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1、两类不等式恒成立问题的求解策略两类不等式恒成立问题的求解策略不等式恒成立问题是数学试题中的重要题型，涉及数学中各部分知不等式恒成立问题是数学试题中的重要题型，涉及数学中各部分知识，但主要是函数中的不等式恒成立问题和数列中的不等式恒成立问题，识，但主要是函数中的不等式恒成立问题和数列中的不等式恒成立问题，涉及题型一般有两类：一是已知不等式恒成立，求参数的取值范围，解涉及题型一般有两类：一是已知不等式恒成立，求参数的取值范围，解决这类问题的基本方法是相同的，首选方法是利用分离参数转化为求新决这类问题的基本方法是相同的，首选方法是利用分离参数转化为求新函数、新数列的最值问题，如果不能分离参数或者分离
2、参数比较复杂时，函数、新数列的最值问题，如果不能分离参数或者分离参数比较复杂时，一般选择函数的方法，通常利用函数的最值解决；二是证明不等式恒成一般选择函数的方法，通常利用函数的最值解决；二是证明不等式恒成立，在函数中一般选择以算代证，即通过求函数的最值证明不等式在立，在函数中一般选择以算代证，即通过求函数的最值证明不等式在数列中，很多时候可以与放缩法结合起来，对所证不等式的一侧进行适数列中，很多时候可以与放缩法结合起来，对所证不等式的一侧进行适当放大或缩小，下面分别举例说明当放大或缩小，下面分别举例说明一、函数中的不等式恒成立问题一、函数中的不等式恒成立问题函数是不等式恒成立问题的主要载体，通
3、常通过不等式函数是不等式恒成立问题的主要载体，通常通过不等式恒成立问题考查等价转化思想、函数的最值或值域，对涉及恒成立问题考查等价转化思想、函数的最值或值域，对涉及已知函数在给定区间上恒成立，求参数的取值范围、证明不已知函数在给定区间上恒成立，求参数的取值范围、证明不等式等问题，大多数题目可以利用分离参数的方法，将问题等式等问题，大多数题目可以利用分离参数的方法，将问题转化为求函数的最值或值域问题转化为求函数的最值或值域问题例例1已知两个函数已知两个函数f(x)8x216xk，g(x)2x35x24x，其中，其中k为实数为实数(1)若对任意的若对任意的x3,3，都有，都有f(x)g(x)成立，
4、求成立，求k的取值的取值范围；范围；(2)若对任意的若对任意的x1、x23,3，都有，都有f(x1)g(x2)，求，求k的取的取值范围值范围解解(1)令令F(x)g(x)f(x)2x33x212xk.问题转化为问题转化为F(x)0在在x3,3时恒成立，故解时恒成立，故解F(x)min0即可即可F(x)6x26x126(x2x2)，故由故由F(x)0，得，得x2或或x1.F(3)k45，F(3)k9，F(1)k7，F(2)k20，F(x)mink45.由由k450，解得，解得k45.故实数故实数k的取值范围是的取值范围是45，)(2)由题意可知当由题意可知当x3,3时，都有时，都有f(x)max
5、g(x)min.由由f(x)16x160，得，得x1.f(3)24k，f(1)8k，f(3)120k，点评点评将恒成立问题转化为求函数的最值问题来处理，将恒成立问题转化为求函数的最值问题来处理，一般有下面两种类型：一般有下面两种类型：(1)若所给函数能直接求出最值，则有：若所给函数能直接求出最值，则有：f(x)0恒成立恒成立f(x)min0；f(x)0恒成立恒成立f(x)max0.(2)若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围，则有
6、参数范围，则有(下面的下面的a为参数为参数)：f(x)f(x)max；f(x)g(a)恒成立恒成立g(a)f(x)min.例例2已知函数已知函数f(x)alnxx2，(a为实常数为实常数)(1)若若a2，求函数，求函数f(x)的单调区间；的单调区间；(2)若对若对x1，e，使得，使得f(x)(a2)x恒成立，求实数恒成立，求实数a的取值范围的取值范围点评点评利用不等式与函数和方程之间的联系，将问题利用不等式与函数和方程之间的联系，将问题转化成一次函数或二次函数转化成一次函数或二次函数(二次方程二次方程)的问题研究，一般有的问题研究，一般有下面几种类型：下面几种类型：二、数列中的不等式恒成立问题
7、二、数列中的不等式恒成立问题数列是一种特殊的函数，所以解决数列中的不等式恒数列是一种特殊的函数，所以解决数列中的不等式恒成立问题与函数中不等式恒成立问题的解法相同，基本方成立问题与函数中不等式恒成立问题的解法相同，基本方法也是利用分离参数转化为求新数列的最值问题，数列中法也是利用分离参数转化为求新数列的最值问题，数列中的最值问题一般是应用数列的单调性求解；而数列中的不的最值问题一般是应用数列的单调性求解；而数列中的不等式恒成立的证明，则很多时候可以与放缩法联系起来等式恒成立的证明，则很多时候可以与放缩法联系起来(1)求数列的通项公式；求数列的通项公式；点评点评本题是数列中的不等式恒成立问题，一
8、般解法是直本题是数列中的不等式恒成立问题，一般解法是直接利用函数知识，由单调性来求函数的值域，只是这时的函数定接利用函数知识，由单调性来求函数的值域，只是这时的函数定义域不是连续区间，这也是数列与函数的区别，另外要熟悉求数义域不是连续区间，这也是数列与函数的区别，另外要熟悉求数列通项公式的方法，及简单的不等式放缩问题列通项公式的方法，及简单的不等式放缩问题总之，无论是函数中的不等式恒成立，还是数列中的不等总之，无论是函数中的不等式恒成立，还是数列中的不等式恒成立，求参数的取值范围问题，通性通法都是相同的，即能式恒成立，求参数的取值范围问题，通性通法都是相同的，即能分离参数，则先分离参数，将问题转化为求函数的最值；如果不分离参数，则先分离参数，将问题转化为求函数的最值；如果不能分离参数，则直接求函数的最值，这时一般需要分类讨论对能分离参数，则直接求函数的最值，这时一般需要分类讨论对不等式恒成立的证明，方法灵活多变，要求考生做个有心人，平不等式恒成立的证明，方法灵活多变，要求考生做个有心人，平时不断积累、归纳时不断积累、归纳
