数字电子技术基础 数字电子技术是物理、电子、计算机科学与技术、数字电子技术是物理、电子、计算机科学与技术、信息工程、网络工程各专业的一门重要专业基础必修信息工程、网络工程各专业的一门重要专业基础必修课主要研究数字电路与逻辑设计的理论与方法主要研究数字电路与逻辑设计的理论与方法 数字电子技术是计算机组成原理、计算机系统结构、数字电子技术是计算机组成原理、计算机系统结构、微型机与接口、单片机原理及其应用、数字系统设计微型机与接口、单片机原理及其应用、数字系统设计自动化等课程的基础，对理解计算机的工作原理有十自动化等课程的基础，对理解计算机的工作原理有十分重要的作用它的主要内容包括逻辑代数基础、集分重要的作用它的主要内容包括逻辑代数基础、集成门电路、组合逻辑电路、触发器、时序逻辑电路、成门电路、组合逻辑电路、触发器、时序逻辑电路、脉冲产生电路、模数与数模电路等脉冲产生电路、模数与数模电路等数字电子技术是重要的专业基础数字电子技术是重要的专业基础 第1章 逻辑代数的基础知识 8学时第2章 门电路 10学时第3章 组合逻辑电路 10学时第4章 触发器6学时第5章 时序逻辑电路 6学时第6章 脉冲产生与整形电路 6学时第7章 数模与模数转换电路 4学时 复习 2学时教学计划教学计划 参考书参考书《《数字电子技术基础数字电子技术基础》》 清华大学清华大学 阎阎石石北京北京 高等教育出版社高等教育出版社《《电子技术基础电子技术基础》》 数字部分数字部分 华中理工大学华中理工大学 康华光康华光北京北京 高等教育出版社高等教育出版社教材：教材： 《《数字电子技术基础简明教程数字电子技术基础简明教程》》(第三版第三版) 余孟尝主编余孟尝主编 高等教育出版社高等教育出版社 2006年年 1.1 基本概念、公式和定理基本概念、公式和定理1.3 逻辑函数的表示方法及其逻辑函数的表示方法及其 相互之间的转换相互之间的转换1.2 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法第一章第一章 逻辑代数基础逻辑代数基础概述概述 模拟信号：在时间上和模拟信号：在时间上和数值上连续的信号。
如数值上连续的信号如水位，电压，电流，温水位，电压，电流，温度，亮度，颜色等度，亮度，颜色等数字信号：在时间上和数数字信号：在时间上和数值上不连续的（即离散的）值上不连续的（即离散的）信号如数值，开关位置，信号如数值，开关位置，数字逻辑等数字逻辑等uu模拟信号波形模拟信号波形数字信号波形数字信号波形tt对模拟信号进行传输、对模拟信号进行传输、处理的电子线路称为处理的电子线路称为模拟电路模拟电路对数字信号进行传输、对数字信号进行传输、处理的电子线路称为处理的电子线路称为数字电路数字电路概概概概 述述述述补充内容：模拟电路与数字电路的区别 一、逻辑代数一、逻辑代数在数字电路中，采用二值逻辑，变量取值在数字电路中，采用二值逻辑，变量取值：：0、、1 分别代分别代表表两种相反的状态两种相反的状态一种状态一种状态另一状态另一状态高电平高电平低电平低电平真真假假是是非非有有无无……1001负逻辑负逻辑正逻辑正逻辑 事物的变化总是存在因果关系，如电灯的亮与灭与电源的通与断就存在因果关系，这种因果关系叫逻辑关系反映和处理这种关系的数学工具，就是逻辑代数 二、二进制数表示法二、二进制数表示法1. 十进制十进制（（Decimal number））位权：位权：2. 二进制（二进制（Binary number）） 位权：位权：每一位用0~9十个数码表示，逢十进一。
逢十进一每一位用0、1二个数码表示，逢二进一逢二进一 3. 八进制八进制（（Octal number））数码数码：：0 ~ 7逢八进一逢八进一位权：位权：4. 十六进制十六进制 (Hexadecimal number) 数码：数码：0 ~ 9 , A(10) , B(11) , C(12) , D(13) , E(14) , F(15) 逢十六进一逢十六进一位权：位权：任意任意(N)进制数展开式的普遍形式：进制数展开式的普遍形式：— 第第 i 位的系数位的系数— 第第 i 位的权位的权 5. 几种常用进制数之间的转换几种常用进制数之间的转换(1) 二二-十转换：十转换： 将二进制数按位权展开后相加将二进制数按位权展开后相加(2) 十十- -二转换二转换：：整数的转换整数的转换----连除法连除法26213余数余数206213202 1101除基除基数数得余得余数数作系作系数数从低从低处处到高到高处处 0. 812521. 625021. 250020. 5000取整取整1100. 62500. 2500乘基乘基数数取整取整数数作系作系数数从高从高处处到低到低处处小数的转换小数的转换----连乘法连乘法快速转换法：拆分法快速转换法：拆分法( 26 )10= 16 + 8 + 2 = 24 +23 + 21= ( 1 1 0 1 0 )2 若小数在连乘多次后若小数在连乘多次后不为不为 0，一般按照精确度，一般按照精确度要求要求(如小数点后保留如小数点后保留 n 位位)得到得到 n 个对应位的系个对应位的系数即可。
数即可21. 0000116 8 4 2 1 十进制数转换成二进制数的另一种方法是降幂比较法如果熟十进制数转换成二进制数的另一种方法是降幂比较法如果熟记记2 20 0～～2 21010的数值是的数值是1 1～～10241024，，2 2－－1 1～～2 2－－4 4的数值是～，那么用降幂比的数值是～，那么用降幂比较法，便可很容易地获得一个十进制数的二进制数转换值例如较法，便可很容易地获得一个十进制数的二进制数转换值例如（（157157））1010＝（＝（1001110110011101））2 2 157－） 128 27 29 －） 16 24 13－） 8 23 5－） 4 22 1 －） 1 20 028＝256＞157＞27＝12825＝32＞29＞24＝16 24＝16＞13＞23＝8 23＝8＞5＞22＝4 21＝2＞20＝1 11111000 (3) 二二-八转换八转换:57(4) 八八-二转换二转换: 每位每位 8 进制数转换为相应进制数转换为相应 3 位二进制数位二进制数011 001 . 100 111每每 3 位二进制数相当一位位二进制数相当一位 8 进制数进制数011 111 101. 110 1000002341. 062 （（5）二）二-十六转换：十六转换：每每 4 位二进制数相当一位位二进制数相当一位 16 进制数进制数A1（（6）十六）十六-二转换：二转换：每位每位 16 进制数换为相应的进制数换为相应的 4 位二进制数位二进制数 编码：编码： 用二进制数表示文字、符号等信息的过程。
用二进制数表示文字、符号等信息的过程二进制代码：二进制代码：编码后的二进制数编码后的二进制数用用4位二进制代码表示十进制数的十个数字位二进制代码表示十进制数的十个数字 0 ~ 9，，又称为又称为 8421BCD 码（码（Binary Coded Decimal ））三、二进制代码三、二进制代码三、二进制代码三、二进制代码二二- -十进制代码：十进制代码： 0十进十进制数制数1234567898421 BCD码码 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 权权 8 4 2 1 B3 B2 B1 B0 1. 1. 1 基本和常用逻辑运算基本和常用逻辑运算一、三种基本逻辑运算一、三种基本逻辑运算1. 与逻辑：与逻辑：当决定一事件的所有条件都具备时，事当决定一事件的所有条件都具备时，事件才发生的逻辑关系。
件才发生的逻辑关系功能表功能表1. 1 基本概念、公式和定理基本概念、公式和定理灭灭灭灭灭灭亮亮断断 断断断断 合合合合 断断合合 合合《《与逻辑关系与逻辑关系》》开关开关A开关开关B灯灯Y电源电源ABY 真值表真值表 （（Truth table））逻辑函数式逻辑函数式与门与门（（AND gate)逻辑符号逻辑符号与逻辑的表示方法：与逻辑的表示方法：ABY&000100011011功能表功能表灭灭灭灭灭灭亮亮断断 断断断断 合合合合 断断合合 合合ABYABY 2. 或逻辑：或逻辑： 决定一事件结果的诸条件中，只要有一个或一个决定一事件结果的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，事件就会发生的逻辑关系以上具备时，事件就会发生的逻辑关系或门或门（（OR gate) )《《或逻辑关系或逻辑关系》》开关开关A开关开关B灯灯Y电源电源真值表真值表逻辑函数式逻辑函数式逻辑符号逻辑符号011100011011ABYABY≥1 3. 非逻辑：非逻辑： 条件具备，事件便不会发生；条件不具备，条件具备，事件便不会发生；条件不具备，事件才会发生的逻辑关系事件才会发生的逻辑关系。
真值表真值表逻辑函数式逻辑函数式逻辑符号逻辑符号非门非门（（NOT gate)《《非逻辑关系非逻辑关系》》1001AY1开关开关A灯灯Y电源电源RAY (1) 与非逻辑与非逻辑 (NAND)(2) 或非逻辑或非逻辑 (NOR)(3) 与或非逻辑与或非逻辑 (AND – OR – INVERT)(真值表略真值表略)11100 00 11 01 1AB&1000二二. 几种常用逻辑运算几种常用逻辑运算ABY1Y2Y1、、Y2 的真值表的真值表AB≥1AB&CD≥1 (4) 异或逻辑异或逻辑(Exclusive—OR)(5) 同或逻辑同或逻辑(Exclusive—NOR)( (异或非异或非) )AB=101100 00 11 01 1 AB=1= A⊙⊙BABY410010 00 11 01 1ABY5 或：或：0 + 0 = 01 + 0 = 11 + 1 = 1 与：与：0 · 0 = 00 · 1 = 01 · 1 = 1 非：非：二、变量和常量的关系二、变量和常量的关系( (变量：变量：A、、B、、C…) )或：或：A + 0 = AA + 1 = 1与与: :A · 0 = 0A · 1 = A 非：非：1. 1. 2 公式和定理公式和定理一、一、 常量之间的关系常量之间的关系( (常量：常量：0 和和 1 ) ) 1 = 0A + A= 1 三、与普通代数相似的定理三、与普通代数相似的定理交换律交换律结合律结合律分配律分配律[ [例例 1] ] 证明公式证明公式[ [解解] ] 方法一：公式法方法一：公式法 [ [例例 1] ] 证明公式证明公式方法二：真值表法方法二：真值表法 ( (将变量的各种取值代入等式将变量的各种取值代入等式两边，进行计算并填入表中两边，进行计算并填入表中) ) A B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100 0 1 0 0 0 1 000111110001111100 1 1 1 1 1 1 01 0 1 1 1 1 1 相等相等[ [解解] ] 四、逻辑代数的一些特殊定理四、逻辑代数的一些特殊定理同一律同一律A + A = AA · A = A还原律还原律[ [例例 2] ] 证明：证明： 德德 摩根定摩根定理理 A B 0 0 0 1 1 0 1 100 0 1 111011 0 0 10101110011110001000相等相等相等相等德德 摩根定摩根定理理A+B = A · B 将将Y 式中式中“.”换成换成“+”,“+”换成换成“.” “0”换成换成“1”,“1”换成换成“0” 原原变量换成变量换成反反变量，变量，反反变量换成变量换成原原变量变量五、关于等式的三个规则五、关于等式的三个规则1. 代入规则：代入规则：等式中某一变量都代之以一个逻等式中某一变量都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。
辑函数，则等式仍然成立例如，已知例如，已知( (用函数用函数 A + C 代替代替 A) )则则2. 反演规则：反演规则：不属于单个变量上的反号应保留不变不属于单个变量上的反号应保留不变运算顺序：运算顺序：括号括号 乘乘 加加注意注意: 例如：例如：已知已知反演规则的应用：反演规则的应用：求逻辑函数的反函数求逻辑函数的反函数则则已知已知则则运算顺序：运算顺序：括号括号 与与 或或不属于单个变量上不属于单个变量上的反号应保持不变的反号应保持不变 3. 对偶规则：对偶规则： 对任何逻辑等式，将等式中对任何逻辑等式，将等式中“. ”换成换成“+”,“+”换成换成“.” “0” 换成换成“1”,“1”换成换成“0”，，等式仍成立等式仍成立例如例如对偶规则的应用对偶规则的应用：证明等式成立：证明等式成立0 · 0 = 01 + 1 = 1运算顺序：运算顺序：括号括号 与与 或或A·(B+C)=A·B+A·CA+BC=(A+B) ·(A+C)A + A= 1 六、六、常用公式常用公式证：=（（A+A) ·(A+B)=A+B证：证：推论推论 1、A+AB = A+B的推广A+ABC = A+BCAB+ABC = AB+CA+AB = A+ BAB+ABC = AB+C2、AB = A+B的推广ABC = A+B+C同理：A+B+C = A B C 常用公式的推广常用公式的推广3、冗余律AB＋AC＋BC＝AB＋AC 1. 最小项的概念：最小项的概念： 所有变量均以原变量或反变量的形式作为一个因子在乘所有变量均以原变量或反变量的形式作为一个因子在乘积项中出现且只出现一次，这样的乘积项叫积项中出现且只出现一次，这样的乘积项叫最小项最小项。
( 2 变量共有变量共有 4 个最小项个最小项) )( ( 4 变量共有变量共有 16 个最小项个最小项) )( ( n 变量共有变量共有 2n 个最小项个最小项) )… …( ( 3 变量共有变量共有 8 个最小项个最小项) )1. 2 1. 2 逻辑函数的化简方法（公式法和卡诺图法）逻辑函数的化简方法（公式法和卡诺图法）逻辑函数的化简方法（公式法和卡诺图法）逻辑函数的化简方法（公式法和卡诺图法）1. 2. 1 逻辑函数的标准与或式和最简式逻辑函数的标准与或式和最简式一、标准与或式一、标准与或式（（标准与或式就是最小项之和的形式标准与或式就是最小项之和的形式）） 2. 最小项的性质：最小项的性质：00000001000000100000010000001000000100000010000001000000100000000 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B C(1) 每一每一最小项最小项都都有一组有一组也只也只有一组对应变量取值使其值为有一组对应变量取值使其值为 1 (2) 任意两个最小项的乘积为任意两个最小项的乘积为 0 (3) 全体最小项之和为全体最小项之和为 1【【对于对于ABC的的 不同取值，总有（也只有）一不同取值，总有（也只有）一 个个最小项最小项的值为一的值为一】】 3. 最小项是组成逻辑函数的基本单元最小项是组成逻辑函数的基本单元 任何逻辑函数都可以表示成为若干个最小项之和的任何逻辑函数都可以表示成为若干个最小项之和的形式形式————标准与或式。
标准与或式[ [例例 1] ] 写出下列函数的标准与或式：写出下列函数的标准与或式：[ [解解] ]函数的标准与或式也函数的标准与或式也可由其真值表求出可由其真值表求出A B C Y=AB+AC0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 01 1 0 11 1 1 1 4. 最小项的编号：最小项的编号： 把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用相应的十进制数，就是该最小项的编号，用 mi 表示对应规律：对应规律：原变量原变量 1 反变量反变量 00 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 10 1 234567m0m1m2m3m4m5m6m7 [ [例例 2] ] 写出下列函数的标准与或式：写出下列函数的标准与或式：m7m6m5m4m1m0m8m0与前面与前面m0相重相重 一个逻辑函数的最简表达式，按照式中变量之间运算一个逻辑函数的最简表达式，按照式中变量之间运算关系的不同，分为最简与或式、最简与非－与非式、最关系的不同，分为最简与或式、最简与非－与非式、最简或与式、最简或非－或非式、最简与或非式五种。
简或与式、最简或非－或非式、最简与或非式五种二、二、逻辑函数的最简表达式逻辑函数的最简表达式 1 1、最简与或式、最简与或式 定义：乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量定义：乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或表达式，称为最简与或表达式个数也最少的与或表达式，称为最简与或表达式 例如：例如： 显然，在函数显然，在函数Y的各个与或表达式中，式的各个与或表达式中，式()()是最简的，是最简的，因为它符合最简与或表达式的定义因为它符合最简与或表达式的定义 2 2、最简与非－与非式、最简与非－与非式 定义：非号最少，每个非号下面相乘的变量个数也最定义：非号最少，每个非号下面相乘的变量个数也最少的与非－与非表达式，称为最简与非－与非表达式少的与非－与非表达式，称为最简与非－与非表达式注意，单个变量上面的非号不算，因为已将其当成反变注意，单个变量上面的非号不算，因为已将其当成反变量 例例1.2.31.2.3：写出函数：写出函数 的最简与非－与非表的最简与非－与非表达式 在最简与或表达式的基础上，两次取反，再用摩根定在最简与或表达式的基础上，两次取反，再用摩根定理去掉下面的反号，便可得到函数的最简与非－与非表理去掉下面的反号，便可得到函数的最简与非－与非表达式。
达式 解：解： 式（）就是函数式（）就是函数Y的最简与非－与非表达式的最简与非－与非表达式 3 3、最简或与式、最简或与式 定义：括号个数最少，每个括号中相加的变量个数也定义：括号个数最少，每个括号中相加的变量个数也最少的或与式，称为最简或与表达式最少的或与式，称为最简或与表达式 例例1.2.41.2.4：写出函数：写出函数 的最简或与表达式的最简或与表达式 在反函数最简与或表达式的基础上，取反，再用摩根在反函数最简与或表达式的基础上，取反，再用摩根定理去掉反号，便可得到函数的最简或与表达式当然，定理去掉反号，便可得到函数的最简或与表达式当然，在反函数最简与或表达式的基础上，也可用反演规则，在反函数最简与或表达式的基础上，也可用反演规则，直接写出函数的最简或与式直接写出函数的最简或与式 解：解： 式（）就是函数式（）就是函数Y Y的最简或与表达式的最简或与表达式 4 4、最简或非－或非式、最简或非－或非式 定义：非号个数最少，非号下面相加变量个数也最少定义：非号个数最少，非号下面相加变量个数也最少的或非－或非表达式，称为最简或非－或非表达式。
的或非－或非表达式，称为最简或非－或非表达式 例例1.2.51.2.5：写出函数：写出函数 的最简或非－或非表的最简或非－或非表达式 在最简或与表达式的基础上，两次取反，再用摩根定在最简或与表达式的基础上，两次取反，再用摩根定理去掉下面的反号，所得到的便是函数的最简或非－或理去掉下面的反号，所得到的便是函数的最简或非－或非表达式非表达式 解： 式（）就是函数式（）就是函数Y的最简或非－或非表达式的最简或非－或非表达式 5 5、最简与或非式、最简与或非式 定义：在非号下面相加的乘积项的个数最少，每个乘定义：在非号下面相加的乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或非式，称为最简与积项中相乘的变量个数也最少的与或非式，称为最简与或非表达式或非表达式 例例1.2.61.2.6：写出函数：写出函数 的最简与或非表达式的最简与或非表达式 在最简或非－或非式的基础上，用摩根定理去掉大反在最简或非－或非式的基础上，用摩根定理去掉大反号下面的小反号，便可得到函数的最简与或非表达式号下面的小反号，便可得到函数的最简与或非表达式。
当然，在反函数最简与或式的基础上，直接取反亦可当然，在反函数最简与或式的基础上，直接取反亦可 解：解： 式（）就是函数式（）就是函数Y的最简与或非表达式的最简与或非表达式 从上面各种最简式的介绍中，不难发现，只要从上面各种最简式的介绍中，不难发现，只要得到了函数的最简与或式，再用摩根定理进行适得到了函数的最简与或式，再用摩根定理进行适当变换，就可以获得其他几种类型的最简式因当变换，就可以获得其他几种类型的最简式因此下面要讲解的公式化简法和图形化简法，所说此下面要讲解的公式化简法和图形化简法，所说明的都是如何在与或式的基础上，获得最简与或明的都是如何在与或式的基础上，获得最简与或表达式的方法至于给定函数的表达式不是与或表达式的方法至于给定函数的表达式不是与或式时，则只需要用公式和定理，便可将其展开、式时，则只需要用公式和定理，便可将其展开、变换成与或式，而且在展开、变换过程中，能化变换成与或式，而且在展开、变换过程中，能化简的理所当然地应顺便化简简的理所当然地应顺便化简 最简最简或与式或与式最简最简与或非式与或非式相互转换的例子相互转换的例子最简最简与或式与或式 最简最简与非与非-与非式与非式最简最简或非或非-或非式或非式 [ [例例 1] ][ [例例 2] ]1. 2. 2 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法（与或式（与或式最简与或式）最简与或式）公式公式定理定理 或或或或[ [例例 3] ][ [例例 4] ]冗余项冗余项冗余项冗余项 综合练习：综合练习： 1. 2. 3 逻辑函数的图形化简法逻辑函数的图形化简法一、逻辑变量的卡诺图一、逻辑变量的卡诺图(Karnaugh maps)卡诺图：卡诺图： 最小项方格图最小项方格图1. 变量卡诺图的画法：变量卡诺图的画法：按循环码来排列变量的取值顺序按循环码来排列变量的取值顺序三位二进制码三位二进制码 三位循环码三位循环码B2B1B0 G2G1G0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 10 1 0 0 1 10 1 1 0 1 01 0 0 1 1 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 11 1 1 1 0 0G0=B1⊕ ⊕B0G1=B2⊕ ⊕B1G2=B3⊕ ⊕B2相邻两组取值，只有一位发生变化 二变量二变量 的卡诺图的卡诺图 ( (四个最小项四个最小项) )ABAB0101三变量三变量 的卡诺图的卡诺图（八个最小项）（八个最小项）0001 11 1001ABCm0m1m2m3m4m5m6m7 五变量五变量 的卡诺图的卡诺图：：四变量四变量 的卡诺图的卡诺图十六个最小项十六个最小项ABCD0001111000 01 11 10ABCDE00011110000 001 011 010 110 111 101 100以此轴为对称轴（对折后位置重合）以此轴为对称轴（对折后位置重合）m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11m0m1m2m3m8m9m10m11m24m25m26m27m16m17m18m19m6m7m4m5m14m15m12m13m30m31m28m29m22m23m20m21几几何何相相邻邻几何相邻几何相邻几何相邻几何相邻三十二个最小项三十二个最小项几几何何相相 邻邻相接相接 — — 紧挨着紧挨着相对相对 — — 任一行或任一行或 列的两头列的两头相重相重 — — 对折起来对折起来 后重合后重合几何几何相邻相邻 2. 卡诺图的特点：卡诺图的特点： 逻辑相邻：逻辑相邻：例如例如两个最小项，除了一个变量的形式不同外，两个最小项，除了一个变量的形式不同外，其余的都相同。
其余的都相同每个小方块表示一个最小项，在卡诺图每个小方块表示一个最小项，在卡诺图中，凡是中，凡是几何相邻几何相邻的最小项，在的最小项，在逻辑逻辑上上都是都是相邻相邻的，而的，而逻辑相邻逻辑相邻的最小项是可的最小项是可以合并的以合并的0001 11 1001ABCm0m1m2m3m4m5m6m7几几何何相相邻邻几何几何相邻相邻逻辑逻辑相邻相邻逻辑逻辑相邻相邻 3. 合并规律：合并规律： 2n 个最小项合并成一项可以消去个最小项合并成一项可以消去 n 个变量个变量(1) 两个最小项合并可以消去一个变量两个最小项合并可以消去一个变量ABC010001 11 100432ABCD0001111000 01 11 101946 (2) 四个相邻最小项合并可以消去两个变量四个相邻最小项合并可以消去两个变量ABCD0001111000 01 11 1004128321110ABCD0001111000 01 11 105713 15BD02810 (3) 八个相邻最小项合并可以消去三个变量八个相邻最小项合并可以消去三个变量ABCD0001111000 01 11 1004128321110ABCD0001111000 01 11 105713 15B02810151394612142n 个相邻最小项合并可以消去个相邻最小项合并可以消去 n 个个变量变量总结：总结： 二、逻辑函数的卡诺图表示法二、逻辑函数的卡诺图表示法1. 根据变量个数画出相应的卡诺图；根据变量个数画出相应的卡诺图；2. 将函数化为最小项之和的形式；将函数化为最小项之和的形式； 3. 在最小项对应的位置填在最小项对应的位置填 1 ，其余位置填，其余位置填 0 或不填。
或不填[ [例例1] ]ABC010001 11 1011110000 [ [例例2] ]ABCD0001111000 01 11 101111熟练以后，也可以不熟练以后，也可以不展开成最小项，直接展开成最小项，直接由函数的与或式画出由函数的与或式画出卡诺图 三、三、 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数[ [例例 1] ]ABCD0001111000 01 11 1011111111[ [解解] ] 用卡诺图化简逻辑函数应注意：用卡诺图化简逻辑函数应注意： (1) 圈越大越好圈越大越好 (2) 每个圈中至少应有一个新的最小项每个圈中至少应有一个新的最小项 (3) 必需把全部最小项圈完必需把全部最小项圈完4）四角可合并四角可合并 [ [例例 2] ][ [解解] ]ABCD0001111000 01 11 1011111111利用图形法化简函数利用图形法化简函数多余多余 利用图形法化简函数利用图形法化简函数[ [例例 3] ][ [解解] ]ABCD0001111000 01 11 101111111111 [ [例例 4] ] 用图形法求反函数的最简与或表达式用图形法求反函数的最简与或表达式[ [解解] ]ABC010001 11 1011110000 合并函数值为合并函数值为 0 的最小项的最小项 1. 2. 4 具有约束的逻辑函数的化简具有约束的逻辑函数的化简一、一、 约束的概念和约束条件约束的概念和约束条件(1) 约束：约束： 变量取值所受的限制变量取值所受的限制例如，例如，逻辑变量逻辑变量 A、、B、、C，，分别表示电梯的分别表示电梯的 升、降、停升、降、停 命令命令。
A = 1 表示升表示升，，B = 1 表示降表示降，，C = 1 表示停表示停ABC 的可能取值的可能取值(2) 约束项：约束项：不允许出现的变量取值所对应的最小项不允许出现的变量取值所对应的最小项不可能取值不可能取值0010101000000111011101111. 约束、约束项、约束条件约束、约束项、约束条件 (3) 约束条件：约束条件：(2) 在逻辑表达式中，用等于在逻辑表达式中，用等于 0 的条件等式表示的条件等式表示000011101110111由约束项相加所构成的值为由约束项相加所构成的值为 0 的的逻辑表达式逻辑表达式约束项：约束项：约束条件：约束条件：或或2. 约束条件的表示方法约束条件的表示方法(1) 在真值表和卡诺图上用叉号在真值表和卡诺图上用叉号( (╳╳) )表示例如，上例中例如，上例中 ABC 的不可能取值为的不可能取值为 二、二、 具有约束的逻辑函数的化简具有约束的逻辑函数的化简[ [例例 1] ] 化简逻辑函数化简逻辑函数ABCD0001111000 01 11 10先填先填 1 0111000000 (2) 合并最小项，合并最小项，画圈时画圈时 ╳╳ 既既可以当可以当 1 ，又可以当，又可以当 0 (3)写出最简与或表达式写出最简与或表达式[ [解解] ]╳╳Why?(1) 画函数的卡诺图画函数的卡诺图 [ [例例 2] ] 化简逻辑函数化简逻辑函数约束条件约束条件[ [解解] ] (1) 画函数的卡诺图画函数的卡诺图ABCD0001111000 01 11 101111(2) 合并最小项合并最小项(3) 写出最简与或表达式写出最简与或表达式 1.3 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法 及其相互之间的转换及其相互之间的转换1. 3. 1 几种表示函数的方法几种表示函数的方法一、逻辑表达式一、逻辑表达式优点：优点：书写简洁方便，易用公式和定理进行运书写简洁方便，易用公式和定理进行运算、变换。
算、变换缺点：缺点： 逻辑函数较复杂时，难以直接从变量取逻辑函数较复杂时，难以直接从变量取值看出函数的值值看出函数的值 二、真值表二、真值表ABCY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111优点：优点：直观明了，便于将实际逻直观明了，便于将实际逻辑问题抽象成数学表达式辑问题抽象成数学表达式缺点：缺点：难以用公式和定理进行运难以用公式和定理进行运算和变换；变量较多时，算和变换；变量较多时，列函数真值表较繁琐列函数真值表较繁琐三、卡诺图三、卡诺图ABC010001 11 1011110000优点：优点：便于求出逻辑函数的最简便于求出逻辑函数的最简与或表达式与或表达式缺点：缺点：只适于表示和化简变量个数只适于表示和化简变量个数比较少的逻辑函数，也不便比较少的逻辑函数，也不便于进行运算和变换于进行运算和变换 四、逻辑图四、逻辑图ABYC&&优点：优点：最接近实际电路最接近实际电路缺点：缺点： 不能进行运算 不能进行运算和变换。
和变换≥1 五、波形图五、波形图输入变量和对应的输出变量随输入变量和对应的输出变量随时间变化的波形时间变化的波形AY[ [例例 1] ][ [例例 2] ]ABY 1. 3. 2 几种表示方法之间的转换几种表示方法之间的转换一、真值表一、真值表函数式函数式逻辑图逻辑图 [ [例例 1] ] 设计一个举重裁判电路在一名主裁判设计一个举重裁判电路在一名主裁判(A) 和两名副裁判和两名副裁判 (B、、C) 中，必须有两人以上中，必须有两人以上( (必必有主裁判有主裁判) )认定运动员的动作合格，试认定运动员的动作合格，试举才算成功举才算成功1) 真值表真值表函数式函数式 将真值表中使逻辑函数将真值表中使逻辑函数 Y = 1 的的输入变量取值组合所对应的最小项相输入变量取值组合所对应的最小项相加，即得加，即得 Y 的逻辑函数式的逻辑函数式ABCY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100000111 函数式函数式卡诺图化简卡诺图化简ABC010001 11 1011010000(2) 函数式函数式逻辑图逻辑图ABY&C&≥1 真值表真值表函数式函数式二、逻辑图二、逻辑图0110ABY00011011BA&&&& 作业作业: :题题1.2(2)1.2(2) 题（题（1））题（题（3））题题题（题（2））题（题（1）） 补充：具有约束的逻辑函数的化简补充：具有约束的逻辑函数的化简( (难点）难点） 1 1、、无无关关最最小小项项：一一个个逻逻辑辑函函数数, , 如如果果它它的的某某些些输输入入变变量量取取值值组组合合因因受受特特殊殊原原因因制制约约而而不不会会出出现现, , 或或者者虽虽然然每每种种输输入入取取值值组组合合都都可可能能出出现现, , 但但此此时时函函数数取取值值为为1 1还还是是为为0 0无无关关紧紧要要, , 那那么么这这些些输输入入取取值值组组合合所所对对应应的的最最小小项项称称为为无无关关最最小小项项。
无无关关最最小小项项用用““d d””或或者者““××””表表示 2 2、、具具有有约约束束的的逻逻辑辑函函数数是是一一种种包包含含无无关关最最小小项项的的逻逻辑函数辑函数 3 3、、具有约束的逻辑函数的化简具有约束的逻辑函数的化简 由于在无关项的相应取值下，函数值随意取成由于在无关项的相应取值下，函数值随意取成0 0或或1 1都都不影响函数原有的功能，因此可以充分利用这些无关项不影响函数原有的功能，因此可以充分利用这些无关项其值可以取其值可以取1 1，也可以取，也可以取0 0来化简逻辑函数，即采用卡诺来化简逻辑函数，即采用卡诺图化简函数时，可以利用图化简函数时，可以利用××来扩大卡诺圈来扩大卡诺圈 因为一个最小项只有当它所对应的变量取值出现时，因为一个最小项只有当它所对应的变量取值出现时，其值才会为其值才会为1，而约束项的变量取值是不会出现的，其值，而约束项的变量取值是不会出现的，其值总是总是0在一个逻辑表达式中加上或是去掉在一个逻辑表达式中加上或是去掉0，其值不会影，其值不会影响 为什么约束项在逻辑函数化简中可以当成任为什么约束项在逻辑函数化简中可以当成任意项处理？意项处理？ 几种表示方法之间的转换几种表示方法之间的转换 逻辑函数的几种表示在本质上是相通的，可以互相转逻辑函数的几种表示在本质上是相通的，可以互相转换。
其中最基本的真值表与逻辑图之间的转换其中最基本的真值表与逻辑图之间的转换 一、由一、由真值表到逻辑图的转换真值表到逻辑图的转换 1 1、一般步骤、一般步骤 ⑴ ⑴ 根据真值表写出函数的与或表达式或画出函数的卡根据真值表写出函数的与或表达式或画出函数的卡诺图 ⑵ ⑵ 用公式法或者图形法进行化简，求出函数的最简与用公式法或者图形法进行化简，求出函数的最简与或表达式或表达式 ⑶ ⑶ 根据表达式画逻辑图，有时还要对与或表达式做适根据表达式画逻辑图，有时还要对与或表达式做适当变换，才能画出所需要的逻辑图当变换，才能画出所需要的逻辑图 2 2、转换举例、转换举例 例：输出变量例：输出变量Y是输入变量是输入变量A、、B、、C的函数，当的函数，当A、、B、、C取值中有奇数个取值中有奇数个1时时Y=1，否则，否则Y=0，而且，而且输入变量取输入变量取值不会出现全为值不会出现全为0 0的情况 解：根据题意可以列出真值表，如表所示解：根据题意可以列出真值表，如表所示 写表达式：写表达式： 进行化简：用公式法化简得进行化简：用公式法化简得×11010010 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1YA B C 如果要用与非运算逻辑符如果要用与非运算逻辑符号画逻辑图，则应先将最简号画逻辑图，则应先将最简与或式转换成最简与非－与与或式转换成最简与非－与非式，如下非式，如下(1·3·2)(1·3·1) 根据式（根据式（1·3·11·3·1）可画）可画出逻辑图如图（出逻辑图如图（a a）所示。
所示根据式（根据式（1·3·21·3·2）可画出）可画出逻辑图如图（逻辑图如图（b b）所示 二、由二、由逻辑图到真值表的转换逻辑图到真值表的转换 1 1、一般步骤、一般步骤 ⑴ ⑴ 从输入到输出或从输出到输入，用逐级推导的方法，从输入到输出或从输出到输入，用逐级推导的方法，写出输出变量（函数）的逻辑表达式写出输出变量（函数）的逻辑表达式 ⑵ ⑵ 进行化简，求出函数的最简与或表达式进行化简，求出函数的最简与或表达式 ⑶ ⑶ 将变量各种可能取值代入与或式中进行运算，列出将变量各种可能取值代入与或式中进行运算，列出函数的真值表函数的真值表 2 2、转换举例、转换举例 例：逻辑图如图所示，列出输出信号例：逻辑图如图所示，列出输出信号Y的真值表的真值表解：设中间变量为解：设中间变量为P P，由图可得，由图可得 将将 代入上式，得代入上式，得011010010 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1YA B C 上式是上式是Y Y的标准与或式，与真值表有简的标准与或式，与真值表有简单而直接的对应关系。
单而直接的对应关系Y Y的真值表如右表的真值表如右表所示 本章小结本章小结分析数字电路的数学工具是逻辑代数，它的分析数字电路的数学工具是逻辑代数，它的定律有的和普通代数类似，如交换律、结合定律有的和普通代数类似，如交换律、结合律和第一种形式的分配律；但很多与普通代律和第一种形式的分配律；但很多与普通代数不同，如吸收律和摩根定律须注意：逻数不同，如吸收律和摩根定律须注意：逻辑代数中无减法和除法辑代数中无减法和除法 逻辑函数和逻辑变量的取值都只有两个，逻辑函数和逻辑变量的取值都只有两个，即即 0 或或 1须注意：须注意：逻辑代数中的逻辑代数中的 0 和和 1 并并不表示数量大小，仅用来表示两种截然不不表示数量大小，仅用来表示两种截然不同的状态同的状态 正逻辑体制规定高电平为逻辑正逻辑体制规定高电平为逻辑 1、低电平为、低电平为逻辑逻辑 0；；负逻辑体制则规定低电平为逻辑负逻辑体制则规定低电平为逻辑 1、、高电平为逻辑高电平为逻辑 0未加说明则默认为正逻辑未加说明则默认为正逻辑体制 基基本本逻逻辑辑运运算算有有与与运运算算( (逻逻辑辑乘乘) )、、或或运运算算( (逻逻辑辑加加) ) 和和非非运运算算( (逻逻辑辑非非) )3 种种。
常常用用复复合合逻逻辑辑运运算算有有与与非非运运算算、、或或非非运运算算、、与与或或非非运运算算、、异异或或运算和同或运算运算和同或运算 与运算与运算或或运算运算非运算非运算 Y=A·B 或或 Y=AB若有若有 0 出出 0若全若全 1 出出 1 Y=A＋＋B 若有若有 1 出出 1若全若全 0 出出 0 与非运算与非运算或非或非运算运算与或非运算与或非运算有有 0 出出 1;全全 1 出出 0有有 1 出出 0;全全 0 出出 1相异出相异出 1相同出相同出 0相同出相同出 1相异出相异出 0异或运算异或运算同或同或运算运算 逻辑函数常用的表示方法有：真值表、逻辑逻辑函数常用的表示方法有：真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图函数式、卡诺图和逻辑图 不同表示方法各有特点，适宜不同的应用不同表示方法各有特点，适宜不同的应用 卡诺图 卡诺图主要用于化简逻辑式主要用于化简逻辑式 真值表 真值表通常用于分析逻辑函数的功能、根据通常用于分析逻辑函数的功能、根据逻辑功能要求建立逻辑函数和证明逻辑等式等逻辑功能要求建立逻辑函数和证明逻辑等式等 逻辑式 逻辑式便于进行运算和变换。
在分析电路逻便于进行运算和变换在分析电路逻辑功能时，通常首先要根据逻辑图写出逻辑式；辑功能时，通常首先要根据逻辑图写出逻辑式；而设计逻辑电路时需要先写出逻辑式，然后才能而设计逻辑电路时需要先写出逻辑式，然后才能画出逻辑图画出逻辑图 逻辑图 逻辑图是分析和安装实际电路的依据是分析和安装实际电路的依据 真值表、逻辑式、卡诺图和逻辑图之间可相互转换真值表、逻辑式、卡诺图和逻辑图之间可相互转换 ( (1) )找出函数值为找出函数值为 1 的项 (2) )将这些项中输入变量取值为将这些项中输入变量取值为 1 的用原变量代替，的用原变量代替， 取值为取值为 0 的用反变量代替，则得到一系列与项的用反变量代替，则得到一系列与项 (3) )将这些与项相加即得逻辑式将这些与项相加即得逻辑式真值表真值表逻辑式逻辑式( (1) )按按 n 位二进制数递增的方式列出输入变量的各位二进制数递增的方式列出输入变量的各 种取值组合种取值组合 ( (2) )分别求出各种组合对应的输出逻辑值填入表格分别求出各种组合对应的输出逻辑值填入表格 逻辑式逻辑式真值表真值表实用中通常先由真值表画卡诺图，然后实用中通常先由真值表画卡诺图，然后应用卡诺图化简法写出简化表达式。
应用卡诺图化简法写出简化表达式 ( (1) )应用摩根定律和分配律等求出与或表达式应用摩根定律和分配律等求出与或表达式 (2) )根据变量数根据变量数 n 画出变量卡诺图画出变量卡诺图 (3) )根据与或式填图根据与或式填图逻辑式逻辑式卡诺图卡诺图根据电路逐级写出相应根据电路逐级写出相应逻辑运算逻辑运算 将各级逻辑运算用相应逻辑门去实现将各级逻辑运算用相应逻辑门去实现 逻辑式逻辑式逻辑图逻辑图逻辑图逻辑图逻辑式逻辑式 化化简简逻逻辑辑函函数数的的目目的的是是为为了了获获得得最最简简逻逻辑辑式式，，从而使逻辑电路简单，成本低、可靠性高从而使逻辑电路简单，成本低、可靠性高 不不同同形形式式的的逻逻辑辑式式有有不不同同的的最最简简式式，，求求最最简简式式的的一一般般方方法法是是：：先先求求最最简简与与或或式式，，然然后后变变换成所需的最简形式换成所需的最简形式 最简与或式标准最简与或式标准 ( (1) )与项的个数最少与项的个数最少( (2) )每个每个与项中的变量数最少与项中的变量数最少 最简与非式标准最简与非式标准( (1) )非号个数最少非号个数最少( (2) )每个非号中的变量数最少每个非号中的变量数最少 逻辑函数化简方法主要有代数法和卡诺图法。
逻辑函数化简方法主要有代数法和卡诺图法最小项特点最小项特点是：包含全部变量，且每个变量在是：包含全部变量，且每个变量在该乘积项中该乘积项中( (以原变量或反变量形式以原变量或反变量形式) )只出现只出现一次若两个最小项只有一个变量互为反变一次若两个最小项只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，则称为量，其余变量均相同，则称为相邻最小项相邻最小项代数化简法代数化简法可化简任何复杂的逻辑函数，但需可化简任何复杂的逻辑函数，但需要一定的技巧和经验，而且不易判断结果是否要一定的技巧和经验，而且不易判断结果是否最简卡诺图化简法卡诺图化简法直观简便，易判断结果是直观简便，易判断结果是否最简，但一般用于四变量以下函数的化简否最简，但一般用于四变量以下函数的化简 因此因此卡诺图具有下面的特点：卡诺图具有下面的特点：2n 个相邻最小项个相邻最小项有有 n 个变量相异，相加可以消去这个变量相异，相加可以消去这 n 个变量，个变量，化简结果为相同变量的与化简结果为相同变量的与 卡诺卡诺图化图化简法简法步骤步骤 画函数卡诺图画函数卡诺图 将各圈分别化简将各圈分别化简 对填对填 1 的相邻最小项方格画包围圈的相邻最小项方格画包围圈 将各圈化简结果逻辑加将各圈化简结果逻辑加 卡诺图卡诺图是按照使相邻最小项在几何位置上也相是按照使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻这样的原则排列得到的方格图。
邻且循环相邻这样的原则排列得到的方格图 无关项有约束项和随意项两种情况，其取值无关项有约束项和随意项两种情况，其取值对逻辑函数值没有影响因此，对逻辑函数值没有影响因此，化简时应视化简时应视需要将无关项方格看作需要将无关项方格看作 1 或或 0，使包围圈最，使包围圈最少而且最大，从而使结果最简少而且最大，从而使结果最简 画包画包围圈围圈规则规则包围圈必须包含包围圈必须包含 2n 个相邻个相邻 1 方格，方格，且必须成方形且必须成方形 圈越大越好；圈越大越好； 1 方格可重复圈，但须每圈有新方格可重复圈，但须每圈有新 1；；每个每个““1”1”格须圈到，孤立项也不能掉格须圈到，孤立项也不能掉 填空题填空题 1 1、在数字电路和计算机中，只用、在数字电路和计算机中，只用( )( )和和( )( )两两种符号来表示信息种符号来表示信息 “0”“1” 2 2、在逻辑代数中，基本的逻辑关系是、在逻辑代数中，基本的逻辑关系是( )( )、、 ( )( )和和( )( )。
或逻辑或逻辑与逻辑与逻辑 非逻辑非逻辑 3 3、异或运算的逻辑关系是：当两个输入变量、异或运算的逻辑关系是：当两个输入变量A、、B ( )( )时，输出为时，输出为1 1；；( )( )时，输出为时，输出为0 0 相异相异 相同相同单项选择题单项选择题 1 1、数字信号是在数值上和时间上都是不连续的、数字信号是在数值上和时间上都是不连续的,( ),( )是数字信号的典型代表是数字信号的典型代表 A A、正弦波、正弦波 B B、三角波、三角波 C C、矩形波、矩形波 D D、尖峰波、尖峰波C C 2 2、二进制数对应的十进制数为、二进制数对应的十进制数为( )( ) A A、、140.125 B140.125 B、、125.50 C125.50 C、、136.25 D136.25 D、、 D D 填空题填空题 1 1、、描述逻辑函数各个变量取值组合和函数值对应关描述逻辑函数各个变量取值组合和函数值对应关系的表格叫系的表格叫 ( )( ) 真值表真值表 2 2、传统逻辑函数化简的常用方法有、传统逻辑函数化简的常用方法有( )( )和和( )( )。
图形化简法（卡诺图法图形化简法（卡诺图法） 公式化简法公式化简法 3 3、、乘积项的个数最少、每个乘积项中相乘的变量个乘积项的个数最少、每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或表达式，称为数也最少的与或表达式，称为( ( ) ) 单项选择题单项选择题 1 1、、n个变量可以构成（个变量可以构成（ ）个最小项个最小项 A A、、n B B、、2n C C、、2n D D、、2n－－1C C 2 2、标准与或式是由（、标准与或式是由（ ）构成的逻辑表达式构成的逻辑表达式 A A、最大项之积、最大项之积 B B、最小项之积、最小项之积 C C、最大项之和、最大项之和 D D、最小项之和、最小项之和 D D最简与或式最简与或式 卡诺图化简逻辑函数练习题卡诺图化简逻辑函数练习题 3 3、要求设计一个逻辑电路，能够判断一位十进制数是奇数、要求设计一个逻辑电路，能够判断一位十进制数是奇数还是偶数，当十进制数为奇数时，电路输出为还是偶数，当十进制数为奇数时，电路输出为1 1，当十进制数，当十进制数为偶数时，电路输出为为偶数时，电路输出为0 0。
1、化简 2、化简 1、化简 1 1 121 00 0 0BCAC 2、化简 ABCD0000010111111010 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 3 3、要求设计一个逻辑电路，能够判断一位十、要求设计一个逻辑电路，能够判断一位十进制数是奇数还是偶数，当十进制数为奇数时，进制数是奇数还是偶数，当十进制数为奇数时，电路输出为电路输出为1 1，当十进制数为偶数时，电路输出，当十进制数为偶数时，电路输出为为0 0 1111 1110 1101 1100 1011 101011001010001011100110101010010010011000101000100000YABCD解解:(1):(1)列出真值表列出真值表(2)(2)画出卡诺图画出卡诺图ABCD0000010111111010 0 0 1 0 1 × × × × 1 0 0 × 1 × 1 。