第5讲高斯光束

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1、激光原理与技术激光原理与技术原理部分原理部分第第5讲讲高斯光束高斯光束-激光器基本光束激光器基本光束重复重复5.4 波动方程波动方程=数学基础数学基础+物理概念物理概念 类透镜介质中的波动方程类透镜介质中的波动方程类透镜介质中的波动方程类透镜介质中的波动方程- - -博士生考试博士生考试博士生考试博士生考试 在各向同性、无电荷分布的介质中，在各向同性、无电荷分布的介质中，在各向同性、无电荷分布的介质中，在各向同性、无电荷分布的介质中，MaxwellMaxwell方程组的微分形式为方程组的微分形式为方程组的微分形式为方程组的微分形式为：对对2式求旋度：式求旋度：且由且由3式：式：在各向同性介质中

2、有介电常数不随位置而发生变化，即在各向同性介质中有介电常数不随位置而发生变化，即综合上三式可以得到综合上三式可以得到假设折射率假设折射率n的空间变化很小，即的空间变化很小，即n(r)满足慢变近似，此时可以将电磁场表示为：满足慢变近似，此时可以将电磁场表示为：代入代入(4)式式波动方程波动方程也称亥姆也称亥姆霍兹方程霍兹方程波动方程波动方程 当考虑到介质中存在增益和损耗的情况时，上式最后一项可以表示为：当考虑到介质中存在增益和损耗的情况时，上式最后一项可以表示为：当考虑到介质中存在增益和损耗的情况时，上式最后一项可以表示为：当考虑到介质中存在增益和损耗的情况时，上式最后一项可以表示为：当当 代表

3、吸收介质，代表吸收介质， 代表增益介质代表增益介质上式表示复数波数上式表示复数波数.波动方程波动方程也称亥姆也称亥姆霍兹方程霍兹方程波动方程波动方程我们考虑波数表示形式为我们考虑波数表示形式为其中其中k0、k2都可以是复数，这个表达式可以理解为波数与位置都可以是复数，这个表达式可以理解为波数与位置r和介质的特和介质的特性性k2都有关系。都有关系。由波数的定义：由波数的定义： 可以得到可以得到n(r)的表达式：的表达式：的情况的情况该表达式就是类透镜介质该表达式就是类透镜介质的折射率表达式，证明我的折射率表达式，证明我们考虑的们考虑的k(r)表达式代表表达式代表的正是在类透镜介质中的的正是在类透

4、镜介质中的情况。情况。级数级数展开展开波动方程波动方程 类透镜介质中波动方程的解，考虑在介质中传播的是一种类透镜介质中波动方程的解，考虑在介质中传播的是一种类透镜介质中波动方程的解，考虑在介质中传播的是一种类透镜介质中波动方程的解，考虑在介质中传播的是一种近似平面波，即能量集中在光轴附近，沿光轴方向传播。近似平面波，即能量集中在光轴附近，沿光轴方向传播。近似平面波，即能量集中在光轴附近，沿光轴方向传播。近似平面波，即能量集中在光轴附近，沿光轴方向传播。可以假设光场的横向分布只与可以假设光场的横向分布只与可以假设光场的横向分布只与可以假设光场的横向分布只与 有关，因此波有关，因此波有关，因此波有

5、关，因此波动方程中的算符动方程中的算符动方程中的算符动方程中的算符 可以表示为：可以表示为：可以表示为：可以表示为：波动方程波动方程 我们假设我们假设我们假设我们假设 ，其中，其中，其中，其中a a为集中大部分能量的横截面半为集中大部分能量的横截面半为集中大部分能量的横截面半为集中大部分能量的横截面半径，这一假设说明衍射效应很弱，因此可以将推导局限于径，这一假设说明衍射效应很弱，因此可以将推导局限于径，这一假设说明衍射效应很弱，因此可以将推导局限于径，这一假设说明衍射效应很弱，因此可以将推导局限于单一的横向场分量，其单色平面波的表达式为：单一的横向场分量，其单色平面波的表达式为：单一的横向场分

6、量，其单色平面波的表达式为：单一的横向场分量，其单色平面波的表达式为： 其中其中其中其中e e-ikz-ikz表示波数为表示波数为表示波数为表示波数为k k的严格平面波；的严格平面波；的严格平面波；的严格平面波； 为了研究修正平面波，我们引入了修正因子为了研究修正平面波，我们引入了修正因子为了研究修正平面波，我们引入了修正因子为了研究修正平面波，我们引入了修正因子 ，它包含了它包含了它包含了它包含了相位和振幅相位和振幅相位和振幅相位和振幅修正两部分。修正两部分。修正两部分。修正两部分。 该修正因子满足慢变近似：该修正因子满足慢变近似：该修正因子满足慢变近似：该修正因子满足慢变近似： 将这些相将

7、这些相将这些相将这些相关假设带入波动方程可以得到：关假设带入波动方程可以得到：关假设带入波动方程可以得到：关假设带入波动方程可以得到：波动方程波动方程令修正因子取以下形式：令修正因子取以下形式：令修正因子取以下形式：令修正因子取以下形式：为什么取这种形式？这是对波动方程进行长期研究得到为什么取这种形式？这是对波动方程进行长期研究得到的解，既满足方程，又有明确的、能够被实验证实的物的解，既满足方程，又有明确的、能够被实验证实的物理意义。理意义。牢记波动方程牢记波动方程-结果结果-后面还有后面还有用用 通过将修正因子带入被假设修正过的波动方程，可以得到：通过将修正因子带入被假设修正过的波动方程，可

8、以得到：通过将修正因子带入被假设修正过的波动方程，可以得到：通过将修正因子带入被假设修正过的波动方程，可以得到：该方程对不同该方程对不同该方程对不同该方程对不同r r都成立，因此都成立，因此都成立，因此都成立，因此r r2 2系数为零，系数为零，系数为零，系数为零，k k项系数也为零项系数也为零项系数也为零项系数也为零： 该式称为类透镜介质中的该式称为类透镜介质中的该式称为类透镜介质中的该式称为类透镜介质中的简化的波动方程简化的波动方程简化的波动方程简化的波动方程。5.0 （继续（继续)类透镜介质中的波动方程类透镜介质中的波动方程 从麦克斯韦方程组出发，推导出从麦克斯韦方程组出发，推导出从麦克

9、斯韦方程组出发，推导出从麦克斯韦方程组出发，推导出各向同性、无电荷分布介质中各向同性、无电荷分布介质中各向同性、无电荷分布介质中各向同性、无电荷分布介质中的波动的波动的波动的波动方程为：方程为：方程为：方程为： 若假设其解为修正平面波，且将若假设其解为修正平面波，且将若假设其解为修正平面波，且将若假设其解为修正平面波，且将类透镜介质折射率类透镜介质折射率类透镜介质折射率类透镜介质折射率表达式带入其中可表达式带入其中可表达式带入其中可表达式带入其中可以得到：以得到：以得到：以得到： 其中其中其中其中 为为为为修正因子修正因子修正因子修正因子，若假设其形式为：，若假设其形式为：，若假设其形式为：，

10、若假设其形式为： 可得到简化的可得到简化的可得到简化的可得到简化的波动方程波动方程波动方程波动方程：5.1 均匀介质中的高斯光束均匀介质中的高斯光束 均匀介质可以认为是均匀介质可以认为是均匀介质可以认为是均匀介质可以认为是类透镜介质的一种特例类透镜介质的一种特例类透镜介质的一种特例类透镜介质的一种特例，即，即，即，即k k2 2=0=0时的类透镜介质时的类透镜介质时的类透镜介质时的类透镜介质，此时简化，此时简化，此时简化，此时简化波动方程为：波动方程为：波动方程为：波动方程为： 引入一引入一引入一引入一中间函数中间函数中间函数中间函数S S，使，使，使，使 代入上式得到代入上式得到代入上式得到

11、代入上式得到 得出得出得出得出 该微分方程的解为该微分方程的解为该微分方程的解为该微分方程的解为 ，a a、b b为复常数为复常数为复常数为复常数 则则则则 由由由由p p与与与与q q的关系得到的关系得到的关系得到的关系得到 C C1 1不影响不影响不影响不影响振幅和相位振幅和相位振幅和相位振幅和相位的分布，因此可以设的分布，因此可以设的分布，因此可以设的分布，因此可以设C C1 1=0=0。5.1 均匀介质中的高斯光束均匀介质中的高斯光束 将上述结果代入到将上述结果代入到将上述结果代入到将上述结果代入到 的表达式中有：的表达式中有：的表达式中有：的表达式中有： 满足该表达式的满足该表达式的

12、满足该表达式的满足该表达式的q q0 0有很多形式，但对其研究发现有很多形式，但对其研究发现有很多形式，但对其研究发现有很多形式，但对其研究发现纯虚数形式的纯虚数形式的纯虚数形式的纯虚数形式的q q0 0可以得到可以得到可以得到可以得到有物理意义的波，因此假设有物理意义的波，因此假设有物理意义的波，因此假设有物理意义的波，因此假设q q0 0具有如下表达形式：具有如下表达形式：具有如下表达形式：具有如下表达形式： 将将将将q q0 0的表达式带入（的表达式带入（的表达式带入（的表达式带入（1 1）式中，其指数的两项可以分别表示为：）式中，其指数的两项可以分别表示为：）式中，其指数的两项可以分别

13、表示为：）式中，其指数的两项可以分别表示为：5.1 均匀介质中的高斯光束均匀介质中的高斯光束 人为定义以下参数人为定义以下参数人为定义以下参数人为定义以下参数：将上述参数带入到光场的表达式，将上述参数带入到光场的表达式，整理可以得到整理可以得到光场的表达式：光场的表达式：经典公式经典公式-永远有用永远有用该式所表示的是该式所表示的是均匀介质中波动方程的一个解，称为基本高斯光束解均匀介质中波动方程的一个解，称为基本高斯光束解，其横向依赖关系其横向依赖关系只包含只包含r，而与方位角无关，而与方位角无关。那些与方位角相关的分布是。那些与方位角相关的分布是高阶高斯光束解。高阶高斯光束解。上面最后一个表

14、达式中的两项，上面最后一个表达式中的两项，前一项是振幅项，后一项是相位项前一项是振幅项，后一项是相位项。为什么是这个解？还有其他解吗？为什么是这个解？还有其他解吗？5.1 均匀介质中的高斯光束均匀介质中的高斯光束高斯分布：高斯分布：在统计学中更多的被称为在统计学中更多的被称为在统计学中更多的被称为在统计学中更多的被称为正态分正态分正态分正态分布布布布，它指的是服从以下概率密度，它指的是服从以下概率密度，它指的是服从以下概率密度，它指的是服从以下概率密度函数的分布：函数的分布：函数的分布：函数的分布：Johann Carl Friedrich Gauss (17771855) 5.1 均匀介质中

15、的高斯光束均匀介质中的高斯光束 高斯光束基本特性高斯光束基本特性高斯光束基本特性高斯光束基本特性 振幅分布特性振幅分布特性振幅分布特性振幅分布特性由高斯光束的表达式可以得到：由高斯光束的表达式可以得到：由高斯光束的表达式可以得到：由高斯光束的表达式可以得到： 在在在在z z截面上，其振幅按照高斯函数规律变化，如图所示。截面上，其振幅按照高斯函数规律变化，如图所示。截面上，其振幅按照高斯函数规律变化，如图所示。截面上，其振幅按照高斯函数规律变化，如图所示。将在光束截面内，振幅下降到最大值的将在光束截面内，振幅下降到最大值的将在光束截面内，振幅下降到最大值的将在光束截面内，振幅下降到最大值的1/e

16、1/e时，离光轴的距离时，离光轴的距离时，离光轴的距离时，离光轴的距离 定义为该定义为该定义为该定义为该处的光斑半径。处的光斑半径。处的光斑半径。处的光斑半径。由由 的的定义定义可以得到：可以得到：即即光束半径随光束半径随传输距离的变化规律为传输距离的变化规律为双曲线双曲线，在，在z=0z=0时有时有最小值最小值 ，这个位置被称为高斯光束的束腰位置。，这个位置被称为高斯光束的束腰位置。5.1 均匀介质中的高斯光束均匀介质中的高斯光束 等相位面特性等相位面特性等相位面特性等相位面特性 从高斯光束解的从高斯光束解的从高斯光束解的从高斯光束解的相位部分可以得到传输过程中的总相移相位部分可以得到传输过

17、程中的总相移相位部分可以得到传输过程中的总相移相位部分可以得到传输过程中的总相移为：为：为：为： 将上式同标准球面波的将上式同标准球面波的将上式同标准球面波的将上式同标准球面波的总相移总相移总相移总相移表达式比较：表达式比较：表达式比较：表达式比较： 可以得出结论，在近轴条件下高斯光束的等相位面是以可以得出结论，在近轴条件下高斯光束的等相位面是以可以得出结论，在近轴条件下高斯光束的等相位面是以可以得出结论，在近轴条件下高斯光束的等相位面是以R(z)R(z)为半径的球面，为半径的球面，为半径的球面，为半径的球面，球面的球面的球面的球面的球心位置随着光束的传播不断变化球心位置随着光束的传播不断变化

18、球心位置随着光束的传播不断变化球心位置随着光束的传播不断变化，由，由，由，由R(z)R(z)的的的的表达式表达式表达式表达式可知：可知：可知：可知： z=0z=0时，时，时，时， , ,此时的等相位面是平面；此时的等相位面是平面；此时的等相位面是平面；此时的等相位面是平面； 时，时，时，时， ，此时等相位面也是平面；此时等相位面也是平面；此时等相位面也是平面；此时等相位面也是平面； 时，时，时，时， ，f=R/2f=R/2原则，此时的原则，此时的原则，此时的原则，此时的等相位面半径最小等相位面半径最小等相位面半径最小等相位面半径最小； 5.1 均匀介质中的高斯光束均匀介质中的高斯光束 瑞利长度

19、瑞利长度瑞利长度瑞利长度-必须牢记！必须牢记！必须牢记！必须牢记！当当当当光束从束腰传播到光束从束腰传播到光束从束腰传播到光束从束腰传播到 处时，光束半径处时，光束半径处时，光束半径处时，光束半径 ，即，即，即，即光斑面积增大为最小值的两倍，这个范围称为瑞利范围光斑面积增大为最小值的两倍，这个范围称为瑞利范围光斑面积增大为最小值的两倍，这个范围称为瑞利范围光斑面积增大为最小值的两倍，这个范围称为瑞利范围，从束腰到该处，从束腰到该处，从束腰到该处，从束腰到该处的长度称为高斯光束的瑞利长度，通常记作的长度称为高斯光束的瑞利长度，通常记作的长度称为高斯光束的瑞利长度，通常记作的长度称为高斯光束的瑞利

20、长度，通常记作 。 在实际应用中，一般认为基模高斯光束在瑞利长度范围内是近似平行的，因此也在实际应用中，一般认为基模高斯光束在瑞利长度范围内是近似平行的，因此也在实际应用中，一般认为基模高斯光束在瑞利长度范围内是近似平行的，因此也在实际应用中，一般认为基模高斯光束在瑞利长度范围内是近似平行的，因此也把瑞利距离长度称为把瑞利距离长度称为把瑞利距离长度称为把瑞利距离长度称为准直距离。准直距离。准直距离。准直距离。从瑞利长度表达式从瑞利长度表达式从瑞利长度表达式从瑞利长度表达式 可以得出结论，高斯光束的束腰半径越大，其准直距离越长，准直性越好。可以得出结论，高斯光束的束腰半径越大，其准直距离越长，准

21、直性越好。可以得出结论，高斯光束的束腰半径越大，其准直距离越长，准直性越好。可以得出结论，高斯光束的束腰半径越大，其准直距离越长，准直性越好。5.1 均匀介质中的高斯光束均匀介质中的高斯光束 高斯光束的孔径高斯光束的孔径高斯光束的孔径高斯光束的孔径 从基模高斯光束的光束半径表达式可以得到截面上振幅的分布为：从基模高斯光束的光束半径表达式可以得到截面上振幅的分布为：从基模高斯光束的光束半径表达式可以得到截面上振幅的分布为：从基模高斯光束的光束半径表达式可以得到截面上振幅的分布为： 则其光强分布为：则其光强分布为：则其光强分布为：则其光强分布为： 考虑垂直于高斯光束传播方向上存在一无限大平面，以光

22、轴为中心开一考虑垂直于高斯光束传播方向上存在一无限大平面，以光轴为中心开一考虑垂直于高斯光束传播方向上存在一无限大平面，以光轴为中心开一考虑垂直于高斯光束传播方向上存在一无限大平面，以光轴为中心开一半径为半径为半径为半径为a a的孔，则透过该孔径的光功率与总功率的比值为左下式，通过计的孔，则透过该孔径的光功率与总功率的比值为左下式，通过计的孔，则透过该孔径的光功率与总功率的比值为左下式，通过计的孔，则透过该孔径的光功率与总功率的比值为左下式，通过计算可以得到不同孔径的功率透过率算可以得到不同孔径的功率透过率算可以得到不同孔径的功率透过率算可以得到不同孔径的功率透过率( (径向和圆周分别积分，求

23、面积公式径向和圆周分别积分，求面积公式径向和圆周分别积分，求面积公式径向和圆周分别积分，求面积公式）。）。）。）。在激光应用中，高斯光束总要通过各种光学元件，从上面推导可知，只要光在激光应用中，高斯光束总要通过各种光学元件，从上面推导可知，只要光在激光应用中，高斯光束总要通过各种光学元件，从上面推导可知，只要光在激光应用中，高斯光束总要通过各种光学元件，从上面推导可知，只要光学元件的孔径大于学元件的孔径大于学元件的孔径大于学元件的孔径大于3/23/2，即可保证高斯光束的绝大部分功率有效透过。，即可保证高斯光束的绝大部分功率有效透过。，即可保证高斯光束的绝大部分功率有效透过。，即可保证高斯光束的

24、绝大部分功率有效透过。孔径半径孔径半径a a/2/23/23/222功率透过比功率透过比39.3%39.3%86.5%86.5%98.89%98.89%99.99%99.99%5.1 均匀介质中的高斯光束均匀介质中的高斯光束 远场发散角远场发散角远场发散角远场发散角 从高斯光束的等相位面半径以及光束半径的分布规律可以知道，在瑞利从高斯光束的等相位面半径以及光束半径的分布规律可以知道，在瑞利从高斯光束的等相位面半径以及光束半径的分布规律可以知道，在瑞利从高斯光束的等相位面半径以及光束半径的分布规律可以知道，在瑞利长度之外，高斯光束迅速发散，定义当长度之外，高斯光束迅速发散，定义当长度之外，高斯光

25、束迅速发散，定义当长度之外，高斯光束迅速发散，定义当 时时时时高斯光束振幅减小到高斯光束振幅减小到高斯光束振幅减小到高斯光束振幅减小到最大值最大值最大值最大值1/e1/e处与处与处与处与z z轴夹角为高斯光束的远场发散角（半角）：轴夹角为高斯光束的远场发散角（半角）：轴夹角为高斯光束的远场发散角（半角）：轴夹角为高斯光束的远场发散角（半角）： （下一页推导）（下一页推导）（下一页推导）（下一页推导） 包含在全远场发散角内的光束功率占包含在全远场发散角内的光束功率占包含在全远场发散角内的光束功率占包含在全远场发散角内的光束功率占高斯光束总功率的高斯光束总功率的高斯光束总功率的高斯光束总功率的86

26、.5%86.5%高斯光束在轴线附近可以看成一种高斯光束在轴线附近可以看成一种高斯光束在轴线附近可以看成一种高斯光束在轴线附近可以看成一种非均匀高斯球面非均匀高斯球面非均匀高斯球面非均匀高斯球面波波波波，在传播过程中，在传播过程中，在传播过程中，在传播过程中曲率中心不断改变曲率中心不断改变曲率中心不断改变曲率中心不断改变，其振幅在横，其振幅在横，其振幅在横，其振幅在横截面内为一截面内为一截面内为一截面内为一高斯分布高斯分布高斯分布高斯分布，强度集中在轴线及其附近，强度集中在轴线及其附近，强度集中在轴线及其附近，强度集中在轴线及其附近，且等相位面保持且等相位面保持且等相位面保持且等相位面保持球面球

27、面球面球面。 前面推导均匀介质中的基模高斯光束解时曾假设振幅横向分布与方位前面推导均匀介质中的基模高斯光束解时曾假设振幅横向分布与方位角无关，如果考虑方位角的变化角无关，如果考虑方位角的变化 ，则算符可以表示为：，则算符可以表示为： 此时波动方程的特解为：此时波动方程的特解为： 代入波动方程，代入波动方程，分离变量分离变量后解得：后解得：5.3 均匀介质中的高阶高斯光束均匀介质中的高阶高斯光束 其解为厄米多项式其解为厄米多项式 仍为基本高斯光束解，仍为基本高斯光束解，所以总的解为所以总的解为 其中的其中的mm、n n为为x x、y y方向上的零点数，此时方向上的零点数，此时高阶高斯光束分布为厄

28、米高阶高斯光束分布为厄米- -高斯光束，表示为高斯光束，表示为TEMTEMmnmn模式。模式。5.3 均匀介质中的高阶高斯光束均匀介质中的高阶高斯光束5.3 均匀介质中的高阶高斯光束均匀介质中的高阶高斯光束 几种高阶高斯光束的光强分布图几种高阶高斯光束的光强分布图几种高阶高斯光束的光强分布图几种高阶高斯光束的光强分布图TEM0TEM1TEM2厄米Hm(x)Hm(x)FIH2m(x)F25.3 均匀介质中的高阶高斯光束均匀介质中的高阶高斯光束5.2 类透镜介质中的高斯光束类透镜介质中的高斯光束 类透镜介质中类透镜介质中类透镜介质中类透镜介质中k2k200，此，此，此，此时时的的的的简简化波化波化

29、波化波动动方程方程方程方程为为： 其解仍其解仍其解仍其解仍可以采用与均匀介质中相类似的处理方可以采用与均匀介质中相类似的处理方可以采用与均匀介质中相类似的处理方可以采用与均匀介质中相类似的处理方式得到，最终可以求出：式得到，最终可以求出：式得到，最终可以求出：式得到，最终可以求出：5.2 类透镜介质中的高斯光束类透镜介质中的高斯光束 类透镜介质中的基本高斯光束解仍然可以采取类透镜介质中的基本高斯光束解仍然可以采取类透镜介质中的基本高斯光束解仍然可以采取类透镜介质中的基本高斯光束解仍然可以采取的形式，如果我们只讨论其中包含的形式，如果我们只讨论其中包含的形式，如果我们只讨论其中包含的形式，如果我

30、们只讨论其中包含r r2 2的指数部分：的指数部分：的指数部分：的指数部分：仍取仍取仍取仍取 ，则，则，则，则q(z)q(z)可以表示成：可以表示成：可以表示成：可以表示成： 将将将将(2)(2)式代入式代入式代入式代入(1)(1)式可以得到：式可以得到：式可以得到：式可以得到：其中其中其中其中(z)(z)(z)(z)是光斑半径，是光斑半径，是光斑半径，是光斑半径，R(z)R(z)R(z)R(z)是等相位面曲率半径，其物理意义同均是等相位面曲率半径，其物理意义同均是等相位面曲率半径，其物理意义同均是等相位面曲率半径，其物理意义同均匀介质中的基本高斯光束解相同，然而数学表达式比较复杂。匀介质中的

31、基本高斯光束解相同，然而数学表达式比较复杂。匀介质中的基本高斯光束解相同，然而数学表达式比较复杂。匀介质中的基本高斯光束解相同，然而数学表达式比较复杂。5.2 类透镜介质中的高斯光束类透镜介质中的高斯光束 前面得到了前面得到了前面得到了前面得到了类透镜介质中高斯光束参数类透镜介质中高斯光束参数类透镜介质中高斯光束参数类透镜介质中高斯光束参数q(z)q(z)的复数表达形的复数表达形的复数表达形的复数表达形式：式：式：式： q q0 0是由边界条件求出的光束初始条件，将上式同前面得到的是由边界条件求出的光束初始条件，将上式同前面得到的是由边界条件求出的光束初始条件，将上式同前面得到的是由边界条件求

32、出的光束初始条件，将上式同前面得到的光线光线光线光线矩阵矩阵矩阵矩阵比较：比较：比较：比较：本次重点本次重点-三大特点三大特点特点之一：光束描述特点之一：光束描述特点之一：光束描述特点之一：光束描述- -波动方程（通式）波动方程（通式）波动方程（通式）波动方程（通式）+ +特征值（半径、瑞利）特征值（半径、瑞利）特征值（半径、瑞利）特征值（半径、瑞利）将在光束截面内，振幅下降到最大值的将在光束截面内，振幅下降到最大值的1/e1/e时，时，离光轴的距离离光轴的距离 定义为该处的光斑半径。定义为该处的光斑半径。当光束从束腰传播到 处时，光束半径 ，即光斑面积增大为最小值的两倍，这个范围称为瑞利范围

33、，从束腰到该处的长度称为高斯光束的瑞利长度，通常记作 。 特征之二：光束类透镜传输，特征之二：光束类透镜传输，ABCD特征值三：光束模式特征值三：光束模式特征值三：光束模式特征值三：光束模式- -厄米高斯厄米高斯厄米高斯厄米高斯课后作业课后作业-不提交不提交1.1.1.1.名词解释：名词解释：名词解释：名词解释： 光束半径，瑞利长度，远场发散角。光束半径，瑞利长度，远场发散角。光束半径，瑞利长度，远场发散角。光束半径，瑞利长度，远场发散角。2.2.2.2.非常重要必考题：画出厄米高斯光束模式非常重要必考题：画出厄米高斯光束模式非常重要必考题：画出厄米高斯光束模式非常重要必考题：画出厄米高斯光束

34、模式TEMmnTEMmnTEMmnTEMmn图样。图样。图样。图样。3.3.3.3.某二氧化碳激光器，采用平凹腔，凹面镜的某二氧化碳激光器，采用平凹腔，凹面镜的某二氧化碳激光器，采用平凹腔，凹面镜的某二氧化碳激光器，采用平凹腔，凹面镜的 ， 腔长腔长腔长腔长 。试给出它所产生的高斯光束的腰斑半径。试给出它所产生的高斯光束的腰斑半径。试给出它所产生的高斯光束的腰斑半径。试给出它所产生的高斯光束的腰斑半径 的的的的大小和位置，该高斯光束的大小和位置，该高斯光束的大小和位置，该高斯光束的大小和位置，该高斯光束的 及及及及 的大小。的大小。的大小。的大小。4.4.4.4.某高斯光束腰斑大小为某高斯光束腰斑大小为某高斯光束腰斑大小为某高斯光束腰斑大小为 ， 。求与束。求与束。求与束。求与束腰相距腰相距腰相距腰相距 、 、 远处的光斑半径远处的光斑半径远处的光斑半径远处的光斑半径 及波前及波前及波前及波前曲率半径曲率半径曲率半径曲率半径 。