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1、第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计第第7章章有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计7.1线性相位线性相位FIR数字滤波器的条件和特点数字滤波器的条件和特点7.2利用窗函数法设计利用窗函数法设计FIR滤波器滤波器7.3利用频率采样法设计利用频率采样法设计FIR滤波器滤波器7.4利用等波纹最佳逼近法设计利用等波纹最佳逼近法设计FIR滤波器滤波器7.5IIR和和FIR数字滤波器的比较数字滤波器的比较7.6几种特殊类型滤波器简介几种特殊类型滤波器简介第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计7.1线性相位线性相位FI
2、R数字滤波器的条件和特点数字滤波器的条件和特点1.线性相位条件线性相位条件对于长度为对于长度为N的的h(n)，频率响应函数为，频率响应函数为(7.1.1) (7.1.2) 第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计Hg()-幅幅 度度 特特 性性 ， Hg()不不 同同 于于 |H(ej)|,Hg()为为的实函数，可能取负值。的实函数，可能取负值。()-相位特性。相位特性。H(ej)线性相位是指线性相位是指()是是 的线性函数，即的线性函数，即()=-,为常数为常数（第一类线性相位）（第一类线性相位）如果如果()满足下式：满足下式：()=0-, 0是起始相位是起始
3、相位（第二类线性相位）（第二类线性相位）(7.1.3) (7.1.4) 第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计线性相位线性相位FIR的的时域时域约束条件约束条件满满足足第第一一类类线线性性相相位位的的条条件件是是：h(n)是是实实序序列列，且且关于关于n=(N-1)/2点偶对称，即点偶对称，即h(n)=h(N-n-1)(7.1.5)满满足足第第二二类类线线性性相相位位的的条条件件是是：h(n)是是实实序序列列，且且关于关于n=(N-1)/2点奇对称，即点奇对称，即h(n)=- -h(N-n-1)(7.1.6)第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲
4、响应数字滤波器的设计(1)第一类线性相位条件证明：第一类线性相位条件证明：(7.1.7)第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计要求满足下列条件要求满足下列条件第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计(2)第二类线性相位条件证明：第二类线性相位条件证明：用同样的方法可得：用同样的方法可得：第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计2.线性相位线性相位FIR滤波
5、器幅度特性滤波器幅度特性Hg()的特点的特点1)h(n)=h(N-n-1),N=奇数奇数按照按照(7.1.8)式，幅度函数式，幅度函数Hg()为为式式中中，h(n)对对(N-1)/2偶偶对对称称，余余弦弦项项也也对对(N-1)/2偶偶对对称称，可可以以以以(N-1)/2为为中中心心，把把两两两两相相等等的的项项进进行行合合并并，由由于于N是是奇奇数数，故故余余下下中中间间项项n=(N-1)/2。这这样样幅幅度度函函数数表示为表示为第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计上式中，由于上式中，由于cosn项对项对=0,2皆为偶对称，皆为偶对称，因因此幅度特性的特点是
6、对此幅度特性的特点是对=0,2是偶对称的，是偶对称的，可实现各种滤波器。可实现各种滤波器。第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计2)h(n)=h(N-n-1),N=偶数偶数所以，不能实现高通和带阻滤波器。所以，不能实现高通和带阻滤波器。对对=0,2皆为偶对称。皆为偶对称。第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计3)h(n)=-h(N-n-1),N=奇数奇数上式中，由于上式中，由于sin项在项在=0,2皆为皆为0，因此幅度特，因此幅度特性的特点是对性的特点是对=0,2是奇对称的，是奇对称的，只能实现带通只能实现带通滤波器。滤波器。
7、第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计4)h(n)=-h(N-n-1),N=偶数偶数类似上面类似上面3)情况，推导如下：情况，推导如下：上式中，由于上式中，由于sin项在项在=0,2皆为皆为0，因此幅度特性，因此幅度特性的特点是对的特点是对=0,2是奇对称的，不能实现低通和是奇对称的，不能实现低通和带阻，带阻，不能实现低通和带阻滤波器。不能实现低通和带阻滤波器。第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计3.线性相位线性相位FIR滤波器零点分布特点滤波器零点分布特点第一类和第二类线性相位的分别满足：第一类和第二类线性相位的分别满足：
8、第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图图7.1.1线性相位线性相位FIR滤波器零点分布滤波器零点分布第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计4.线性相位线性相位FIR滤波器网络结构滤波器网络结构设设N为偶数，则有为偶数，则有令令m=N-n-1,则有则有第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计如果如果N为奇数，则将中间项为奇数，则将中间项h(N-1)/2单独列出，单独列出，第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图图7.1.2第一类线性相位网络结构第一类线性相位网络
9、结构第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图图7.1.3第二类线性相位网络结构第二类线性相位网络结构第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计7.2利用窗函数法设计利用窗函数法设计FIR滤波器滤波器7.2.1窗函数法设计原理窗函数法设计原理设设希希望望设设计计的的滤滤波波器器传传输输函函数数为为Hd (e j),hd(n)是与其对应的单位脉是与其对应的单位脉冲响应，因此冲响应，因此第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计相应的单位取样响应相应的单位取样响应hd(n)为为(7.2.1)(7.2.2)为
10、为了了构构造造一一个个长长度度为为N的的线线性性相相位位滤滤波波器器，只只有有将将hd(n)截截取取一一段段，并并保保证证截截取取的的一一段段对对(N-1)/2对对称称。设设截取的一段用截取的一段用h(n)表示，即表示，即h(n)=hd(n)RN(n)(7.2.3)线性相位理想低通线性相位理想低通第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计我我们们实实际际实实现现的的滤滤波波器器的的单单位位取取样样响响应应为为h(n),长长度为度为N，其系统函数为其系统函数为H(z)，图图7.2.1理想低通的单位脉冲响应及矩形窗理想低通的单位脉冲响应及矩形窗第第7 7章章 有限脉冲
11、响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计我们知道我们知道Hd(ej)是一个以是一个以2为周期的函数为周期的函数对对h(n)=hd(n)RN(n)进行傅里叶变换，根据复卷积定理，进行傅里叶变换，根据复卷积定理，得到：得到：(7.2.4)式中，式中，Hd(ej)和和RN(ej)分别是分别是hd(n)和和RN(n)的傅里叶变换，即的傅里叶变换，即(7.2.5)第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计RN()称为矩形窗的幅度函数；将称为矩形窗的幅度函数；将Hd(ej)写成下式：写成下式：按照按照(7.2.1)式，理想低通滤波器的幅度特性式，理想低通滤波器的幅度特
12、性Hd()为为将将Hd(ej)和和RN(ej)代入代入(7.2.4)式，得到：式，得到：第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计将将H(e j)写成下式：写成下式：(7.2.6)第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图图7.2.2矩矩形形窗窗对对理理想想低低通通幅幅度度特特性性的影响的影响第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计对对hd(n)加加矩矩形形窗窗处处理理后后，H()和和原原理理想想低低通通Hd()差别有以下两点差别有以下两点：(1)在在理理想想特特性性不不连连续续点点=c附附近近形形成
13、成过过渡渡带带。过过渡带的宽度，近似等于渡带的宽度，近似等于RN()主瓣宽度，即主瓣宽度，即4/N。(2)通通带带内内增增加加了了波波动动，最最大大的的峰峰值值在在c- -2/N处处。阻带内产生了余振，最大的阻带内产生了余振，最大的负峰在负峰在c+2/N处。处。在主瓣附近，按照在主瓣附近，按照(7.2.5)式，式，RN()可近似为可近似为加大加大N只能减小过渡带，并不是减小减小吉布斯效应的只能减小过渡带，并不是减小减小吉布斯效应的有效方法。有效方法。第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计7.2.2常用的窗函数介绍。常用的窗函数介绍。设设h(n)=hd(n)w(
14、n)式中式中w(n)表示窗函数。表示窗函数。1.矩形窗矩形窗(RectangleWindow)wR(n)=RN(n)前面已分析过，按照前面已分析过，按照(7.2.5)式，其频率响应为式，其频率响应为第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 2.三角形窗三角形窗(BartlettWindow)(7.2.8) 其频率响应为其频率响应为(7.2.9) 第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 3.汉宁汉宁(Hanning)窗窗升余弦窗升余弦窗当N1时，N-1N， 第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图
15、图7.2.3汉宁窗的幅度特性汉宁窗的幅度特性第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 4.哈明哈明(Hamming)窗窗改进的升余弦窗改进的升余弦窗(7.2.11)其频域函数其频域函数WHm(ej)为为其幅度函数其幅度函数WHm()为为当当N1时，可近似表示为时，可近似表示为第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 5.布莱克曼布莱克曼(Blackman)窗窗(7.2.13) 其频域函数为其幅度函数为(7.2.14) 第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图图7.2.4常用的窗函数常用的窗函数第第
16、7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图图7.2.5常用窗函数的幅度特性常用窗函数的幅度特性(a)矩矩形形窗窗；(b)巴巴特特利利特特窗窗(三三角角形形窗窗)；(c)汉汉宁宁窗窗；(d)哈哈明明窗窗；(e)布布莱莱克克曼曼窗窗第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图图7.2.6理想低通加窗后的幅度特性理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5)(a)矩矩形形窗窗；(b)巴巴特特利利特特窗窗(三三角角形形窗窗)；(c)汉汉宁宁窗窗；(d)哈哈明明窗窗；(e)布布莱莱克克曼窗曼窗第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲
17、响应数字滤波器的设计 6.凯塞凯塞贝塞尔窗贝塞尔窗(Kaiser-BaselWindow) 式中 I0(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数，可用下面级数计算：第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 一般I0(x)取1525项，便可以满足精度要求。参数可以控制窗的形状。一般加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为4M=M+1M=15hn=remez(M,fo,mo,w)hn=Columns1through90.01440.03210.0123-0.0402-0.06850.01520.20000.36000.3600Columns10through160.20000
18、.0152-0.0685-0.04020.01230.03210.0144对于同一设计指标，窗函数法设计的滤波器阶数为对于同一设计指标，窗函数法设计的滤波器阶数为23。第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图图7.4.4利用切比雪夫逼近法设计的低通滤波器幅度特性利用切比雪夫逼近法设计的低通滤波器幅度特性第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计7.5IIR和和FIR数字滤波器的比较数字滤波器的比较u从性能上来说，从性能上来说，IIR滤滤波波器器传传输输函函数数的的极极点点可可位位于于单单位位圆圆内内的的任任何何地地方方，因因此此可
19、可用用较较低低的的阶阶数数获获得得高高的的选选择择性性，所所用用的的存存贮贮单单元元少少，所所以以经经济济而而效效率率高高。但但是是这这个个高高效效率率是是以以相相位位的非线性的非线性为代价的。为代价的。FIR滤滤波波器器在在达达到到同同样样指指标标时时，所所要要求求的的阶阶数数比比IIR高高510倍，但能得到严格的倍，但能得到严格的线性相位线性相位。第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计u从从结结构构上上看看，IIR滤滤波波器器必必须须采采用用递递归归结结构构，极极点点位位置置必必须须在在单单位位圆内，否则系统将不稳圆内，否则系统将不稳定。定。FIR滤波器采
20、用非滤波器采用非递归结构，递归结构，稳定。稳定。u从从设设计计工工具具看看，IIR滤滤波波器器可可以以借借助助于于模模拟拟滤滤波波器器的的成成果果，因因此此一一般般都都有有有有效效的的封封闭闭形形式式的的设设计计公公式式可可供供准准确确计计算算，计计算算工工作作量量比比较小，对计算工具的要求不高。较小，对计算工具的要求不高。FIR滤波器采用程序设计，对计算工具要求高。滤波器采用程序设计，对计算工具要求高。u从从适适应应性性和和应应用用场场合合看看，IIR滤滤波波器器主主要要用用于于设设计计具具有有片片段段常常数数特特性的选频滤波器，应用于对相位要求不高的场合；性的选频滤波器，应用于对相位要求不
21、高的场合；FIR滤滤波波器器灵灵活活，适适应应某某些些特特殊殊的的应应用用，如如构构成成微微分分器器或或积积分分器器等，可应用于对线性相位要求比较高的场合。等，可应用于对线性相位要求比较高的场合。第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计7.6几种特殊类型滤波器简介几种特殊类型滤波器简介7.6.1全通滤波器全通滤波器如如果果滤滤波波器器的的幅幅频频特特性性对对所所有有频频率率均均等等于于常常数数，即即|H(ej)|=1,02则该滤波器称为全通滤波器。则该滤波器称为全通滤波器。全通滤波器的频率响应函数可表示成全通滤波器的频率响应函数可表示成H(ej)=ej()全通滤
22、波器起纯相位滤波的作用，可用于相位均衡。全通滤波器起纯相位滤波的作用，可用于相位均衡。第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计全通滤波器的系统函数一般形式如下式：全通滤波器的系统函数一般形式如下式：或者写成二阶滤波器级联形式：或者写成二阶滤波器级联形式：第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计下面证明上式表示的滤波器具有全通幅频特性。下面证明上式表示的滤波器具有全通幅频特性。式中，式中，由于系数由于系数ak是实数，是实数，所以所以第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图图7.6.1全通滤波器一组零
23、极点示意图全通滤波器一组零极点示意图第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计观观察察图图7.6.1，如如果果将将零零点点zk和和极极点点p*k组组成成一一对对，将将零零点点z*k与与极极点点pk组组成成一一对对，那那么么全全通通滤滤波波器器的的极极点点与与零零点点便便以以共共轭轭倒倒易易关关系系出出现现，即即如如果果z-1k为为全全通通滤滤波波器器的的零零点点，则则z*k必必然然是是全全通通滤滤波波器器的的极极点点。因因此此，全通滤波器系统函数也可以写成如下形式：全通滤波器系统函数也可以写成如下形式：第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤
24、波器的设计7.6.2梳状滤波器梳状滤波器例例如如，,0a1，零零点点为为1，极极点点为为a,所所以以H(z)表表示示一一个个高高通通滤滤波波器器。以以zN代代替替H(z)的的z，得得到：到：或或第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图图7.6.2梳状滤波器梳状滤波器的零极点分布和幅的零极点分布和幅频响应特性频响应特性(N=8)第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计梳状滤波器可滤除输入信号中梳状滤波器可滤除输入信号中的频率分量，可用于消除信号中的电网谐波干扰。的频率分量，可用于消除信号中的电网谐波干扰。例：设计一梳状滤波器，用于
25、滤除心电图采集信号中的例：设计一梳状滤波器，用于滤除心电图采集信号中的50Hz电源及其谐波干扰，心电图信号采样频率为电源及其谐波干扰，心电图信号采样频率为200Hz.解：解：第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计7.6.3最小相位系统最小相位系统u最最小小相相位位系系统统Hmin(z)：因因果果稳稳定定的的系系统统H(z)的的所所有有零点都在单位圆内。零点都在单位圆内。u最最大大相相位位系系统统Hmax(z)：因因果果稳稳定定的的系系统统H(z)的的所所有有零点都在单位圆外。零点都在单位圆外。u混合相位系统：混合相位系统：H(z)在单位圆内、外都有零点。在单位
26、圆内、外都有零点。第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计最最小小相相位位系系统统在在工工程程理理论论中中较较为为重重要要，下下面面给给出出最小相位系统的几个重要特点。最小相位系统的几个重要特点。(1)任任何何一一个个非非最最小小相相位位系系统统的的系系统统函函数数H(z)均均可可由由一一个个最最小小相相位位系系统统Hmin(z)和和一一个个全全通通系系统统Hap(z)级级联而成，联而成，即即H(z)=Hmin(z)Hap(z)证证明明：假假设设因因果果稳稳定定系系统统H(z)仅仅有有一一个个零零点点在在单单位位圆圆外外，令该零点为令该零点为z=1/z0，|z0
27、|1，则，则H(z)可表示为可表示为第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计该该特特点点说说明明：将将非非最最小小相相位位系系统统位位于于单单位位圆圆外外的的零零点点zk用用1/zk*代替，即得最小相位系统，且幅频响应特性相同。代替，即得最小相位系统，且幅频响应特性相同。第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计(2)在在幅幅频频响响应应特特性性相相同同的的所所有有因因果果稳稳定定系系统统集集中中，最最小小相相位位系系统统的的相相位位延延迟迟(负负的的相相位位值值)最最小小。从从时时域域说说，最小相位系统的时域响应波形延迟和能量延迟
28、均最小。最小相位系统的时域响应波形延迟和能量延迟均最小。第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计(3)最小相位系统保证其逆系统存在。最小相位系统保证其逆系统存在。给定一个给定一个因果稳定系统因果稳定系统H(z)=B(z)/A(z)，定义其逆系统为定义其逆系统为当且今当当且今当H(z)为最小相位系统时，其逆系统才是为最小相位系统时，其逆系统才是因果稳定的（物理可实现）。因果稳定的（物理可实现）。应用：逆滤波。应用：逆滤波。第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计7.6.4简单整系数滤波器简单整系数滤波器u简简单单整整系系数数滤滤波波器器：滤滤波波器器网网络络中中的的乘乘法法支支路路增增益益均为整数。均为整数。u特特点点：乘乘法法实实现现的的速速度度快快，适适合合于于对对滤滤波波性性能能要要求求不不高高，但但对对处处理理速速度度要要求求比比较较高高，且且要要求求设设计计方方法法简单易行的场合。简单易行的场合。
