平面连杆机构的运动分析课件

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1、机构分析与综合的解张纪元编著二二七年八月七年八月上海海事大学研究生重点课程机构分析与综合机构分析与综合的解张纪元编著人民交通出版社二七年八月 上海海运大学专用 机构分析与综合的解第一章 平面连杆机构的运动分析 第二章 空间连杆机构的运动分析 第三章 机械手的位姿分析 第四章 机构的运动误差分析 第五章 机构的动力分析 第六章 平面机构的平衡第七章 机器人机构的动力分析 第八章 平面凸轮机构的设计与反求设计 第九章 机构的运动综合 附录 非线性代数方程组的求解方法 上海海运大学专用 第一章第一章 平面连杆机构的运动分析平面连杆机构的运动分析11 坐标变换及坐标变换矩阵坐标变换及坐标变换矩阵在对机

2、构进行分析与综合时，需要用到各种各样的坐标变换。本节概述各种常用的坐标变换关系 。一、共原点笛卡儿坐标系间的旋转变换一、共原点笛卡儿坐标系间的旋转变换1、任意两坐标系间的旋转变换矩阵如图1-1所示， 和 为两共原点的笛卡儿坐标系。设M点在两坐标系的坐标列阵分别为 和 若以 、和 表示坐标轴 、 和 （l=1,2）上的单位矢量，则M点的向径 可表示为：图1-1上海海运大学专用 分别以 、和 点乘上式，则可得： 若以两坐标轴间的方向余弦表示上式中相应的两单位矢量的点积，则上式可用矩阵表示为： （1-1）上式可简记为：（1-2）上海海运大学专用 其中， 代表式（1-1）中的（33）矩阵，称为坐标系

3、到坐标系 的旋转变换矩阵。由 、和 （l=1,2）为互相正交的单位矢量及方向余弦的定义，易知旋转变换矩阵 为一正交矩阵。因此，坐标系 到坐标系 的旋转变换矩阵。即：（1-3）2、绕坐标轴的旋转变换矩阵1）绕x轴的旋转变换矩阵如图1-2所示，设坐标系 是将坐标系 绕x轴旋转角而得，即对着x轴的正向看，将 平面沿逆时针方向绕x轴旋转角 ，得 平面。根据式（1-2），易知式中， 和 分别是任一点M在 坐标系和坐标系 中的坐标列阵， 为绕x轴转 角后从新坐标系 到老坐标系 的旋转变换矩阵，其表达式为：上海海运大学专用 2）绕y轴的旋转变换矩阵如图1-3所示，若将 坐标系绕其y轴旋转 角，得新坐标系 ，

4、仿上可得绕y轴转 角后，从新坐标系 到老坐标系 的旋转变换矩阵 ，其表达式为（1-4）图1-2图1-3（1-5）上海海运大学专用 3）绕z轴的旋转变换矩阵如图1-4所示，若将坐标系 绕其z轴旋转 角，得新坐标系 ，则新坐标系 到老坐标系 的旋转变换矩阵为 (1-6)图1-4图1-53、以欧拉角表示的旋转变换矩阵如图1-5所示，设坐标平面 与 的交线（即节线）为ON。对着轴正向看，在 平面内轴 沿逆时针方向转到与节线ON重合时的角度 称为进动角；对着节线ON的正向看，在 平面内 轴 沿逆时针方向转到与轴 重合时的角度 称为章动角；对着 轴正向看，在 平面内节线 上海海运大学专用 ON沿逆时针方向

5、转到与轴 重合时的角度 称为自转角。 、 和 统称为坐标系 对坐标系 的三个欧拉角。将坐标系 依次作三个运动：绕 轴转 角、绕节ON线转 角和绕 轴转 角即得坐标系 。因此，可得欧拉角表示的旋转变换矩阵 的表达式为其中， 中的各元素为：（1-7）（1-8）上海海运大学专用 根据上式，若已知欧拉角 、和 ，则可求得旋转变换矩阵 ；若已知 ，则可进一步求得坐标系 对坐标系 的三个欧拉角 、 和 。应当指出的是：由于一个矢量有其起点和终点，因此一个矢量的坐标表达式仅与坐标轴的方向有关，而与坐标系的原点无关。也即：矢量的坐标变换，只需用到旋转变换矩阵。二、不共原点笛卡儿坐标系间的坐标变换二、不共原点笛

6、卡儿坐标系间的坐标变换如图16所示，设M点在坐标系 和 中的坐标列阵分别为 和 ，原点 在坐标系 中的坐标列阵为 ，坐标系 到坐标系 的旋转变换矩阵为 ；若以 为原点，引进与 平行的坐标系 ；则M点在 坐标系中的坐标列阵为 因 ，故得：图1-6（1-9）上海海运大学专用 例例1.1 图17所示的楔块为一五面体，其6个顶点 在与楔块相固联的坐标系 中的坐标如图所示。在楔块未运动时，楔块坐标系 与固定坐标系 相重合。若将楔块先绕 轴转 ，然后再绕 轴转 ，最后沿 轴正向平移4个单位。求经上述3个运动后，楔块6个顶点 在固定坐标系 中的坐标。解解：经2个转动后的楔块坐标系 的位置分别记为 和 ，则由

7、式（16）和式（14）知，相邻两坐标系间的旋转变换矩阵分别为：图1-7上海海运大学专用 楔块沿 （即 ）轴正向平移4个单位后，原点 在固定坐标系 中的坐标为 。因此由式（19）知，经3个运动后的楔块坐标系 到固定坐标系 的坐标变换矩阵为： 即以楔块6个顶点 在楔块坐标系 中的坐标代入上式，即得所求：上海海运大学专用 三、齐次坐标及其变换三、齐次坐标及其变换1、齐次坐标不同时为零的任意四个数 称为三维空间点的齐次坐标。一个点的齐次坐标 与该点的直角坐标 间的关系为：（1-10）关于齐次坐标，下面几点值得注意：1）齐次坐标不是单值的。只要 ，齐次坐标 和 均表示三维空间中的同一个点。2）只有当 时

8、，齐次坐标 才能确定三维空间中的一个点。3）原点的齐次坐标为 ；而 、 和 分别表示Ox轴、Oy轴和Oz轴上的无穷远点，也即表示Ox轴、Oy轴和Oz轴。4）为简便起见，在机构学中，一个点的齐次坐标的第4个分量特取为 ，于是点 的齐次坐标为 。5）一个矢量的齐次坐标的第4个分量为 ；即三维矢量 的齐次坐标为 。这是因为一个矢量的齐次坐标是其终点和起点的齐次坐标之差的原因。上海海运大学专用 2、齐次坐标变换矩阵参见图1-6，若记M点在坐标系 和中的齐次坐标分别 为 和，则根据式（1-9）可得：式中，称为坐标系 到坐标系 的齐次坐标变换矩阵。 为一个（44）非奇异矩阵。其（33）的主子矩阵为式（1-

9、1）中的旋转变换矩阵 ，而第4列实为原点 对坐标系 的齐次坐标列阵。（111） （1-12） 上海海运大学专用 易知，坐标系 到坐标系 的齐次坐标变换矩阵为即：3、D-H矩阵在空间机构的分析与综合中，广泛地应用着一种特殊的齐次坐标变换矩阵，即D-H矩阵。图1-8所示的二个坐标系的配置特点是： 轴是 轴和 轴的公垂线， 和 是二个垂足。为表达两坐标系间的齐次坐标变换关系，需用到4个参数： 、 、 和 。它们的含意为： （1-13）（1-14） 图1-8上海海运大学专用 轴到 轴的有向距离， ；当有向线段 的方向与 轴正向相同时， 为正值；反之，为负值； 轴到 轴的有向夹角；即对着 轴正向看， 轴

10、绕 轴沿逆时针方向转到与 轴平行时的角度； 轴到 轴的有向距离， ；当有向线段 的方向与 轴正向相同时， 为正值；反之， 为负值； 轴到 轴的有向夹角；即对着 轴正向看， 轴绕轴沿逆时针方向转到与 轴平行时的角度。在上述4个参数中， 和 描述了异面轴线 和 的几何关系，而 和 则描述了异面轴线 和 的几何关系。根据4个参数的定义，坐标系 （ 轴略画，由右手法则定，下同）可视作坐标 系 经二个螺旋运动所得。一个是 轴沿 轴的螺旋运动（ ， ）；另一个是 轴沿 轴的螺旋运动（ ， ）。因此，坐标系 到坐标系 的齐次坐标变换矩阵为上海海运大学专用 展开上式，可得：(1-15)式中， 是 中的（33）

11、主子矩阵，也即j坐标系到i坐标系的旋转变换矩阵；而 为原点 在i坐标系中的坐标列阵。(1-16)上海海运大学专用 由式（1-13）易知，i 坐标系到j 坐标系的齐次坐标变换矩阵(D-H矩阵)为：(1-17)四、刚体作空间运动时的位移矩阵四、刚体作空间运动时的位移矩阵在进行空间机构的刚体导引综合时，必然要涉及到刚体空间位置间的位移描述。如图1-9所示，当刚体从位置1运动到位置j时，刚体上的两点P和Q分别从P1、Q1运动到Pj、Qj位置。 设 为固定参考系（简称为0坐标系），与刚体相固联的某一动坐标系在位置1时处于 位置（简称为1坐标系）；在位置j时处于 位置（简称为j坐标系）；并设1坐标系和0坐

12、标系平行。若以 表示j坐标系到i坐标系的旋转变换矩阵， 为正交矩阵，其中， C01=C10=I（单位矩阵）； 上海海运大学专用 以 和 表示点 和 在k坐标系中的坐标列阵，因 ，于是有：根据刚体的性质知： 代入上式，可得：(1-18)若以齐次坐标表示上式，则得：(1-19)其中，(1-20)图1-9上海海运大学专用 称为刚体从位置1移动到位置j的位移矩阵。此处， 并不表示1坐标系到j坐标系的DH矩阵。而是在已知 、 、和j坐标系到1坐标系的旋转变换矩阵 的条件下，根据式（1-19）可计算得刚体内任一点Q运动到j位置时的位置坐标列阵 。五、绕任意轴转动的坐标变换矩阵五、绕任意轴转动的坐标变换矩阵

13、如图1-10所示，当一矢量 绕轴 转 角后，到达 位置；其中，为转轴上的单位矢量， 为对着 的正向看， 绕 沿逆时针方向转过的角度；现求 的表达式。若分别以 ， 和 为坐标轴正向，建立图示的坐标系 ，并 设的模为r， 和 的夹角为 ，则 、 和 轴上的各单位矢量分别为： 图110 上海海运大学专用 易知， 在 坐标系中的坐标为 于是，将i、j和k的表达式代入上式，整理可得：(1-21)上式是 关于 、 和 的矢量表达式。为求 的坐标表达式，设在某个坐标系中， 的坐标列阵为 ，单位矢量的坐标列阵为 ，则由式（1-21）可得 的坐标列阵 为(1-22)式中， 是 坐标的反对称矩阵， 为转动坐标变换

14、矩阵；（1-23）上海海运大学专用 展开式（1-22），可得 的三个坐标分别为（1-24）比较式（1-22）和式（1-24），易知转动坐标变换矩阵为（1-25）从式（1-22）知，只要将一个矢量转动前的坐标列阵 左乘转动坐标变换矩阵 后，即得转动后的矢量在同一坐标系中的坐标列阵 。上海海运大学专用 12 封闭向量多边形法封闭向量多边形法平面机构运动分析的解析方法有封闭向量多边形法、复数法和矩阵法等，但最常用的方法是封闭向量多边形法和复数法。本节重点介绍封闭向量多边形法。平面机构在其任一确定的运动位置，其构形为一封闭的平面几何图形。在排除了虚约束和局部自由度后，根据独立封闭形建立的位置方程个数恰

15、好等于平面机构中待定的位置变量个数，求解机构的位置方程组，可得从动件的位置，进而可进行速度和加速度分析。这就是平面机构运动分析的基本原理。一、独立封闭形个数一、独立封闭形个数在根据机构示意图选出的k个封闭形中，若k=1，则该封闭形是独立的；若k=2，如果在第2个封闭形中，出现第1个封闭形中未出现的新构件，则称此2个封闭形是相互独立的；否则,独立封闭形个数仍为1；一般地，设已得i个独立封闭形，如果在一个未经判断的封闭形中，出现前i个独立封闭形中未出现的新构件上海海运大学专用 则此i1个封闭形为互相独立的封闭形；由此可在个封闭形中挑选出机构的一组独立封闭形。设其包含的独立封闭形个数为l，则根据图论

16、中的欧拉公式可知（1-26）式中，p为机构的运动副个数，N为机构中的构件总数。二、用封闭向量多边形法建立机构的位置方程组二、用封闭向量多边形法建立机构的位置方程组封闭向量多边形法建立平面机构位置方程组的主要步骤如下：1）取定与机架固联的直角坐标系（一般只画x轴，y轴由右手法则定）；用矢量代表构件或封闭形的边（若构件为连架杆，则其代表矢量起自机架）；标注各矢量的位置角（为x轴正向沿逆时针方向转到与该矢量指向相一致时的角度）；2）针对每个独立封闭形，写出l个矢量封闭方程；3）将每个矢量封闭方程向x轴和y轴投影，可得由2l个方程组成的机构位置方程组。上海海运大学专用 三、机构位置方程组的求解三、机构

17、位置方程组的求解1、三角函数的有理化机构的位置方程组是一非线性代数方程组。其解法有牛顿迭代法、区间分析法、同伦法和消元法等。机构位置方程组中含有三角函数，为将其化成多项式方程组，以便用区间分析法、同伦法或消元法求解，必须对三角函数有理化。三角函数有理化的方法主要有以下二种：1）半角正切法令 ，则(1-20)因为 ，故在对 、 替代后，可消去分母 ，从而把机构位置方程组化成一个多项式方程组。半角正切法不增加变量个数，但所得多项式方程组复杂，且容易引起增根。上海海运大学专用 2）补充方程法令 ， （ 为第j个角变量），再补充一个方程：(1-28)故在对机构位置方程组中的 、 替代后，连同补充方程一

18、起构成一个多项式方程组。补充方程法需增加变量个数，但所得多项式方程组较简单，而且不易引起增根。实算表明，补充方程法更易成功。2、三角方程的求解求解机构位置方程组时，常需求解下列三角方程：(1-29)此时，可用半角正切法求解。令 ，并将式（1-27）代入方程（1-29），消去分母 ，整理可得： 上海海运大学专用 其解为(1-30)式中的“ ”号应根据机构的装配构形确定。在求得x后，可由下式确定 ：(1-31)需注意的是： 的值应根据点 所在象限定。在FORTRAN语言或C语言中，可调用内部函数确定四、平面连杆机构的速度和加速度分析四、平面连杆机构的速度和加速度分析1、速度分析设平面机构的位置方程

19、组为(1-32)上海海运大学专用 式中， 为n维向量值函数， 表示 n个待定的位置变量， 是F个输入运动参数(即已知的原动件位置量)。将机构位置方程组（1-32）对时间t求导，并注意原动件位置 可得：(1-33)上式可用矩阵表示为：(1-34)式中， 的 对 的雅可比矩阵； 的未知的从动件速度列阵； ； 的系数矩阵； 的已知的原动件速度列阵。上海海运大学专用 (1-35)(1-36)当F=1时， ，式（1-34）成为：因 已知，且在位移分析完成后，J、E也已知，故方程组（1-34）为一线性方程组。只要J非奇异，解之可得从动件的速度列阵 。上海海运大学专用 2、加速度分析将速度方程（1-34）对

20、时间t求导，可得：(1-37)式中， 的未知的从动件加速度列阵； 的系数列阵； 的已知的原动件加速度列阵。因 已知，且在位移、速度分析完成后，J、C均已知，故方程组（1-37）为一线性方程组。只要J非奇异，解之可得未知的从动件加速度列阵 。注：本书中约定，长度单位：毫米；角度单位：度；时间单位：秒；速度单位：米/秒；加速度单位：米/秒2。上海海运大学专用 例例1.2 在图1-11所示的六杆机构中，设各杆的长度为： ， ， ， ， ， ， ， ；定角 ，机架 和水平轴正向的夹角为 ；若杆为原动件，求其他各杆的位置角 、 、 和 。解：解：1）独立封闭形的个数现取两个独立封闭形为ABCDA和DEF

21、GD；2）位移分析（1）取机架 方向为x轴正向，以矢量代表构件并标注各位置角；（2）列矢量封闭形方程图1-11上海海运大学专用 （3）建立机构的位置方程组（4）求解机构的位置方程组上述4个方程中，前2个方程和后2个方程可分别求解。为利用三角恒等式 从前2个方程中消去 ，可将前2个方程改写为：将上述两个方程的两边平方，再相加，整理可得：上海海运大学专用 式中， 由半角正切公式（1-31）可得：式中， 在求得 后，可由下式确定：同理，从后两个方程 和 中先消去 ，可得：上海海运大学专用 式中， 在求得 后， 由下式确定：3）速度分析将机构的位置方程组对时间求导，并令 整理可得如下的速度方程：上海海

22、运大学专用 其中，4）加速度分析设原动件1的角加速度 ，将速度方程对时间求导，并令 ，整理可得如下的加速度方程：上海海运大学专用 其中， 13 复数法复数法一、平面连杆机构位移分析的复数法一、平面连杆机构位移分析的复数法若一个平面矢量的坐标为，则该矢量可用一个复数表示：式中， 为虚数， 为矢量的模， 为矢量对x轴正向的夹角。用复数法对平面机构进行位移分析的主要步骤如下：1）对机构的每个独立封闭形写出个矢量封闭方程；2）用指数形式的复数表示矢量封闭方程中的每个矢量，写出个复数位置方程； 上海海运大学专用 3）将 个复数位置方程的虚部和实部分离，可得由 个方程组成的机构位置方程组；4）求解机构位置

23、方程组，可得位移分析的结果。例例1.3 对例1.2中的封闭形ABCDA用复数法进行位移分析。解：解：对封闭形ABCDA成立用复数表示上述矢量封闭方程可得下列复数位置方程：区分上述复数位置方程的实部和虚部，可得下列位置方程：求解上述位置方程，可得与例1.2相同的结果。上海海运大学专用 二、平面连杆机构速度分析的复数法二、平面连杆机构速度分析的复数法用复数法对平面机构进行速度分析的主要步骤如下：1）将 个复数位置方程对时间求导，可得 个复数速度方程；2）区分复数速度方程的实部和虚部，可得由 个方程组成的机构速度方程组；3）求解速度方程组，可得速度分析结果。例例1.4 对例1.2中的封闭形ABCDA

24、用复数法进行速度分析。解：解：将例1.3中的复数位置方程对时间求导，可得下列复数速度方程：即：区分上述复数速度方程的实部和虚部，可得下列速度方程：解上述关于 和 的线性方程组，可得 和 。上海海运大学专用 三、平面连杆机构加速度分析的复数法三、平面连杆机构加速度分析的复数法用复数法对平面机构进行加速度分析的主要步骤如下：1）将 个复数速度方程对时间求导，可得 个复数加速度方程；2）区分复数加速度方程的实部和虚部，可得由 个方程组成的机构加速度方程组；3）求解加速度方程组，可得加速度分析结果。例例1.5 对例1.2中的封闭形ABCDA用复数法进行加速度分析。解：解：将例1.4中的复数速度方程对时

25、间求导，可得下列复数加速度方程：利用 可将上式变形为：区分上述方程的实部和虚部，可得下列加速度方程：上海海运大学专用 解上述关于 和 的线性方程组，即得 和 。从复数法的上述步骤和算例中可看出，复数法的实质是用复数表示平面矢量，与封闭向量多边形法的主要计算工作量相差不多，但复数法表达更简练些，求导更方便些，应用起来更灵活些。另外，还可利用共轭复数的性质，从位置方程组中消去一些中间变量，以减少联立求解的方程个数。例如，对一个机构的2个独立闭环，可得如下2个闭环复数方程：式中， 为个角位置变量，其余量为定值。若将方程组向 x 和 y 轴投影，可得4个标量方程，需联立求解4个方程。为此，我们可按下列

26、做法将联立求解方程的个数降到2个。上海海运大学专用 为了从上述方程组的第个方程中消去 、第2个方程中消去 ，可将方程组改写为如下形式：将上述每个方程的两边乘以各自的共轭复数，化简可得：这里，特别要注意上述表达的内在规律。联立求解上述2个方程，可得 和 的值，进而可由下式求得 和 的值：上海海运大学专用 14 平面连杆机构的分类及其代号平面连杆机构的分类及其代号根据阿苏尔(Assur)关于机构组成的理论知，任何机构均由机架、原动件和杆组组成。因此，本书中按照杆组和机构级别对平面杆组和平面连杆机构进行分类。一、杆组的分类及其代号一、杆组的分类及其代号杆组依其级别分为级、级和级等杆组，其代号用英文大

27、写字母L开头，紧跟3个数字组成。L(Link)表示杆组，而3个数字的含义如下：杆组级别 移动副个数种号 例如：L323表示含2个移动副的第3种级杆组，等等。若杆组中没有移动副，则代号中代表移动副个数的数字(即第2位数字)为。上海海运大学专用 二、平面连杆机构的分类及其代号二、平面连杆机构的分类及其代号平面连杆机构按组成该机构的杆组最高级别分为级、级和级等连杆机构，其代号由英文大写字母P、紧跟7个数字组成。P(Planar Linkage)表示平面连杆机构，而7个数字的含义如下：P机构级别构件数移动副个数种号原动件个数注：1)机构的构件数用2个数字表示。若构件数小于10，则代号中代表构件数的2个

28、数字中的第1个数字为，第2个数字为构件数；移动副个数用一个数字(09)表示，0表示没有移动副； 上海海运大学专用 2)种号用2个数字表示。对同一机构，若原动件不同，则种号也不同；当种号小于10时，代号中代表种号的2个数字中的第1个数字为0，第2个数字为种号；3)若原动件个数为1，则代号中的第7个数字可略去不写。例如：P206102表示含个移动副的自由度为的第2种平面六杆级连杆机构；而P2052032表示含2个移动副的自由度为2的第3种平面五杆级连杆机构，等等。由于是根据机构定代号，而不是由代号来确定机构，故这种代号表示法虽不能将机构和代号一一对应，但可做到每一个机构只有一个代号，而不会重复。1

29、5 平面杆组的装配构形平面杆组的装配构形根据排列组合论和运动链同构判定的邻接矩阵法20可知：平面级杆组只有如下5种形式。一、平面一、平面级杆组级杆组1、全铰链级组（L201）图112 L201在图112所示的级杆组中，设各杆长度分别为上海海运大学专用 ， ；外部回转副中心在取定的机架坐标系中的坐标为： ， ；求杆1、2的位置角 和 。解：解：该杆组的位置方程组为：图1-12 L201式中， 上述位置方程组的解为：式中， 上海海运大学专用 算例设： =80.000， =75.000， =250.000， =68.000， =100.000， =125.000，则该杆组的两个装配构形如表1-1所示

30、。I1.443735D+02.142014D+032-.490893D+02-.146730D+03表1-1 L201的两个装配构形2、含1个移动副的级组（L210）1）L211在图113所示的级杆组中，设： ，偏距 ，偏距角为 ；外部回转副中心A和移动副位移s的度量参考点P的坐标为： ， ；移动副的导路方向角为。求杆的位置角1和滑块2的位移 。上海海运大学专用 解：解：该杆组的位置方程组为： 式中， 上述位置方程组的解为：图113 L211 式中， 上海海运大学专用 算例设： =125.000， =170.000， =200.000， =-18.000， =150.000， =60.000，

31、 =90.000， =38.000，则该杆组的两个装配构形如表1-2所示。 Is1-.255690D+02.123412D+032-.784310D+02-.101245D+02表1-2 L211的两个装配构形3、含2个移动副的级组（L220）1）L221在图115所示的级杆组中，已知外部回转副中心A和滑块1的位移s1的度量参考点P的坐标为： ， ；滑块1的两条导路间的夹角为 ，其外部移动导路的方向角为；滑块2的偏距为 ，偏距角为 。求滑块的位移 和滑块的相对位移 。图115 L221 上海海运大学专用 解：解：该杆组的位置方程组为：式中 上述位置方程组的解为：上海海运大学专用 算例设： =8

32、3.000， =190.000， =80.000， =-10.000， =70.000， =55.000， =90.000， =43.000，则该杆组的一个装配构形如表1-4所示。s1s2.123061D+03.127051D+03表1-4 L221的一个装配构形二、平面二、平面级杆组级杆组平面级杆组有许多种型式。但根据排列组合论和运动链同构判定的邻接矩阵法，文Z21证明了如图117所示的全铰链级三序组可以演化成含有移动副的其它18种不同的级三序组。其中，有3种进化为自由度为1的运动链。因此，共有如下16种级三序组。1、全铰链级三序组（L301）上海海运大学专用 在图117所示的级杆组中，已知

33、3个外部回转副中心的坐标： ， ， ；有关杆长： ， ， ， ， ；定角 ；求位置角14。图117 L301解：解：该杆组的位置方程组为：上海海运大学专用 式中， 若令： ， ，则上述第一个位置方程组的多项式解为：T1(X)=U76*X18+U77*X17+U74*X16+U75*X15+U72*X14+U73*X13+U70*X12+U71*X1+U69=0T2(X)=U23*X22+U25*X12*X22+2*U3*X1*X22+2*U5*X2+2*U5*X12*X2+4*U1*X1*X2+U24*X12+2*U3*X1+U22=0上海海运大学专用 式中， U14 U77均是U1 U13的

34、多项式。解上述三角形方程组得 、 后，则：2、含1个移动副的级三序组1）L311在图118所示的级杆组中，已知2个外部回转副中心及移动副参照点的坐标： ， ， ；有关杆长及偏距： ， ， ， ， ；有关定角 、 、 ；求位置角2、3、4和 。图118 L311解：解：该杆组的位置方程组为：上海海运大学专用 式中， ，若令： ， ， ，则上述第一个位置方程组的多项式解为：上海海运大学专用 T1(X)=U508*X116+U509*X115+U506*X114+U507*X113+U504*X112+U505*X111+U502*X110+U503*X19+U500*X18+U501*X17+U4

35、98*X16+U499*X15+U496*X14+U497*X13+U494*X12+U495*X1+U493=0T2(X)=U35*X22+U37*X12*X22+U27*X1*X22+U32*X2+U33*X12*X2+4*U7*X1*X2+U36*X12+U26*X1+U34=0T3(X)=U1*X3+U1*X22*X3+U1*X12*X3+U1*X12*X22*X3+U19*X22+U21*X12*X22+U20*X12+U18=0式中， U14 U509均是U1 U13的多项式。3、含2个移动副的级三序组1）L321在图120所示的级杆组中，已知外部回转副中心及移动副参照点中心的坐标

36、： ， ， ；有关杆长和偏距： ， ， ， ， 有关定角 ， ， ， ， 图120 L321上海海运大学专用 求位置角2，3和位移 ， 。解：解：该杆组的位置方程组为：式中， 上海海运大学专用 若令： ， ， ，则上述第一个位置方程组的多项式解为：T1(X)=U61*X110+U62*X19+U59*X18+U60*X17+U57*X16+U58*X15+U55*X14+U56*X13+U53*X12+U54*X1+U52=0T2(X)=U25*X2+U26*X12*X2+U29*X14*X2+U28*X14+U30*X13+U24*X12+U27*X1+U23=0T3(X)=U9*X3+U9

37、*X12*X3+U10*X2+U10*X12*X2+U20*X12-2*U8*X1+U19=0式中，U15 U62均是U1 U14的多项式。解上述三角型方程组得 ， ， 后，则上海海运大学专用 4、含3个移动副的级三序组1）L331图124 L331在图124所示的级杆组中，已知移动副参照点坐标： ， ， ；有关杆长和偏距： ， ， ， ， 有关定角 ， ， ， ， ， ， ；求位置角 2和位移 图124 L331解：解：该杆组的位置方程组为：式中， 上海海运大学专用 若令： ， ， ， ，则上述位置方程组的多项式解为：T1(X)=U113*X116+U114*X115+U111*X114+U

38、112*X113+U109*X112+U110*X111+U107*X110+U108*X19+U105*X18+U106*X17+U103*X16+U104*X15+U100*X14+U102*X13+U99*X12+U101*X1+U98=0T2(X)=U22*X2+U23*X12*X2+U25*X14*X2+U24*X14-2*U1*U3*X13+U21*X12-2*U1*U3*X1+U20=0T3(X)=U3*U10*U22*X3+U38*X12*X3+U39*X14*X3+U40*X16*X3+U3*U10*U25*X18*X3+U50*X18+U51*X17+U48*X16+U49

39、*X15+U45*X14+U47*X13+U44*X12+U46*X1+U43=0上海海运大学专用 T4(X)=U3*X4+U3*X12*X4+U2*X2+U2*X12*X2+U15*X12+U14=0式中，U14 U114均是U1 U13的多项式。解上述三角型方程组得 ， ， ， 后，则5、含4个移动副的级三序组1）L341图130 L341在图130所示的级杆组中，已知外部回转副中心及移动副参照点坐标： ， ， ；有关杆长： ， ；有关定角 ， ， ， ， ；求位移 ， ， ， 。图130 L341 上海海运大学专用 解：解：该杆组的位置可由下列各式确定：式中， 上海海运大学专用 三、平面

40、三、平面级杆组级杆组平面级杆组仅举一例：L401型。在图133所示平面级杆组中，已知外部回转副中心的坐标为： ， ；有关杆长： ， ， ， ， ， ；有关定角： ， 。求位置角 ， ， ， 。解解：该杆组的位置方程组为：图133 L401上海海运大学专用 式中， 若令： ， ，则上述第一个方程组的多项式解为T1(X)=U81*X18+U82*X17+U79*X16+U80*X15+U77*X14+U78*X13+U75*X12+U76*X1+U74=0T2(X)=U28*X22+U30*X12*X22+U20*X1*X22+U25*X2+U26*X12*X2+4*U1*X1*X2+U29*X1

41、2+U19*X1+U27=0式中， U15U82均是U1 U14的多项式。上海海运大学专用 解上述三角型方程组得 ， 后，则当用杆组的装配构形求平面连杆机构的装配构形时，首先要对刻机构进行拆组，然后依次调用相应的杆组装配构形求解子程序，最后可得整个机构的装配构形。1-6 平面连杆机构的装配构形平面连杆机构的装配构形平面连杆机构是应用最广泛的一类机构。作者用封闭向量多边形法和复数法求解了工业机械装置中常见的近200种平面连杆机构的装配构形，本节节选了其中的一些典型机构。根据13中有关的类型代号确定规则，可由构件数和移动副个数等信息在作者编制的平面连杆机构装配构形程序库中检索到所需求解的一些平面连

42、杆机构。 上海海运大学专用 一、平面四杆机构一、平面四杆机构 图134 P2040011、P204001（联架杆为原动件的铰链四杆机构）在图134所示的铰链四杆机构中，设联架杆为原动件，已知各杆长度为： ， ， ， ；求杆和杆的位置角和。图134 P204001 解：解：该机构的位置方程组为：上述位置方程组的解为：式中， 上海海运大学专用 算例设：l1=50.000，l2=80.000，l3=80.000，l4=100.000， =50.000，则该机构的两个装配构形如表123所示。I231-.902963D+02-.148587D+032.314134D+02.897037D+02表123P

43、204001的两个装配构形2、P204101（曲柄为原动件的曲柄滑块机构）在图135所示的曲柄滑块机构中，设曲柄AB为原动件，已知各杆长度为： ， ，偏距为（ADDC，图示时，e为正值；上置时，e为负值，下同），导路倾角为；求杆的位置角2和滑块的位移 。图135 P204101解：解：该机构的位置方程组为：上海海运大学专用 上述位置方程组的解为：式中， 算例设：l1=50，l2=100，e=40， =60，a=30，则该机构的两个装配构形如表124所示。I2s1-.105416D+02.119295D+032-.109458D+03-.326922D+02表124 P204101的两个装配构形

44、上海海运大学专用 二、平面五杆机构二、平面五杆机构1、P2050012（个联架杆为原动件）在图145所示的铰链五杆机构中，已知各杆长度为 ， ， ， ，。设个联架杆的位置角1和4已知，求杆和杆的位置角2和3。图145 P2050012解：解：该机构的位置方程组为：上述位置方程组的解为：式中， 上海海运大学专用 2、P2051012（构件和滑块为原动件）在图146所示的五杆机构中，已知各杆长度为： ， ， ，图146 P2051012偏距 ，偏距角为 。设构件的位置角1和滑块的位移已知，求构件和构件的位置角2和3。解：解：该机构的位置方程组为： 上海海运大学专用 上述位置方程组的解为：式中， 3

45、、P2052012（联架杆和滑块为原动件）在图147所示的五杆机构中，已知各杆长度为： ， ，偏距 ，偏距角为 ， （AFEF），两导路方向的夹角为43。 设联架杆的位置角1和滑块的相对位移 已知，求连杆的位置角2和滑块的相对位移 。 图147 P2052012上海海运大学专用 解：解：该机构的位置方程组为：上述位置方程组的解为：式中， 三、平面三、平面级六杆机构级六杆机构图148 P2060011、P206001（双四杆机构）在图148所示的六杆机构中，设各杆的长度为： ， ， ， ， ， ， ,机架对水平轴正向的倾角为，上海海运大学专用 置角2、3、4和5。 解：解：该机构的位置方程组为：

46、上述位置方程组的解为：式中， 上海海运大学专用 3、P206112（缝纫机摆梭机构）在图1-50所示的六杆机构中，设各杆长度为： ， ， ， ， ，机架与水平轴正向的夹角为6；若杆1为原动件，求杆2、3、5的位置角2、3、5和滑块4的位移 。解：解：该机构的位置方程组为：图1-50 P206112上海海运大学专用 上述位置方程组的解为：式中， 5、P206203（飞机起落架收放机构）在图152所示的六杆机构中，设各杆长度为： ， ，机架的长度为 ，对水平轴的倾角为5；P为度量位移s3的参照点， ， 对水平轴的倾角为6；滑块3的导路对 水平轴的倾角为3；若给定导杆2的相对位移 ，求杆2、4、5的

47、位置角2、 图152 P206203上海海运大学专用 。4、5和滑块3的位移 。解：解：该机构的位置方程组为：上述位置方程组的解为：上海海运大学专用 式中， 7、P206401（含个移动副的六杆机构）在图154所示的六杆机构中，设P3为构件3位移 的度量参考点，令 ，构件3导路与水平轴垂直；P5为构件5位移 的度量参考点，令 ，构件5导路的方向角为5；点A、P3和P5同在一条与水平轴平行的直线上；若杆1为原动件，求滑块2的相对位移 ，滑块3的位移 ， 滑块4的位移 以及滑块5的位移 图154 P206401 上海海运大学专用 解：解：该机构的位置方程组为：上述位置方程组的解为：四、平面四、平面

48、级六杆机构级六杆机构图155 P3060011、铰链六杆机构、铰链六杆机构（P306001型）在图155所示的六杆机构中，设各杆长度分别为： ， ， ， ， ， ， ， ，对水平轴的倾角为 ，中心构件3的定角 ，若杆1为原动件，求杆2、3、4、5的位置角 。图155 P306001上海海运大学专用 解：解：该机构的位置方程组为：从上述位置方程组中消去、可得： 式中， 上海海运大学专用 若令 ， ，则上述方程组的多项式解为：T1(X)=U69*X18+U68*X17+U67*X16+U66*X15+U65*X14+U63*X13+U61*X12+U62*X1+U64=0T2(X)=U23*X1*

49、X22+U20*X22+U21*X12*X22+U24*X2+U25*X12*X2+ 4*+U6*X1*X2+U19*X12+U22*X1+U18=0式中，U14 U69均是U1 U13的多项式。在求得 、 后，各位置角可由下式求得：上海海运大学专用 算例设：l1=40.000，l2=160.000，l3=120.000，r3=100.000，l4=100.000，l5=100.000，l6=160.000，r6=100.000，b3= 53.000，g6=60.000，j1= 60.000，则该机构的六个装配构形如表144所示。I23451-.955193D+01.558593D+02-.5

50、99297D+02-.475820D+022-.489725D+02.132562D+03-.497918D+02-.131766D+033.327908D+02.922151D+02.399732D+02.772930D+024-.167456D+02-.178911D+03.440544D+02-.168844D+035.673719D+02.532145D+02.120342D+03.106653D+036.206678D+02-.318114D+02.146654D+03-.108398D+03表144 P306001的六个装配构形图156 P306102 2、P306102（提升机构

51、）图156 P306102在图156所示的六杆机构中，设各杆长度分别为： ， ， ， ， ， ，对水平轴的倾角为 ，滑块2导路的偏距为 ，偏距角为 ；中心构件的定角 ；若滑块2为原动件（即相对位移 已知），上海海运大学专用 且令 ，求杆1、3、4、5的位置角 、 、 、 。解：解：该机构的位置方程组为：从上述方程组中消去和，则可得：式中， 若令： ， ，则上述方程组的多项式解为：上海海运大学专用 T1(X)=U70*X18+U69*X17+U68*X16+U67*X15+U66*X14+U63*X13+U64*X12+U62*X1+U65=0T2(X)=U20*X22+U22*X12*X22+

52、U18*X1*X22+2*U5*X2-2*U5*X12*X2+4*U4*X1*X2+U21*X12+U17*X1+U19=0式中，U13 U70均是U1 U12的多项式。在求得 和 后， 和 的值可由下式计算：而 和 的值可由下式确定 上海海运大学专用 3、P306204（自动手套机中实现往复运动大动程的六杆机构）在图157所示的六杆机构中，设各杆长度分别为： ， ， ， （ 对水平轴的倾角为 ）；P为滑块5水平导路上的度量参照点，令 ， 对水平轴的倾角为 ；中心构件3的定角 ；若杆1为原动件，求杆2、4的位置角 、 ，构件3的相对位移 ，以及滑块5的位移 。图157 P306204 解：解：

53、该机构的位置方程组为： 上海海运大学专用 从上述方程组中消去和，则可得：式中： 若令： ， ，则上述方程组的多项式解为 T1(X)=U82*X16+U13*X15+U15*X14+U12*X13+U14*X12+U10*X1+U72=0T2(X)=2*X1*X2+U8*X12+ 2*U2*X1+U7=0式中：U7 U15均是U1 U6的多项式。在求得、后，各位置变量的值可由下式确定：上海海运大学专用 4、P306303（含三个滑块的级六杆机构）图158 P306303如图158所示的六杆机构中，设各杆长度分别为： ； ，对水平轴的夹角为 ，中心构件3上的2个相对位移 和 的测量点为C和F，令

54、， ，定角 导路偏置角 和 如图示；滑块5水平导路对G点的偏距为 ， ；若构件1为原动件，求杆4的位置角 ，中心构件3的两个相对位移 和 ，以及构件5的位移 。图158 P306303 上海海运大学专用 解：解：该机构的位置方程组为：或为：式中， 令 ， ， ， ，则上述方程组的多项式解为：上海海运大学专用 T1(X)=U4*U33*X18+U52*X17+U51*X16+U50*X15+U47*X14+U48*X13+U46*X12+U49*X1+U4*U32=0T2(X)=2*U3*X1*X2+U4*X2U4*X12*X2+U13*X12+2*U1*X1+U12=0T3(X)=4*U3*X

55、12*X3+2*U4*X1*X32*U4*X13*X3+U33*X14+U30*X13+U31*X12+U29*X1+U32=0T4(X)=-X4X12*X42*U4*X1*X2+U3*X2U3*X12*X2+U11*X12-2*U2*X1+U10=0式中，U10 U52均是U1 U9的多项式。在求得后，各位置变量的值可由下式确定：上海海运大学专用 五、其他平面多杆高级连杆机构五、其他平面多杆高级连杆机构1、P406101（六杆倾卸机构）在图159所示的六杆机构中，设各杆的长度分别为： ， ， ， ， ， ；定角 ， ，若杆3为原动件（即相对位移 已知），求杆1、2、4和5的位置角 、 、 和

56、 。解：解：该机构的位置方程组为：从上述方程组中消去和可得：上海海运大学专用 式中， 图159 P406101若令 ， ，则上述方程组的多项式解为：T1(X)=U67*X18+U68*X17+U65*X16+U66*X15+U63*X14+U64*X13+U61*X12+62*X1+U60=0T2(X)=U20*X22+U22*X12*X222*U5*X1*X22+U17*X2+U18*X12*X2+4*U4*X1*X2+U21*X12+ 2*U5*X1式中：U13 U68均是U1 U12的多项式。在求得和后，各位置变量的值可由下式确定：上海海运大学专用 2、P208001如图160所示为一铰

57、链八杆机构（P208001），设各杆长度为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，对水平轴的倾角为8；定角 ；若杆为原动件，求杆杆的位置角27。图160 P208001 解解：该机构的位置方程组为：上海海运大学专用 上述位置方程组的解为：式中， 上海海运大学专用 式中， 式中， 上海海运大学专用 算例设：l1=130.000，l2=180.000，r2=110.000，l3=310.000，l4=350.000，l5=420.000，l6=190.000，l7=280.000，l8=270.000，r8=470.000，b2=140.000，g8=160.000，j1=70.000，则该机构

58、的四个装配构形如表149所示。I2345671-.117145D+03-.172956D+03-.928634D+02-.170869D+03-.515632D+02.124422D+032-.117145D+03-.172956D+03-.928634D+02-.170869D+03-.763247D+02.107690D+033.602612D+02.116073D+03.219410D+02.999462D+02.840966D+02-.168622D+034.602612D+02.116073D+03.219410D+02.999462D+02-.139462D+03.113257D+

59、03表149 P208001的四个装配构形1-7 平面连杆机构极限位置的确定平面连杆机构极限位置的确定一、确定机构极限位置的理论一、确定机构极限位置的理论在具有作往复运动从动件的平面连杆机构中，该从动件两端点所对应的机构位置称为机构的极限位置。当机构处于极限位置时，作往复运动从动件的位移达到最大或最小值，其速度为零。又因极限位置是机构的一个位置。因此他必须满上海海运大学专用 足机构的位置方程。综上可得：定理定理1-1 机构处于极限位置的必要条件是：（138） 式中， 为作往复运动从动件的速度； 为原动件的位置列向量， 为原动件的速度列向量； 为从动件的位置列向量， 为机构的位置方程组。 推论推

60、论1-1 设单自由度机构的位置方程组具有如下形式：（139） 其中， 为作往复运动从动件的位置变量，则该机构处于极限位置的一个必要条件为：（140）上海海运大学专用 事实上，若以t代表时间， ，由定理11知，而 ，故必须 。根据推论11，可先求解二元方程组： （141）确定单自由度机构处于极限位置时的作往复运动从动件和原动件的位置 和q；进而确定其他n-1个从动件的位置。若方程组（141）无解，则说明该机构无极限位置。推论推论1-2 设单自由度机构中作往复运动从动件l的位置满足下列位置方程 则当该机构处于极限位置时，必满足如下方程。上海海运大学专用 （142） 式中， 。 事实上，将 对 求导

61、，并令 可得：由定理7.1知 ，因 ，故 ，即得式（142）。根据（142），将机构位置方程组的任意n-1个方程对输入未知量q求导，并令 ，可得下列线性方程组。上海海运大学专用 （143）因诸 不可能同时为零且唯一（否则为奇异位置），因而上述非齐次线性方程组的系数矩阵非奇异。从中解出诸 ，进而根据第n个偏导数方程可得单自由度机构处于极限位置的特征方程。二、二、 确定机构极限位置的算例确定机构极限位置的算例本节以若干个平面连杆机构极限位置的确定为例，验证本节有关理论的正确性。1、LP401（铰链四杆机构）LP为（Limit Position）的缩写。401表示第1种不含移动副的四杆机构。在如图1

62、61所示，设各杆长度分别为： 图161 LP401上海海运大学专用 ， ， ， ，若杆1为原动件，求该机构的极限位置。解：解：该机构的位置方程组为：从上述方程组中消去 可得： 由 及位置方程组 ， 可得铰链四杆机构处于极限位置的一个特征为联架杆1和连杆2共直线。即：因此，该机构的极限位置可由下列方程组确定。上海海运大学专用 式中， 若令 ， ，则上述方程组中前2个方程的多项式解为：T1(X)= -4*U11*U12*X18+U24*X16+U23*X14+U22*X12 -4*U9*U10=0T2(X)= -2*X1*X22 -2*X2+ 2*X12*X2+ 2*X1=0式中，U5U24均是U

63、1 U4的多项式。 在求得和后，和的值由下式确定。经进一步讨论可知：当铰链四杆机构为曲柄摇杆机构（曲柄为原动件）和双摇杆机构时，铰链四杆机构才有极限位置存在。上海海运大学专用 算例设：l1=20.000，l2=100.000，l3=80.000，l4=90.000，则该机构的四个极限位置如表150所示。I1231-.124229D+03.557711D+02.124229D+032-.418107D+02-.418107D+02-.903995D+023.418107D+02.418107D+02.903995D+024.124229D+03-.557711D+02-.124229D+03表1

64、50 LP401的四个极限位置6、LP621（牛头刨床机构）在图166所示的六杆机构中，设各杆长度分别为： ， ， ， ， ， 与水平轴垂直；滑块5的移动导路与水平轴平行；F点为与其导路方向线的交点，其位移 ；滑块2的相对位移为 ；若杆1为原动件，求该机构的极限位置。图163 LP621上海海运大学专用 解：解：该机构的位置方程组为：显然，当导杆3处于极限位置时，滑块5也处于极限位置。根据推论7-2，将上述方程组中的 和 对 求导，并注意 ，在 的条件下，即得该机构处于极限位置的特征方程为曲柄1与导杆3相垂直。即：这样，当该机构处于极限位置时，应满足下列方程组。上海海运大学专用 式中， 若令

65、， ，则上述方程组中的前2个方程的解析解为：T1(X)=-X12+1=0T2(X)=-U1*X22U1*X12*X22+2*X1*X22+U1*X12+2*X1+U1=0在求得 和 后，变量 和 的值可由下式确定。求解时，应注意同一极限位置时的解的对应性。 该机构处于极限位置的另一特征是导杆3和连杆4共直线，即 。此时，滑杆5的极限位移为：上海海运大学专用 算例设：l1=20.000，l3=110.000，l4=40.000，l6=70.000，r6=60.000，则该机构的四个极限位置如表155所示。I134s2s51-.163398D+03.106602D+03.379253D+02.670820D+02.123920D+002-.163398D+03.106602D+03.142075D+03.670820D+02-.629811D+023-.166015D+02.733985D+02.379253D+02.670820D+02.629811D+024-.166015D+02.733985D+02.142075D+03.670820D+02-.123920D+00表155 LP621的四个极限位置上海海运大学专用