《131（1）函数的单调性ok》由会员分享，可在线阅读，更多相关《131（1）函数的单调性ok（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.3.1单调性与最大（小）值（1）-函数的单调性 一一.引入课题引入课题观察下列各个函数的图象，并说说它们观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：分别反映了相应函数的哪些变化规律：yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1问：随问：随x的增大，的增大，y的值有什么变化？的值有什么变化？Oxy如何描述函数图象的如何描述函数图象的“上升上升”“”“下降下降”画出下列函数的图象，观察其变化规律：画出下列函数的图象，观察其变化规律：1f(x) = x 从左至右图象上升还是下从左至右图象上升还是下_?在区间在区间 _ 上
2、，随着上，随着x的增大，的增大，f(x)的值随着的值随着 _ 2f(x) = -2x+1 从左至右图象上升还是下降从左至右图象上升还是下降 _?在区间在区间 _ 上，随着上，随着x的增的增大，大，f(x)的值随着的值随着 _ 3f(x) = x在区间在区间 _ 上，上，f(x)的值随的值随着着x的增大而的增大而 _ 在区间在区间 _ 上，上，f(x)的值随的值随着着x的增大而的增大而 _ 2x-4 -3 -2 -1 01234f(x)=x216941014916 二二.新课教学新课教学（一）函数单调性定义（一）函数单调性定义思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义思考：仿照增函数的定义说出减函数
3、的定义 1增函数增函数 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果对于定，如果对于定义域义域I内的某个区间内的某个区间D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x ,x ，当当x x 时，都有时，都有f(x )f(x )，那么就说，那么就说f(x)在区在区间间D上是上是增函数增函数（increasing function）12 21 12如果对于定义域如果对于定义域I I内内某某个区间个区间D D上的上的任意任意两个两个自变量的值自变量的值x x1 1, x, x2 2, , 当当x x1 1xx2 2时，时，都有都有f(xf(x1 1 )f )f(x(x2 2 ) )，
4、那么就说在这个那么就说在这个区间上是区间上是增函数增函数如果对于定义域如果对于定义域I I内内某个某个区间区间D D上的上的任意任意两个自变两个自变量的值量的值x x1 1,x,x2 2， 当当x x1 1xf )f(x(x2 2 ) )，那么就说在这个那么就说在这个区间上是区间上是减函数减函数设设f(x)的定义域为的定义域为I:OxyOxy注意：注意：1.函数的单调性是在定义域内的某函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性个区间上的性质，是函数的局部性质；质； 2 、必须是对于区间必须是对于区间D内的内的任意任意两个自变量两个自变量x1，x2；当；当x1x2时，时，总有总有
5、f(x1)f(x2) 分别是增函数和减函数分别是增函数和减函数. .函数单调性是函数在某个区间上的性质函数单调性是函数在某个区间上的性质(1)(1)这个区间可以是整个定义域这个区间可以是整个定义域 如如y=xy=x在定义域上是增函数在定义域上是增函数, ,y=-xy=-x是减函数是减函数(3)有的函数没有单调性区间有的函数没有单调性区间(2)这个区间也可以是定义域的真子集这个区间也可以是定义域的真子集 如如y=x2在定义域上没有单调性在定义域上没有单调性,但在但在(-,0是减函数是减函数,在在 0,+)是增函数是增函数.2单调性与单调区间单调性与单调区间 如果函数如果函数y=f(x)在某个区间
6、上是增函数或减在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严在这一区间具有（严格的）单调性，区间格的）单调性，区间D叫做叫做y=f(x)的单调区间：的单调区间：注意：注意：函数的单调区间是其定义域的子集；函数的单调区间是其定义域的子集；应是该区间内应是该区间内任意任意的两个实的两个实数，忽略需要数，忽略需要任意任意取值这个条取值这个条件，就不能保证函数是增函数件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图（或减函数），例如，图5中，中，在那样的特定位置上，虽然使在那样的特定位置上，虽然使得得f( )f( )，但显然此图象表，但显然此图象表示的函数不
7、是一个单调函数；示的函数不是一个单调函数；几何特征几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.结论结论1：一次函数一次函数 的单调性，单的单调性，单调区间：调区间：结论结论2：二次函数二次函数 的单调性，单调区间：的单调性，单调区间：例1、下图是定义在区间-5，5上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？解：函数解：函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有 -5,-2),-2,1),1,3),3,5 其中其中y=f(x)在区间在区间-
8、5,-2), 1,3)是减函数，是减函数， 在区间在区间-2,1), 3,5 上是增函数。上是增函数。注意：注意：函数的单调性是对某个区间而言的，函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；对于闭区间上的连续函存在单调性问题；对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；间时，包括不包括端点都可以；例例2
9、作出函数作出函数的图象并指出它的的单调区间的图象并指出它的的单调区间例例3物理学中的玻意定律物理学中的玻意定律 (k为正常数为正常数)告诉我们告诉我们,对于一定量的气体对于一定量的气体,当体积当体积V减小时减小时,压强压强P将增大将增大.试用函数的试用函数的单调性证明之单调性证明之. 例例2、物理学中的玻意耳定律、物理学中的玻意耳定律 告诉告诉我们，对于一定量的气体，当其体积我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压减小时，压强强p将增大。试用函数的单调性证明之。将增大。试用函数的单调性证明之。证明：证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+)上的任意两个实数，且V1V2，则由V1
10、，V2 (0，+)且V10, V2- V1 0又k0,于是 所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.取值定号变形作差结论结论定号定号: :（判断符号）（判断符号）证明函数单调性的步骤证明函数单调性的步骤取值：取值：对于对于x x1 1,x,x2 2DD，且，且x x1 1xx2 2 作差：作差： f(xf(x1 1)- f(x)- f(x2 2) ) 变形变形: : 通过因式分解、通分、配方、有理通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形. .判断判断. .探究：探究：P30 画出反比例函数画出反比例函数
11、的图象的图象这个函数的定义域是什么？这个函数的定义域是什么？它在定义域它在定义域I上的单调性怎样？证明上的单调性怎样？证明你的结论你的结论结论结论3：反比例函数反比例函数 的单调性，单调区间：的单调性，单调区间： yoxoyxyoxyoxyox在 增函数在 减函数在 增函数在 减函数在(-,+)是减函数在(-,0)和(0,+)是减函数在(-,+)是增函数在(-,0)和(0,+)是增函数yox例例4证明函数证明函数在（在（1，+）上为增函数）上为增函数 例例5讨论函数讨论函数在在(-2,2)内的单调性内的单调性.三三.归纳小结归纳小结1、函数的单调性的判定、证明和单调区间函数的单调性的判定、证明
12、和单调区间的确定：的确定：函数的单调性一般是先根据图象函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：五步：取取 值值 作作 差差 变变 形形 定定 号号 下结论下结论2、直接利用初等函数的单调区间。、直接利用初等函数的单调区间。 此时此时f f（x x）为减函数为减函数. .当当a0a0时时，f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) )，此此时时f(x)f(x)为为增增函函数数. .2.2.讨讨论论函函数数f(xf(x)= )= (a(a0)在在( (1,1)1,1)上的单调性上的单调性. .4.4.判断函数判断函数f(xf(x)=)=x x3 3+1+1在在( (,0),0)上是增函上是增函数还是减函数，并用定义证明你的结论数还是减函数，并用定义证明你的结论. .所以所以f(x)f(x)在在( (,0),0)上是减函数上是减函数6.6.己知函数己知函数f(xf(x) )是定义在区间是定义在区间-1,1-1,1上的增上的增函数函数, ,且且f(x-2)f(1-x),f(x-2)f(1-x),求求x x的取值范围的取值范围. .
