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1、用向量计算空间角直线直线a、b是异面直线，经过空间任意一点是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线，分别引直线 ，我们把直线，我们把直线 和和 所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和和b所成的角。所成的角。异面直线所成角的范围是异面直线所成角的范围是 。平平面面的的一一条条斜斜线线和和它它在在平平面面上上的的射射影影所所成成的的角角，叫叫做做这这条条直直线和这个平面所成的角；线和这个平面所成的角；由定义知，直线与平面所成的角由定义知，直线与平面所成的角00， 一、几类空间角的定义及范围一、几类空间角的定义及范围1.1.异面异面直线所成角直线所成角2.2.直线和平
2、面所成角直线和平面所成角特别地，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；特别地，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是是00角。角。1.1.求异面直线所成角的公式：求异面直线所成角的公式： 其中其中 是异面直线是异面直线 上的方向向量。上的方向向量。 2.2.求线面角大小的公式：求线面角大小的公式： 其中其中 是平面的法向量。是平面的法向量。 二、空间角的向量计算二、空间角的向量计算oA如图，设平面如图，设平面的法向量为的法向量为 ，直线，直线AO与平面所与平面所成的角为成的角为 . .
3、则则点点A到平面到平面的距离的距离d为：为：例例1 1：如右图，直三棱柱：如右图，直三棱柱A A1 1B B1 1C C1 1ABCABC中，中，BCA=90,BCA=90,点点D D1 1、F F1 1分别是分别是A A1 1B B1 1、A A1 1C C1 1的中点，若的中点，若BC=CA=CCBC=CA=CC1 1，求，求BDBD1 1与与AFAF1 1所成的角的余弦值所成的角的余弦值. .A1C1F1B1D1ABC解： 如图建立空间直角坐标系，取BC=CA=CC1=1 xyz则B （1,0,0) A（0,1,0）（1 1）求异面直线所成的角）求异面直线所成的角 所以直线BD1与AF1
4、所成的角的余弦值设异面直线BD1与AF1所成的角的角为 ，则例例2：如图，在长方体：如图，在长方体AC1中，棱中，棱AB=BC=3，棱，棱BB1=4，点，点E是是CC1的中点的中点 。 求求ED与平面与平面A1B1C所成角的大小所成角的大小的正弦的正弦值值.B1A1D1C1CDEA解：如图，建立空间直角坐标系， xyz由题意知： =（3，0，0）； 设平面A1B1C的法向量为 =（x，y，z）则 令z=3，则 =（0，4，3）， （2 2）求直线和平面所成的角）求直线和平面所成的角 BD （0，3，0）； E （3，3，2）； A1（0，0，4）； B1（3，0，4）； C （3，3，0）。
5、=（3，0，2）CB1BA1D1C1DEAxyz设DE与面A1B1C所成角为 ，则 Sin =|cos|= 即 ED与平面A1B1C所成角的大小为 在二面角的棱上棱上任取一点，过这点在二面角的两个面内两个面内做垂直于棱垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。二面角的范围是0，（1） 二面角及二面角的平面角：二面角及二面角的平面角： 从一条直线出发的两个半平面构成的图形叫二面角。 二面角的大小可用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。 3.3.二面角：二面角： cos =如图1中，cos=图2中, cos= cos =图1图2（2 2）求二面角大小的公
6、式：）求二面角大小的公式： 其中其中 分别是二面角的两个半平面的法向量。分别是二面角的两个半平面的法向量。 用向量法求空间角回避了在空间图形中寻找线线角、线用向量法求空间角回避了在空间图形中寻找线线角、线面角、二面角的平面角这一难点。体现了向量思想在立体几面角、二面角的平面角这一难点。体现了向量思想在立体几何中的重要地位，更体现了何中的重要地位，更体现了“借数言形借数言形”的数学思想。的数学思想。 注意：建立坐标系后各个点的坐标要写对，计算要准确。注意：建立坐标系后各个点的坐标要写对，计算要准确。 二面角余弦值二面角余弦值 的正负取决于二面角是锐二面角还是钝的正负取决于二面角是锐二面角还是钝二
7、面角二面角.例例3：长方体：长方体AC1中，棱中，棱AB=BC=3，BB1=4。 求二面角求二面角B1A1CC1的余弦值。的余弦值。 xyzB1BA1D1C1CDA解：如图，建立空间直角坐标系. D （0，3，0）； A1（0，0，4）； B1（3，0，4）； C （3，3，0）； C （3，3，0）； D1（0，3，4）. =（3，0，0）； 令z=3，则x=0,y=4平面A1B1C的法向量为 =（0，4，3） 设平面A1B1C的法向量为 =（x，y，z）则 又平面A1 C1C的法向量为 又所求二面角为锐二面角故二面角B1A1CC1的大小为 练习：练习：如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯
8、形OABC中，中，OABC， AOC=90，SO平面平面OABC，且，且 OS=OC=BC=1，OA=2.求：求： OS与平面与平面SAB所成角的正弦值；所成角的正弦值； 二面角二面角BASO的余弦值的余弦值; 异面直线异面直线SA和和OB所成角的余弦值所成角的余弦值.则A（2，0，0）；于是我们有OABCS解：如图建立直角坐标系，xyz=（2，0，-1）；=（-1，1，0）；=（1，1，0）；=（0，0，1）；B（1，1，0）；S（0，0，1），C（0，1，0）； O（0，0，0）；令x=1，则y=1，z=2；从而设面SAB的法向量显然有OABCSxyz所以直线SA与OB所成角的余弦值为.由
9、知面SAB的法向量 =（1，1，2） 又OC面AOS， 是面AOS的法向量，令则有由于所求二面角为锐二面角二面角BASO的余弦值为OABCSxyzzPQBCDAOxy1.1.如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥P-ABCDP-ABCD中，中，ABAB CD,ABCD,AB AD,AB=4AD,AB=4，AD= AD= ，CD=2CD=2，PAPA 平面平面ABCD,PA=4.ABCD,PA=4.（1 1）求证：）求证：BDBD 平面平面PAC;PAC;（2 2）点）点Q Q为线段为线段PBPB的中点，求直线的中点，求直线QCQC与平面与平面PACPAC所成角的所成角的正弦值正弦值. .BACD
10、A1C1B1zOxy2.2.如图所示，正三棱柱如图所示，正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的所有棱长都为的所有棱长都为2 2，D D为为CCCC1 1的中点，求二面角的中点，求二面角A-AA-A1 1D-BD-B的余弦值的余弦值. .zABCDA1C1B1D1xy3.3.如图所示如图所示, ,在平行六面体在平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,平面平面ABCDABCD与平面与平面D D1 1C C1 1CDCD垂直垂直, ,且且DD1 1DC=60,DC=DDDC=60,DC=DD1 1=2,DA= , ADC=90,=2
11、,DA= , ADC=90,求异面直线求异面直线A A1 1C C与与ADAD1 1所成角的余弦值。所成角的余弦值。4.4.如图所示如图所示, ,在四棱柱在四棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,侧棱侧棱A A1 1A A底面底面ABCDABCD，ABABDC,DC,ABAD,AD=DC=1,AAABAD,AD=DC=1,AA1 1=AB=2=AB=2，E E为棱的中点为棱的中点. .（1 1）证明：）证明：B B1 1C C1 1CE CE ；（2 2）求二面角）求二面角B B1 1-CE-C-CE-C1 1的正弦值；的正弦值；（3 3）设点）设点M M在线段在线段C C1 1E E上，且直线上，且直线AMAM与平面与平面ADDADD1 1A A1 1所成角的正弦值为所成角的正弦值为 ，求线段求线段AMAM的长的长. .DACBB1A1D1EC1zxy
