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1、第第1章章 空间解析几何空间解析几何 1.1 向量及其线性运算向量及其线性运算中南大学高等数学向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：模长为模长为1 1的向量的向量. .零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量：1.1.1 向量的概念向量的概念或或或或或或中南大学高等数学自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量.
2、.向径：向径：空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量. . 中南大学高等数学1 加法：加法：（平行四边形法则）（平行四边形法则）特殊地：若特殊地：若 分为同向和反向分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）1.1.2 向量的线性运算向量的线性运算中南大学高等数学向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：（2 2）结合律：）结合律：（3）2 减减法法中南大学高等数学3 乘法：乘法：中南大学高等数学数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1
3、）结合律：）结合律：（2 2）分配律：）分配律：两个向量的平行关系两个向量的平行关系中南大学高等数学证证充分性显然；充分性显然；必要性必要性两式相减，得两式相减，得中南大学高等数学按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量.中南大学高等数学例例1 1 化简化简解解中南大学高等数学例例2 2 试用向量方法证明：对角线互相平分的试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形四边形必是平行四边形.证证与与 平行且相等平行且相等, 结论得证结论得证.
4、中南大学高等数学1.2 空间直角坐标系空间直角坐标系定义定义2.1.13 在空间取定一点在空间取定一点O和三个两和三个两两垂直的单位向量两垂直的单位向量 i, j, k，就确定了三条，就确定了三条都以都以O为原点的两两垂直的数轴，依次记为原点的两两垂直的数轴，依次记为为x轴轴(横轴横轴)、y轴轴(纵轴纵轴)、z轴轴(竖轴竖轴)，统称为坐标轴统称为坐标轴.它们构成一个空间直角坐它们构成一个空间直角坐标系，称为标系，称为Oxyz坐标系或坐标系或O,i,j,k坐标坐标系系.如下所示：如下所示：中南大学高等数学横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的
5、正方向符合符合右手系右手系.1.2.1 空间点的直角坐标空间点的直角坐标中南大学高等数学面面面面面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限中南大学高等数学空间的点空间的点有序数组有序数组特殊点的表示特殊点的表示:坐标轴上的点坐标轴上的点坐标面上的点坐标面上的点中南大学高等数学中南大学高等数学Vector in linexVector in plane(x,y)Vector in space(x,y,z)SimilarlyVector in n-spacexo中南大学高等数学Namely,Difinition:中南大学高等数学1.2.2 空间两点间的距离空间两点间的距离中南大学高等
6、数学空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为中南大学高等数学解解原结论成立原结论成立.中南大学高等数学解解设设P点坐标为点坐标为所求点为所求点为中南大学高等数学(1) 向量的概向量的概念念向量的加减法向量的加减法向量与数的乘法向量与数的乘法（注意与标量的区别）（注意与标量的区别）（平行四边形法则）（平行四边形法则）（注意数乘后的方向）（注意数乘后的方向）3. 小结小结中南大学高等数学(2) 空间直角坐标系空间直角坐标系 空间两点间距离公式空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标系的（注意它与平面直角坐标系的区别区别）（轴、面、卦限）（轴、面、卦限）中南大学高
7、等数学思考题思考题1. 在空间直角坐标系中，指出下列在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？各点在哪个卦限？中南大学高等数学思考题解答思考题解答A:; B:; C:; D:;中南大学高等数学思考题思考题2. 已知平行四边形已知平行四边形ABCD的对角线的对角线试用试用 表示平行四边形四边上对应的向量表示平行四边形四边上对应的向量.中南大学高等数学思考题解答思考题解答中南大学高等数学练练 习习 题题中南大学高等数学中南大学高等数学练习题答案练习题答案中南大学高等数学 1 1、下列各点所在象限分别是：、下列各点所在象限分别是：一、填空题一、填空题练习题练习题中南大学高等数学中南大学高等数学中南大学高等数学练习题答案练习题答案中南大学高等数学
