第七章第二节二重积分的换元法

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1、第二节一、利用极坐标计算二重积分一、利用极坐标计算二重积分 二、计算二重积分的换元法二、计算二重积分的换元法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的换元法 第七章 对应有一、利用极坐标计算二重积分一、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下, 用同心圆 r =常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线 =常数, 分划区域D 为机动 目录 上页 下页 返回 结束 即机动 目录 上页 下页 返回 结束 设设则特别特别, 对机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 f 1 则可求得D 的面积思考思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试答答: 问 的变化范围是什么?

2、(1)(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例1. 1. 计算计算其中解解: 在极坐标系下原式的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角由于故坐标计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 注注注注: :利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上, 当D 为 R2 时,利用例6的结果, 得故式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例2.2. 求球体求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解解: 设由对称性可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分换元法二、二重积分换元法二、二重积分换元法 满足一阶导数连续;雅可比行列式(3) 变

3、换则定理定理:变换:是一一对应的 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证证证: : 根据定理条件可知变换根据定理条件可知变换 T T 可可逆逆. . 用平行于坐标轴的 直线分割区域 任取其中一个小矩形, 其顶点为通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边形, 其对应顶点为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 同理得当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此面积元素的关系为因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式: 例如例如, 直角坐标转化为极坐标时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例3.3

4、. 计算计算其中D 是 x 轴 y 轴和直线所围成的闭域. 解解: 令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例4. 4. 计算由计算由所围成的闭区域 D 的面积 S .解解: 令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例5.5. 试计算椭球体试计算椭球体解解: 由对称性令则D 的原象为的体积V.机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结(1) 二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为则 若积分区域为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 则(2) 一般换元公式且则极坐标系情形极坐标系情形极坐标系情形极坐标系情形: : 若积分区域为若积分区域为在变换下机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) (3) 计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域 写出积分限 计算要简便图示法不等式( 先积一条线, 后扫积分域 )充分利用对称性应用换元公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 1. 交换积分顺序交换积分顺序提示提示: 积分域如图机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 2. 计算计算其中D 为由圆所围成的及直线解：解：平面闭区域.机动 目录 上页 下页 返回 结束