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1、第六章第六章 圆轴的改动圆轴的改动第一节第一节 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图第二节第二节 剪切剪切剪切胡克定律剪切胡克定律第三节第三节 圆轴改动时横截面上的应力圆轴改动时横截面上的应力第四节第四节 圆轴改动时强度计算圆轴改动时强度计算第五节第五节 圆轴改动时变形和刚度计算圆轴改动时变形和刚度计算改改动动:直直杆杆的的两两端端,在在垂垂直直于于杆杆轴轴线线的的平平面面内内作作用用一一对对大大小小相相等等,方方向向相相反反的的外外力力偶偶,使使杆杆件件各各横横截截面面发发生生绕绕轴轴线线相相对对转转动动。这这种种变变形形方方式式称称为为改动。改动。轴轴:以以改改动动变变形形为为主主要要变变形形的的杆杆
2、件件称称为为轴轴。横横截截面面为为圆形的轴称为圆轴。圆形的轴称为圆轴。 改改动动变变形形的的受受力力特特点点是是:在在与与杆杆件件轴轴线线垂垂直直的的平平面面内内,遭遭到到一一对对大大小小相相等等、方方向向相相反反的的力偶作用。力偶作用。 改改动动变变形形的的变变形形特特点点是是:各各横横截截面面绕绕杆杆件件轴线发生相对转动。轴线发生相对转动。 实实心心圆圆轴轴和和圆圆管管受受改改动动作作用用时时的的力力学学分分析析较较为为简简单单,而而且且又又是是最最常常见见的的受受扭扭构构件件外外形形,本本节只研讨等截面圆轴含圆管的改动问题。节只研讨等截面圆轴含圆管的改动问题。 第一节第一节 扭矩和扭矩图
3、扭矩和扭矩图一、外力偶矩的计算一、外力偶矩的计算 轴传送的功率轴传送的功率P P、转速、转速n n与外力偶矩与外力偶矩M M的关系:的关系:其中:其中:P P 轴传送的功率,千瓦轴传送的功率,千瓦kWkW n n 转速,转转速,转/ /分分r/minr/min外力偶矩转向确实定方法:输入功率的自动轮上作用的力偶外力偶矩转向确实定方法:输入功率的自动轮上作用的力偶矩为自动力矩,其方向与轴的转动方向一致;输出功率的从矩为自动力矩,其方向与轴的转动方向一致;输出功率的从动轮上作用的力偶矩为阻力矩,其方向与轴的转动方向相反。动轮上作用的力偶矩为阻力矩,其方向与轴的转动方向相反。 MMmm二、改动时的内
4、力二、改动时的内力扭扭矩的计算矩的计算MMTMMT扭矩正负规定:扭矩正负规定:右手螺旋法那么右手螺旋法那么扭矩单位:扭矩单位:N mN m或或kNmkNm例例6.1 6.1 传动轴的自动轮传动轴的自动轮B B上作用的力偶矩为上作用的力偶矩为MB=6kNmMB=6kNm的自的自动力偶,动力偶,A A、C C、D D三个从动轮上的阻力偶矩分别为三个从动轮上的阻力偶矩分别为MA=3kNmMA=3kNm、MC=2kNmMC=2kNm、MD=1kNmMD=1kNm,用截面法来求,用截面法来求-截面的内力。截面的内力。 解:求扭矩解:求扭矩MT2 MT2 如图如图b b 或如图或如图c c 图图b b图图
5、c c扭矩另一种计算方式:扭矩另一种计算方式:1 1、假设某截面扭矩皆为正,那么该截面上的、假设某截面扭矩皆为正,那么该截面上的扭矩等于截面一侧轴上一切外力偶矩的代数扭矩等于截面一侧轴上一切外力偶矩的代数和。和。2 2、计算时外力偶矩的正负号规定:右手拇、计算时外力偶矩的正负号规定:右手拇指与截面外法线方向一致,四指与外力偶矩指与截面外法线方向一致,四指与外力偶矩转向一样时取负号;不同时取正号。转向一样时取负号;不同时取正号。4 4 扭矩图:表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。扭矩图:表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目目 的的扭矩变化规律;扭矩变化规律;|MT|max|M
6、T|max值及其截面位置值及其截面位置 强度计算危险截面强度计算危险截面。扭矩图的绘制:与轴力图绘制方法类似,绘制扭矩图时,需扭矩图的绘制:与轴力图绘制方法类似,绘制扭矩图时,需先以轴线方向为横轴先以轴线方向为横轴x x轴、以扭矩轴、以扭矩MTMT为纵轴,建立为纵轴,建立MT-xMT-x坐标系。然后将圆轴各段截面上的扭矩坐标系。然后将圆轴各段截面上的扭矩MTMT标在标在MT-xMT-x坐标中,即可绘出扭矩图。坐标中,即可绘出扭矩图。 例例6.2 6.2 传动轴上自动轮传动轴上自动轮A A的输入功率的输入功率PA=40kwPA=40kw,三个从,三个从动轮动轮B B、C C、D D的输出功率分别
7、为的输出功率分别为PB=18kwPB=18kw,PC=PD=11kwPC=PD=11kw,轴,轴的转速为的转速为n=200rn=200rminmin。如今两种主、从动轮的布置方式,。如今两种主、从动轮的布置方式,分别如图分别如图a a、b b。试求两种布置情况下:。试求两种布置情况下:1.1.传动轴各段中的传动轴各段中的转矩值;转矩值;2.2.绘制传动轴的扭矩图;绘制传动轴的扭矩图;3.3.对传动轴接受的转矩对传动轴接受的转矩大小进展对比,阐明哪种布置方式较为合理。大小进展对比,阐明哪种布置方式较为合理。 解:解:1.1.求作用于传动轴上的外力偶矩。扭矩要由外力求作用于传动轴上的外力偶矩。扭矩
8、要由外力偶矩偶矩M M来计算,而实践问题中更常见的知条件是功率来计算,而实践问题中更常见的知条件是功率P P和转和转速速n n,所以先要由功率、转速计算外力偶矩,所以先要由功率、转速计算外力偶矩 2. 2.传动轴各段的扭矩值传动轴各段的扭矩值MT1MT1、MT2MT2、MT3MT3,并绘制扭,并绘制扭矩图。矩图。 图图a a中:中:MT1MT11910Nm1910Nm MT2MT21051 Nm1051 NmMT3MT3525 Nm525 NmMT图图b b中:中:MT1 MT1 859 Nm859 NmMT2 MT2 1051 Nm1051 NmMT3 MT3 525 Nm525 NmMT
9、3.3.对对比比两两种种布布置置方方式式下下传传动动轴轴所所受受的的转转矩矩。 在在图图a a情况下,情况下, 所所以以,图图b b所所示示的的布布置置方方式式将将自自动动轮轮布布置置在在几几个个从从动动轮之间的情况较为合理。轮之间的情况较为合理。 而在图而在图b b情况下,情况下, 可可见见,虽虽然然传传动动轴轴输输入入、输输出出的的功功率率一一样样,但但将将自自动动轮轮布布置置在在几几个个从从动动轮轮的的中中间间位位置置,使使自自动动轮轮两两侧侧从从动动轮轮上上的的转转矩矩之之和和接接近近相相等等,可可以以降降低低传传动动轴轴接接受受的的转转矩矩,从从而而有有利利于于提提高高传传动动轴轴的
10、的抗抗扭扭强强度度,或或减减少少传传动动轴轴的的直直径、减少用材,减轻分量。径、减少用材,减轻分量。 第二节第二节 剪切剪切剪切胡克定律剪切胡克定律 一一. .剪切的概念剪切的概念 剪切变形的受力特点是:作用在构件两侧面上外力剪切变形的受力特点是:作用在构件两侧面上外力的合力大小相等、方向相反、作用线平行且相距很近。的合力大小相等、方向相反、作用线平行且相距很近。 常见的剪切变形常见的剪切变形不发生剪切破坏的条件,即抗剪强度条件为不发生剪切破坏的条件,即抗剪强度条件为: : 适用计算中,通常假设剪切应力适用计算中,通常假设剪切应力在剪切面上在剪切面上是均匀分布的,如图是均匀分布的,如图d d。
11、那么。那么: : 二二. .剪应变和剪切胡克定律剪应变和剪切胡克定律 剪切变形时,剪切面附近的截面相互间发生错动。剪切变形时,剪切面附近的截面相互间发生错动。将剪切面附近变形前后的情况放大如图将剪切面附近变形前后的情况放大如图a a、b b:剪切面附:剪切面附近的资料由变形前的矩形,变形后成为斜平行四边形,近的资料由变形前的矩形,变形后成为斜平行四边形,变化的角度变化的角度称为剪应变,用弧度称为剪应变,用弧度radrad来度量。来度量。 等直圆杆改动时,相邻截面坚持平行,只存在剪应力,等直圆杆改动时,相邻截面坚持平行,只存在剪应力,而无正应力。而无正应力。 与剪力对应的应力称为剪切应力,以与剪
12、力对应的应力称为剪切应力,以表示。剪表示。剪切应力切应力与剪切力与剪切力Q Q方向一致,与剪切面相切,单位为方向一致,与剪切面相切,单位为帕帕PaPa或兆帕或兆帕MPaMPa。 剪切面:发生相对错动的截面,位于二力作用线之间。剪切面:发生相对错动的截面,位于二力作用线之间。剪切面上与截面相切的内力称为剪力,用剪切面上与截面相切的内力称为剪力,用Q Q表示。表示。 剪切胡克定律:当切应力不超越资料的剪切比例极剪切胡克定律:当切应力不超越资料的剪切比例极限时,剪应变与剪应力成正比:限时,剪应变与剪应力成正比: 为为资资料料的的剪剪切切弹弹性性模模量量,单单位位GPa,GPa,是是资资料料抵抵抗剪切
13、变形才干的目的。抗剪切变形才干的目的。 常用钢材的常用钢材的G G808084GPa84GPa。 线线应应变变和和剪剪应应变变是是度度量量构构件件变变形形的的两两个个根根本参量。本参量。 1. 1. 横截面变形后仍为平面,只是绕轴线相对转过了一个横截面变形后仍为平面,只是绕轴线相对转过了一个角度;角度; 2. 2. 轴向无伸缩;轴向无伸缩; 3. 3. 纵向线变形后仍为平行,转过一样的角度纵向线变形后仍为平行,转过一样的角度 。一、等直圆杆改动实验察看及假设:一、等直圆杆改动实验察看及假设: 第三节第三节 圆轴改动时横截面上的应力圆轴改动时横截面上的应力 结论:结论:1. 1. 改动变形的本质
14、是剪切变形;改动变形的本质是剪切变形;2. 2. 横截面上只需垂直于半径方向的剪应力横截面上只需垂直于半径方向的剪应力 ,没有正应力,没有正应力。圆轴改动的平面假设:圆轴改动的平面假设: 圆轴改动变形前原为平面的横截面,变形后仍坚持为平圆轴改动变形前原为平面的横截面,变形后仍坚持为平面,外形和大小不变,半径仍坚持为直线;且相邻两截面间面,外形和大小不变,半径仍坚持为直线;且相邻两截面间的间隔不变。的间隔不变。二、等直圆杆改动时横截面上的应力:二、等直圆杆改动时横截面上的应力:等直圆杆横截面应力等直圆杆横截面应力变形几何方面变形几何方面物理关系方面物理关系方面静力学方面静力学方面横截面上距圆心为
15、处任一点剪应力计算公式。式中:式中: MT MT横截面上的扭矩,由截面法经过外力偶矩求得。横截面上的扭矩,由截面法经过外力偶矩求得。 该点到圆心的间隔。该点到圆心的间隔。 Ip Ip极惯性矩,纯几何量,无物理意义。极惯性矩,纯几何量,无物理意义。结论:结论:1.1.剪应力的方向与半径垂直,绕圆心转向与扭矩方剪应力的方向与半径垂直,绕圆心转向与扭矩方向一样;向一样;2. 2. 剪应力沿半径成线性规律分布。剪应力沿半径成线性规律分布。剪应力公式同样适用于空心圆截面杆,只是剪应力公式同样适用于空心圆截面杆,只是IpIp值不同。值不同。由由知:当知:当WP WP 抗扭截面系数抗扭截面模量,抗扭截面系数
16、抗扭截面模量, 几何量,单位:几何量,单位:mm3mm3或或m3m3。三三. .最大剪应力计算公式最大剪应力计算公式第四节第四节 圆轴改动时的强度计算圆轴改动时的强度计算 圆圆轴轴改改动动的的强强度度条条件件是是:轴轴的的危危险险截截面面即即产产生生最最大大改改动动剪剪切切应应力力的的截截面面上上的的最最大大剪剪切切应应力力maxmax不超越资料的许用剪切应力不超越资料的许用剪切应力即即许许用用剪剪切切应应力力值值由由相相应应资资料料实实验验测测定定并并思索平安系数后加以确定。思索平安系数后加以确定。圆轴改动的强度计算可处理三类强度问题圆轴改动的强度计算可处理三类强度问题 1. 1.强度校核强
17、度校核 2.2.设设计计截截面面尺尺寸寸圆圆轴轴直直径径:知知外外载载荷荷条条件件和和选选定定资资料料的的许许用用剪剪切切应应力力,要要求求设设计计圆圆轴的直径轴的直径D D,或空心圆轴的外径,或空心圆轴的外径D D和内径和内径d d。 3.3.确确定定答答应应载载荷荷:知知圆圆轴轴的的直直径径D D,或或空空心心圆圆轴轴的的外外径径D D和和内内径径d d以以及及选选定定资资料料的的许许用用剪剪切切应应力力,求求圆圆轴轴上上所所能能接接受受的的最最大大外外力力偶偶矩矩或或传传送送的最大功率,即答应载荷。的最大功率,即答应载荷。 例例6.3 6.3 汽汽车车的的传传动动轴轴ABAB由由4545
18、钢钢无无缝缝钢钢控控制制成成,外外径径D=90mmD=90mm,壁壁厚厚t=2.5mmt=2.5mm,如如下下图图。该该轴轴传传送送的的最最大大转转矩矩M=1.5kNmM=1.5kNm,资料的许用剪切应力,资料的许用剪切应力=60Mpa=60Mpa。试求:。试求: 1. 1.校核该传动轴的抗扭强度。校核该传动轴的抗扭强度。 2.2.假假设设改改用用一一样样资资料料的的实实心心圆圆轴轴,且且和和原原钢钢管管传传动动轴轴有同等的抗扭强度,计算其直径有同等的抗扭强度,计算其直径DSDS。 3. 3.比较空心轴和实心轴的分量。比较空心轴和实心轴的分量。解解 1. 1. 校校核核强强度度 由由受受力力图
19、图可可知知,传传动动轴轴内内横横截截面面上上的的最最大大扭扭矩矩MTmaxMTmax就就等等于于它它传传送送的的最最大大转转矩矩M M,即:即:MTmax=M=1.5kNmMTmax=M=1.5kNm该轴内、外径之比该轴内、外径之比 而而所以,传动轴能满足抗扭强度要求。所以,传动轴能满足抗扭强度要求。 2 2计算等强度的实心圆轴直径计算等强度的实心圆轴直径DS DS 即要务虚心圆轴横截面的抗扭截面模量和原圆即要务虚心圆轴横截面的抗扭截面模量和原圆管截面的抗扭截面模量相等:管截面的抗扭截面模量相等: 由抗扭截面模量公式有由抗扭截面模量公式有 所以所以 3 3空心轴分量空心轴分量G G和实心轴分量
20、和实心轴分量GSGS的对比的对比 两轴的资料和长度一样,两者分量之比等于两轴的资料和长度一样,两者分量之比等于它们的横截面面积之比它们的横截面面积之比 空心传动轴的合理性空心传动轴的合理性 采用空心传动轴能有效节省资料,减轻自重,提高接采用空心传动轴能有效节省资料,减轻自重,提高接受才干。空心轴受扭在力学上的合理性,可以从改动剪切受才干。空心轴受扭在力学上的合理性,可以从改动剪切应力在横截面上的分布图得到阐明。但空心圆轴的环形壁应力在横截面上的分布图得到阐明。但空心圆轴的环形壁厚尺寸也不能过小。另外,只需截面闭合的空心圆轴才有厚尺寸也不能过小。另外,只需截面闭合的空心圆轴才有较高的抗扭强度,开
21、口圆管的抗扭才干是很低的。较高的抗扭强度,开口圆管的抗扭才干是很低的。 圆轴改动时的变形由两横截面间相对改动角圆轴改动时的变形由两横截面间相对改动角 来度来度量:即量:即第五节第五节 圆轴改动时变形和刚度计算圆轴改动时变形和刚度计算 GIpGIp反映了截面抵抗改动变形的才干,称为截面的抗扭刚度。反映了截面抵抗改动变形的才干,称为截面的抗扭刚度。二、圆轴改动时的刚度条件:单位长度的改动角二、圆轴改动时的刚度条件:单位长度的改动角不超越许不超越许用单位改动角用单位改动角 ,即,即 或或精细仪器仪表的轴:精细仪器仪表的轴: =0.15 =0.15 0.5(/m);0.5(/m);普通传动轴:普通传动
22、轴: =0. 5 =0. 5 1(/m);1(/m);精度较低的轴:精度较低的轴: =1=14(/m);4(/m);刚度计算的三方面:刚度计算的三方面:校核刚度:校核刚度:设计截面尺寸:设计截面尺寸:计算答应载荷:计算答应载荷:有时,还可根据此条件进展选材。有时,还可根据此条件进展选材。 例例6.46.4长为长为 L=2m L=2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m m=20Nm/m 的作用,如图,的作用,如图,假设杆的内外径之比为假设杆的内外径之比为 =0.8 =0.8 ,G=80GPa G=80GPa ,许用剪应力,许用剪应力 =30MPa=30MPa,试设计杆的外径;假
23、设,试设计杆的外径;假设 =2/m =2/m ,试校核此杆,试校核此杆的刚度,并求右端面转角。的刚度,并求右端面转角。解:解:设计杆的外径设计杆的外径40NmxT代入数值得:代入数值得:D 0.0226m。 由改动刚度条件校核刚度由改动刚度条件校核刚度40NmxT右端面转角为:右端面转角为:39 例例6.5 6.5 某传动轴设计要求转速某传动轴设计要求转速n = 500 r / minn = 500 r / min,输入功率,输入功率N1 N1 = 500= 500马力,马力, 输出功率分别输出功率分别 N2 = 200 N2 = 200马力及马力及N3 = 300N3 = 300马力,马力,
24、知:知:G=80GPa G=80GPa , =70M Pa =70M Pa, =1/m =1/m ,试确定:,试确定: AB AB 段直径段直径 d1 d1和和 BC BC 段直径段直径 d2 d2 ? 假设全轴选同不断径,应为多少?假设全轴选同不断径,应为多少? 自动轮与从动轮如何安排合理?自动轮与从动轮如何安排合理?解:解:图示形状下图示形状下, ,扭矩如扭矩如 图,由强度条件得:图,由强度条件得: 500400N1N3N2ACBTx7.024 4.21(kNm)由刚度条件得:由刚度条件得:500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm) 综上:综上:全轴选同不断径时全轴选同
25、不断径时 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理,所以,轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理,所以,1 1轮和轮和2 2轮应轮应 该换位。换位后该换位。换位后, ,轴的扭矩如下图轴的扭矩如下图, ,此时此时, ,轴的最大直径才轴的最大直径才 为为 75mm 75mm。Tx 4.21(kNm)2.814例例6.66.6:如下图阶梯轴,直径分别为:如下图阶梯轴,直径分别为 , ,知,知C C轮输入转矩轮输入转矩 ,A A轮输出转矩轮输出转矩 ,轴的转速,轴的转速 ,轴资料的许用切应力,轴资料的许用切应力 ,许用单位长度扭角,许用单位长度扭角 ,切变模,切变模量量 ,试校核该轴的强度和刚度。试校核该轴的强度和刚度。 CBACBA解解 : :1.1.求各段扭矩:求各段扭矩:由于各段半径不同,危险截面能够发生在由于各段半径不同,危险截面能够发生在ABAB段的截面段的截面 处,也能够发生在处,也能够发生在BCBC段段 。2.2.校核强度校核强度 所以,强度所以,强度满足要求。满足要求。 3.3.校核刚度校核刚度 所以,轴的刚度也满足要求。所以,轴的刚度也满足要求。