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1、第八章第八章 系统的状态变量分析系统的状态变量分析8.1 引言引言8.2 连续时间系统状态方程的建立连续时间系统状态方程的建立8.3 连续时间系统状态方程的求解连续时间系统状态方程的求解8.4 离散时间系统方程的建立离散时间系统方程的建立8.5 离散时间系统状态方程的求解离散时间系统状态方程的求解8.7 系统的可控性和可观性系统的可控性和可观性 8.1 引言引言一一. .经典理论的缺陷经典理论的缺陷( (局限性局限性) ) 1.1.建立在输入输出模型之上的，着眼于系统的外部特性，不能揭示系统的内建立在输入输出模型之上的，着眼于系统的外部特性，不能揭示系统的内 部特性。部特性。2.2.适于单输入
2、单输出系统。适于单输入单输出系统。3.3.经典线性理论的系统函数概念不能用来处理非线性，时变系统。经典线性理论的系统函数概念不能用来处理非线性，时变系统。二二. .现代理论的优点现代理论的优点1.1.引入描述系统内部特性的状态变量，建立状态方程，可以揭示系统的内部引入描述系统内部特性的状态变量，建立状态方程，可以揭示系统的内部 特性。特性。2.2.适用于多输入适用于多输入- -多输出系统。多输出系统。3.3.可用来描述时变系统，非线性系统。可用来描述时变系统，非线性系统。4.4.易于利用计算机求解。易于利用计算机求解。三三. .本章主要内容本章主要内容1.1.状态方程的普遍形式。状态方程的普遍
3、形式。2.2.连续时间系统状态方程得建立及求解。连续时间系统状态方程得建立及求解。3.3.离散时间系统状态方程得建立及求解。离散时间系统状态方程得建立及求解。4.4.系统的可控性和可观性。系统的可控性和可观性。四四. .简单实例：简单实例：串联谐振电路。串联谐振电路。 1.1.只关心激励只关心激励e(te(t) )与电容两端电压与电容两端电压 模型模型之间的关系列输入输出之间的关系列输入输出 2. 这些量的变化清况，对这个电路会有更全面了解，导数是描述一个变量随另一个变量变化情况的物理量。所以只要能得到，的方程，就可以知道变化情况。 这是以和作为变量的一阶微分联立方程组。的作用下，是一些随时间
4、变化的量，若知道若已知的行为。和这种用一阶联立方程组来描述系统的方法称为状态变量或状态空间法。写成标准矩阵的形式： 状态方程 输出方程的初始情况及e(t)的情况，即可确定电路五、一些基本概念 1.状态：指系统的运动状态，只表示系统的一组最少变量。只要知道 是这组变量及 时的输入，那么就能确定系统在任何时间 的行为。一般取。系统为n阶系统，就有n个状态。2.状态变量：能够表示系统状态的那些变量。n阶系统有n个状态变量。对电路系统来说，通常选电容两端电压和经电感电流为状态变量。3、状态向量(矢量)：将n阶系统的n个状态变量 ，=排成一个n*1阶的列变量x(t)，即：每两个状态都为状态向量的一个分量
5、，或称坐标。4、状态空间：以n个状态变量为坐标轴而构成的n维空间称为状 态空间。任意状态x(t)都可用状态空间中的一个点来表示。,，则状态向量状态空间是由, 5、状态轨迹：在状态空间中状态矢量随时间变化而描出的路径。 例：若有两个状态为轴构成的二维空间。6、状态方程：一般形式 特点：每一个状态变量的导数是所有状态变量和输入激励信号的函数。每一个微分方程中只包含有一个状态变量对时间的导数。连续系统的状态方程用状态变量的一阶微分联立方程组描述。说明：系统有m个输入，r个输出。是多输入多输出系统。 有个k状态变量，为k阶系统。 表示函数关系。，写成标准矩阵形式 A 简写为：=A A：系统矩阵 B：控
6、制矩阵 注：状态方程把状态变量和激励信号联系起来。B e(t)+ Be(t)7、输出方程：一般形式:说明：系统有m个输入，r个输出。k个状态变量。 ，表示函数关系，可为线性，也可为非线性。 输出信号是状态变量和输入信号的函数。输出方程是用来从已知激励向量e(t)与状态向量求系统响应向量r(t)的矢量代数方程。若系统为LTI系统，输出方程的标准矩阵形式。 C D e(t)简写为：=C +De(t) C：输出矩阵 状态方程与输出方程共同称为系统方程，这两个方程完整描述了系统特性。8、系统方程状态方程： 输出方程： r(t) =C+De(t)状态变量：选积分器的输出 连续：电容、电感、离散、 延时器
7、的输出 信号流图是输入结点，只有输出。是输出结点，只有输入。混合结点，既有输入又有输出一.信号流图：用一些点和支路来描述系统。 点：称为结点，表示系统中变量或信号的点。 支路：带箭头的线段，表示信号的传输路径、传输方向。二.信号流图的运算1.支路表示一个信号与另一个信号的函数关系。每一条支路 相当于一个乘法器 2.结点值：把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到 所有输出支路。 3.串联支路的总增益等于所有各支路增益的乘积。 4.并联支路的总增益等于所有各支路增益的和。 增益两个因子相加，可用并联支路来表示。增益两个因子相乘，可用串联支路来表示。 5.流图转置把流图中各支路的信号传输方向给
8、以调转，同时把输入输出结点对调。说明：流图转置后，转移函数保持不变 信号流图形式不唯一。画转置流图： 把箭头方向调转。 把输入输出结点对调，其他中间结点可选用新的变量表示。三.信号流图的梅森增益公式(用来求输入输出间的转移函数)=1-所有环路的增益之和+两两互不接触环路增益 乘积之和-每三个互不接触环路增益乘积和+称为流图的特征行列式。分母与环路有关。 分子：有n条前向通路，就有n个因子相加，与前向通路有关。M：表示从输入到输出之间前向通路的条数。：第k条前向通路的增益。 ：除去与第k条前向通路相接触的环路外，余下的特征 行列式(余因子)在环路的增益应全部去掉。中包含与第k条前向通路相接触的前
9、向通路：从输入结点到输出结点方向的通路上，通过任何结点 不等于一次的全部路径。环路：通路的终点就是通路的起点，并且与任何其他结点相 交不等于一次。不接触环路：两环路之间没有任何公共结点 例：用梅森公式求系统的转移函数。 解：1.求找所有的环路 在4个环路中找两两互不接触的环路。 若找不到两两互不接触的环路，即意味着所有环路都互相接触。 在4个环路中找每三个互不接触的环路。 （无） 对负反馈回路，分母中都是相加关系。2.求 相接触的环路剩下的部分这4个环路都和前向通路相接触)找前向通路，只有一条(除去与这条前向通路分析：只有一条前向通路 分子只有一项 若所有环路都互相接触，则第三项(分母)没有，
10、即所有环路都有一个公共结点。由于是负反馈 分母是1+目的：是把系统函数H(s)表示成信号流图形式，由信号流图来写出系统的状态方程和输出方程。四.由系统函数H(s)画信号流图 例： 把分母画成标准形式1+分析：分子只有一项 只有一条前向通路 分母为，为负反馈，只有一个反馈回路。 注：若有反馈信号与输入信号叠加时，则可以激励(输入)结点引出一条传输函数为1的支路。若输出端有反馈信号流出时，在流图中信号进入响应结点的地方可加一条传输函数为1的支路。例： 解：画成标准形式： 分母：1+ 分子：m+1项的和，由m+1条前向通路组成。是由负反馈构成，可看成是n个环路组成且n个环路互相接触。积分环节：每一个
11、用一条支路来表示。先画出先画出n n个积分器。个积分器。 第一个积分器输出用第一个积分器输出用表示。表示。 第二个积分器输出用第二个积分器输出用表示。表示。 例：例： 练习练习: : 8.28.2连续时间系统状态方程的建立连续时间系统状态方程的建立一一. .由系统的输入由系统的输入- -输出方程或流图建立状态方程输出方程或流图建立状态方程（按（按H(sH(s) )一般一般 表达式画流图）表达式画流图）拉式变换求拉式变换求H(sH(s) ) 把H(s)化成标准形式分母：1+表示负反馈，有k项相加，表示有k个环路且互相接触。画信号流图分子：k+1项，有k+1条前向通路取状态变量：取每一个积分器的输
12、出作为状态变量，k阶系统有k个状态变量。（选状态变量时从输出端开始写 ）列状态方程，输出方程。 写成标准矩阵形式友矩阵特点：特点：A A系数矩阵，最后一行是微分方程齐次方程系数特征方程系数矩阵，最后一行是微分方程齐次方程系数特征方程 系数系数) )按倒序重排遣加负号。友矩阵同一系统的状态方程按倒序重排遣加负号。友矩阵同一系统的状态方程 可能不同，把流图转置可获得另一状态方程。可能不同，把流图转置可获得另一状态方程。对同一系统而言，状态变量选择并非唯一的。对同一系统而言，状态变量选择并非唯一的。例：例：解：解：化成标准形式化成标准形式画信号流图列状态方程和输出方程选择状态变量，由输出往输入端写
13、写成标准形式写成标准形式 分母因式分解 部分分式展开1.并联形式的信号流图(并联模拟) 二.将系统函数分解建立状态方程根据分母因式分解和部分分式展开形式可画出串联和并联形式的流图。有三个因子相加，表示成并联支路。 列状态方程和输出方程选状态变量 优点：各状态之间相互独立，便于分析各种因素对状态的影响，便于分析系统的稳定性。特点：A系数矩阵为对角阵，对角元素为系统的特征根。2.建立串联形式的状态方程(信号流图)（串联模拟） 例: 有三个因子相乘，表示成并联支路。 选状态变量 特点：系数矩阵是上三角阵，对角线元素为系统特征根。 同一系统得到三种状态方程，输出方程，这三种方 程之间就有一定的联系。这
14、种关系就是相似关系（任何矩阵都和约当型矩阵相联系）例：H(s)分母分子中出现重根情况 解：部分分式展开 画信号流图选状态变量 写成标准形式特点：部分分式展开具有重根时，则A矩阵成为约当型矩阵。 对角线元素为系统特征根补充：约当型矩阵：约当块：对角线元素相同 或其它元素都为0 称为约当型矩阵。约当型矩阵：由这样的约当型构成的分块对角阵。 8.3 连续时间系统状态方程的求解 求解状态方程方法：变换域方法：手算 时域求法：计算机求解 两边取拉氏变换： 整理得：一.用拉普拉斯方法求解状态方程左乘 求逆变换： 零输入响应 零状态响应 关键求： 补充伴随阵：把诸元素 的代数余子式所组成n阶方阵。代数余子式
15、：叫伴随阵把 所在第i行和第j行元素去掉，余下的元素按原来排法构成n-1阶行列式叫余子式 例：已知状态方程和输出方程 起始条件，求r(t). 解： 1.矩阵指数 无穷级数 A:矩阵kk 也是kk方阵性质： 二.用时域法求解状态方程 2.推导时域解的形式 把(1)式两边左乘 两边积分：左乘： 3. 与观察时域解和变换域解，可得到 的关系，是一对拉普拉斯变换对。 ：状态转移矩阵 反应了系统状态变化的本质。：特征矩阵。 从，若e(t)=0可看到系统从转移到任意状态。4.求值 在时域求解，关键求状态转移矩阵化对角阵求：把A化成对角阵，则 化为有限项之和求解 ，用开莱-哈密顿定理开莱-哈密顿定理： 方阵
16、：即可利用以下幂次的各项之和表示 矩阵A的特征值代人上式中的A之后，方程仍满足平衡，可求 系数 利用把无限和化成有限项之和 方阵，所以可把次数高于k次的项化为 幂阿次的各项之和。各系数都是t的函数利用求系数:把A的特征值代人A，上式仍相等。 解联立方程，可求特征根有重根：A的特征根有m阶重根，则重根部分方程。 例：已知求解：1.按A的维数，把写成有限和形式。（1）2.求，把A的特征值代入（1），求A的特征值：A的次数写到1由于H(s)在零状态下得到的 即为H(s)分母的特征多项式为系统的特征矩阵三.由状态方程求系统函数H(s)8.4 离散时间系统方程的建立 对于离散系统状态方程的建立和连续时间
17、系统相同，关键是用延时器代替积分器。连续时间系统的状态方程表现为一阶微分联立方程组。离散时间系统的状态方程表现为一阶差分联立方程组。多用前向差分。状态变量常取延时单元的输出。一.状态方程的一般形式 状态方程对LTI标准矩阵形式：二.由系统的输入、输出方程建立状态方程 1.由差分方程 求H(z) 2.把H(z)化成标准形3.画信号流图 4.选状态变量 5.写状态方程、输出方程 6.写成标准形式 例：y(n+2)+3y(n+1)+2y(n)=2x(n+1)+x(n)解：1.求H(z)2.把H(z)化成标准形式 3.画信号流图 4.选状态变量。选延时器的输出 5.写成标准形式 1. H(z)部分分式
18、分解 2.画并联信号流图 3.选状态变量 4.写状态方程、输出方程三.把H(z)因式分解，部分分式分解建立1.部分分式分解建立并联流图 例： 解： 2.H(z)因式分解 例：解： 8.5 离散时间系统状态方程的求解 包括时域和变换域解法一.矢量差分方程的时域求解 应用迭代法：起始状态为 对于任意n值，当可归结为即 若则 零输入 零状态 ：离散系统的状态转移矩阵 二. 的计算 利用开莱-哈密顿定理，若 求系数，利用A的特征值求项不相同根A有 若A有重根为m阶重根，求m-1阶导数。 例：已知，求解：求A的特征值 (二重)三.离散系统状态方程的z变换解。 两边取z变换 整理得： 取逆变换注：8.7
19、8.7 系统的可控性和可观性系统的可控性和可观性 系统的可控性和可观性是系统的两个重要概念，这两个系统的可控性和可观性是系统的两个重要概念，这两个概念是卡尔曼在概念是卡尔曼在19601960年首次提出的。这两个概念的提出促年首次提出的。这两个概念的提出促使系统分析与设计的指导原则发生了重大变革。使系统分析与设计的指导原则发生了重大变革。( (以前通过以前通过零极点配置零极点配置) )出现了最优估计理论。出现了最优估计理论。一一. .可控制性和可观测性定义可控制性和可观测性定义1.1.可控性可控性( (能控性能控性) )：当系统用状态方程描述时，给定系统的任意当系统用状态方程描述时，给定系统的任
20、意 初始状态，可以找到容许的输入量初始状态，可以找到容许的输入量( (即控制矢量即控制矢量) )，在有限时间，在有限时间 之内把系统的所有状态引向状态空间的原点之内把系统的所有状态引向状态空间的原点( (即零状态即零状态) )。那么。那么系统是完全可控的系统是完全可控的不可控性：如果只对部分状态变量可以做到这一点，则不可控。推导可控性判据：若可以在有限时间间隔内之内通过控制量(输入)e(t)的作用。把任意起始状态引向零状态 即 (1)=0(1)给定，A,B已知 。求e(t).令令求即上述非齐次方程组有解即为非奇异阵，则有满秩满秩。 有唯一解，则系数行列式 这时可找到即可找到e(t)，这是系统完
21、全可控的充要条件。可控阵，满秩，系统完全可控。可控阵满秩判别法: 2.可观性定义，可观阵满秩判别法可观性定义：若果系统用状态方程描述，在给定控制(输入)后，能在有限时间间隔内 ( )根据系统输出唯一地确定系统的所有起始状态。则称系统完全可观。 若只能确定部分起始状态，则称系统不完全可观。 在讨论可观性问题时，控制作用e(t)给定，第二项是确知的。 不妨令e(t)=0因而需要在时间间隔内，根据r(t)唯一确定必须使矩阵可观阵判别法：给定系统时，只要N阵满秩，协调完全可观。 判别系统的可控，可观性，转化求M,N阵的秩的问题。满秩，可观阵控制性：找一个合适的输入是从初始状态转移到零状态可观性：通过r
22、(t)是否能求出初始状态 例：讨论系统的可观性，可控性。解：1.可控性 满秩 A满秩满秩，系统完全可控。 两行不互相成比例，满秩 初等变换化成行阶梯形 2.可观性： rankN=2 满秩，系统完全可观性。二.单输入，单输出系统可控性与可观性，A矩阵约当规范型判据 。 利用M阵和N阵满秩的方法可判系统的完全可控，完全可观测。若不满秩，则系统不完全可控，不完全可观测。即有一些状态不能控，不能观测。但是到底哪些状态能控(能观)，哪些状态不能控(不能观)，则满秩判别法没有给出说明。介绍判别可控，可观的另一形式的依据。例：从直观上判系统可控性，可观性。 从流图上看： ：它和输入无关，不能控。和输出r(t
23、)相联系，所以可从输出 观测出情况，可观：和输入、输出相连。所以可控、可观。：和输入相连，能控。和输出不相连，不能观测。 方法二： 解：列状态方程： A矩阵为对角阵，各状态变量的作用相互独立，因而可以逐个分析各C中的0元素对应不可观测元素。的可控和可观性若A为对角阵，B中的0元素对应不可靠因素。C与每个约当块第一列相应的那些列不含零元素，则系统完全可观。LTI系统可控性另一判据是：设给定系统具有两两相异的特征值。则把A经非奇异变换成对角阵形式，则此形式中的B不包含零元素，则状态完全可控。LTI系统可观性另一判据是：两两相异特征值，充要条件。A对角化形式中，C不包含零元素。特征值具有重根：A矩阵 将呈现约当归范型。B与每个 约当块最后一行相应的那些行不含零元素，则系统完全可控。特征值-2，-3所对应B,C都未出现零值，所以可控可观。特征值-1，与约当块最后一行相应，B元素为1，因而可控C元素为，因而可观所以完全可控。
