知）EB=DC=ED（等量代（等量代换） 3= B+4= 2B（三角形的一个外角等于（三角形的一个外角等于和它不相和它不相邻的两个内角和）的两个内角和）C=2B（等量代（等量代换）ED=CD（全等三角形的（

8、全等三角形的对应边相等）相等）构造全等三角形(常见辅助线法)练习练习1 1如如图，已知，已知ABC中，中，AD是是BAC的角平分的角平分线，AB=AC+CD，求，求证：C=2 BABCDF12证明证明: :延延长AC到到F，使，使CF=CD，连结DF。 AD是是BAC的角平分的角平分线（已知）（已知）1=2（角平分（角平分线定定义） AB=AC+CD，CF=CD（已知）（已知） AB=AC+CF=AF（等量代（等量代换） ACB= 2F（三角形（三角形的一个外角等于和它不相的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）的两个内角和）ACB=2B（等量代（等量代换）32 21 1* *在在ABD和和AF

9、D中中 AB=AF（已（已证） 1=2（已（已证） AD=AD（公共（公共边）ABDAFD（S.A.S） FB（全等三角形的（全等三角形的对应角相等）角相等） CF=CD（已知）（已知）B=3（等（等边对等角）等角）构造全等三角形(常见辅助线法)如如图，已知直，已知直线MN PQ，且，且AE平分平分BAN、BE平平分分QBA，DC是是过E的任意的任意线段，交段，交MN于点于点D，交，交PQ于点于点C。求。求证：AD+AB=BC。证明证明: :延延长AE，交直，交直线PQ于点于点F。* *3 30 0*22222121ABCDEMNPQ1234F5构造全等三角形(常见辅助线法)构造全等三角形(常

10、见辅助线法)1.1.如图如图,ABC,ABC中中,C=90,C=90o o,AC=BC,AD,AC=BC,AD平分平分ACB,ACB, DEAB. DEAB.若若AB=6cm,AB=6cm,则则DBEDBE的周长是多少的周长是多少? ?.“.“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助“角平分线性角平分线性质质”BACDEBE+BD+DEBE+BD+CDBE+BCBE+ACBE+AEAB构造全等三角形(常见辅助线法)2.2.如图如图,ABC,ABC中中, D, D在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上, ,E E在在ACAC的垂直平分线上的垂直平分线上. .若若BC=6cm,BC=6cm,求求

11、ADEADE的周长的周长. .“.“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助“垂直平分线垂直平分线性质性质”BACDEAD+AE+DEBD+CE+DEBC构造全等三角形(常见辅助线法)5.5.如图如图, ABC, ABC中，中，BPBP、CPCP是是ABCABC的角平分线，的角平分线，MN/BC.MN/BC.若若BC=6cm, AMNBC=6cm, AMN周长为周长为13cm13cm，求，求ABCABC的周长的周长. .“.“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助“等腰三角形等腰三角形性质性质”BACPAB+AC+BCAM+ BM+AN+NC+6NAM+ MP+AN+NP+613+6MAM+

12、AN+MN+6构造全等三角形(常见辅助线法)构造全等三角形(常见辅助线法) ABC中中,ABAC ， A的平分线与的平分线与BC的垂直平分线的垂直平分线DM相交于相交于D，过，过D作作DE AB于于E，作，作DF AC于于F。 求证：求证：BE=CFABCDEFM连接连接DB,DC垂垂直直平平分分线线上上点点向向两两端端连连线线段段构造全等三角形(常见辅助线法)如图，已知三角形如图，已知三角形ABC中中,BC边上的垂直平边上的垂直平分线分线DE与角与角BAC的平分线交于点的平分线交于点E，EF垂垂直直AB交交AB的延长线于点的延长线于点F，EG垂直垂直AC交交AC于点于点G。求证：。求证：(1

13、)BF=CG (2)判定判定AB+AC与与AF的关系的关系构造全等三角形(常见辅助线法)构造全等三角形(常见辅助线法)如图如图,ABC,ABC中中, C =90, C =90o o,BC=10,BD=6,BC=10,BD=6, AD AD平分平分BAC,BAC,求点求点D D到到ABAB的距离的距离. .过点过点D D作作DEABDEAB于点于点E EACDBE角平分线上的点向角两边做垂线段角平分线上的点向角两边做垂线段构造全等三角形(常见辅助线法)证明明:例例1已知：如已知：如图，在四，在四边形形ABCD中，中，BD是是ABC的角平分的角平分线，AD=CD，求，求证：A+ C=180DABC

14、M作作DMBC于于M，DNBA交交BA的延的延长线于于N。 BD是是ABC的角平分的角平分线（已知）（已知）1=2（角平分（角平分线定定义） DNBA，DMBC（已知）（已知）N=DMB=90（垂直的定（垂直的定义）在在NBD和和MBD中中 N=DMB （已（已证） 1=2（已（已证） BD=BD（公共（公共边）NBDMBD（A.A.S）12 4=C（全等三角形的（全等三角形的对应角相等）角相等） N433 32 21 1* * ND=MD（全等三角形的（全等三角形的对应边相等）相等） DNBA，DMBC（已知）（已知）NAD和和MCD是是Rt在在RtNAD和和RtMCD中中 ND=MD （已

15、（已证） AD=CD（已知）（已知）RtNAD RtMCD（H.L） 3+ 4180（平角定（平角定义），）， A3（已（已证）A+ C180（等量代（等量代换）构造全等三角形(常见辅助线法)PD=PE.PD=PE.PD=PEPD=PE如图如图,OC ,OC 平分平分AOB,AOB,角平分线上点向两边作垂线段过点过点P P作作PFOA,PG OBPFOA,PG OB垂足为点垂足为点F,F,点点G GFGACDBEPODOE +DPE =180DOE +DPE =180DOE +DPE =180DOE +DPE =180求证求证: :构造全等三角形(常见辅助线法)线段与角求相等，先找全等试试看。线段与角求相等，先找全等试试看。图中有角平分线，可向两边作垂线。图中有角平分线，可向两边作垂线。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段垂直平分线，常向两端把线连。 线段计算和与差，巧用截长补短法。线段计算和与差，巧用截长补短法。三角形里有中线，延长中线三角形里有中线，延长中线= =中线。中线。想作图形辅助线，切莫忘记要双添。想作图形辅助线，切莫忘记要双添。 构造全等三角形(常见辅助线法)此课件下载可自行编辑修改，供参考！此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢你的支持，我们会努力做得更好！感谢你的支持，我们会努力做得更好！