《空间与图形的基本概念与思想方法分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间与图形的基本概念与思想方法分析（80页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、图形的认识与培养学生的量感图形的认识与培养学生的量感刘加霞刘加霞博士博士LL13120488008北京教育学院北京教育学院主要讨论的内容一、整体把握一、整体把握“空间与图形空间与图形”内容内容二、认识线段、射线与直线、认识角二、认识线段、射线与直线、认识角直边图形的认识（三角形）直边图形的认识（三角形）圆的认识圆的认识三、几何图形的度量特征三、几何图形的度量特征四、培养学生的四、培养学生的“量感量感”什么是“几何”?起源: Geometry 尼罗河水的泛滥、重新丈量土地自然界中的物体都是有形的。一般说来，研究图形形状与大小的学问图形形状与大小的学问就是“几何”逻辑演绎体系、公理化逻辑演绎体系、
2、公理化。一个数学分支是否成熟的标志：空间想象能力（空间观念）（空间观念）几何直观几何直观几何发展起源于古埃及，古希腊达到高峰。直观几何、经验几何、实验几何演绎几何（公理化、推理、证明等）从从“几何几何”到到“空间与图形空间与图形”再到再到“图形与图形与几何几何”传统上: 1.“几何”课：其特定内涵，欧几里德原本 2.公理化：原始概念，公理 逻辑演绎体系 但小学阶段主要是： 直观几何、操作几何、实验几何直观几何、操作几何、实验几何 “逻辑推理逻辑推理”（说理）是主线。（说理）是主线。欧几里德：原本原始概念原始概念：点、线、面、体基本关系基本关系：5条公设：著名的第五公设条公设：著名的第五公设5条
3、公理条公理：1.等于同量的量彼此相等； 2.等量加等量，其和相等； 3.等量减等量，其差相等； 4.彼此能重合的物体是全等的； 5.整体大于部分。新修订课程标准“图形与几何”的教学目标几何直观几何直观主要是指利用图形描述和分析数学问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用，而且贯穿在整个数学学习过程中。“图形与几何图形与几何”的教学目标的教学目标推理推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有
4、的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）出发，按照规定的法则证明（包括逻辑和运算）结论。合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。关于“图形认识”教学一些问题对图形认识的不同层次?例如平行四边形长度、面积、体积是否有共同的结构？谁是最基础的？确定性的结论怎么教?(三角形三边关系;内角和;稳定性；公式的推导价值是什么?）如何“断课”？体积的认识重视重视“记忆记忆”还是重视还是重视“理解理解”和和“应应用用”？原来侧重于“知道知道公式公式，套用，套用“公式公式”计算周长、面积、体积等计算周长、面积、体
5、积等”，现在重视重视“概念概念”的建立，以及的建立，以及“公式公式”推导过程推导过程中所蕴含的思想方法。中所蕴含的思想方法。如何真正理解如何真正理解“公式公式”的推导过程？的推导过程？长度单位以及测量长度长度单位以及测量长度cm铅笔可能长（铅笔可能长（ ）厘米。）厘米。特级教师刘德武老师执教特级教师刘德武老师执教厘米的认识厘米的认识特级教师郭丽军、鲍海影老师特级教师郭丽军、鲍海影老师“自制直尺自制直尺”活动活动1厘米的小棒为“度量工具”，使用多个小棒来测量数学书的“边长”。小棒首尾相连“拼接”：不能弯、沿着书的“边”、对齐。数出有多少个1厘米的小棒。（太麻烦了！）在小棒上标上“数”起始点标“0
6、”，每一小棒后标相应的“数”直尺直尺可度量的属性可度量的属性不连续的量不连续的量连续量连续量分数（有限小数分数（有限小数自然数自然数数数平面图形的周长平面图形的周长关于“周长面积”的教学案例“面积就是周长”“她涂的不好，把周长也涂上了”“涂”还是“描”？“给图形勾边”“坑坑洼洼的，怎么补啊”平面图形的“周长”“封闭图形一周的长度叫周长”“封闭”、“平面图形”、“一周”、“长度”求周长的方法：公式计算、“移补”、“顺边加顺边加”（解题时不常用，放黑板的边角（解题时不常用，放黑板的边角处）处）。这两种方法的地位是“平等”的？平面图形的“周长”设计哪些活动认识“周长”？“勾边”、比较图形的“周长”、
7、求图形的周长求周长的基本方法：“顺边加”蕴含的数学思想方法：无限分割累加（逼近）、“曲化直”（以以“直直”代代“曲曲”）六年级 圆的周长有一个圆形表盘的残片有一个圆形表盘的残片（如图），测量并计算（如图），测量并计算整个表盘的周长大约是整个表盘的周长大约是（）厘米）厘米。通过多角度观察，找到局部与整体的关系。o o面积、面积单位以及面积的计算计算（不是（不是“测量测量”）教学内容分析“面面”与与“面积面积”什么是“面积”？刻画二维空间的大小。平面图形与平面图形与“体体”或物体的或物体的“外皮外皮”（直的、曲的）认识“面积”的几个层次：建立表象（与“体”混淆）、初步感知面积有大有小，易于比较（观
8、察）、不易于比较（重叠、用“单位”去度量、从“体”上“扒皮”：哪个橘子大？）分割、求和、取极限-“积分的思想”教学内容分析教材的设计意图： 1.物体的表面、封闭平面图形的大小。（立体的表面、平面图形的面积；直边图形、曲边图形）建立“面积”的表象，与“周长”的区分. 2.如何比较面积的大小？ 3.度量单位的意义。统一性与多样性。图形面积公式的推导价值图形面积公式的推导价值长方形的面积公式推导过程？长方形的面积公式推导过程？（拼摆“单位小正方形”的价值）学生推导公式过程中的真正难点是什么？学生推导公式过程中的真正难点是什么？“坑坑洼洼的怎么补啊？坑坑洼洼的怎么补啊？”一名学生的推导过程：一名学生的
9、推导过程： （5+3） 2=16 16-1=15长方形面积的本质长方形的面积转化为“单位正方形”的个数，即单位的个数是度量值。“密铺”：守恒。等量替换。有必要让学生有必要让学生“拼摆拼摆”吗？吗？“拼摆拼摆”过程过程中注意什么？中注意什么？“坑坑洼洼地怎么补？”教师创设了第一个情境：王奶奶家门前有一块形状如下（见图1）的地，如何求这块地的面积呢？教师通过引导得出解决问题的方法：将凸出的“半圆”移补到凹进去的“半圆”中，渗透“转化”的思想。这时有一名学生问老师：“这是一块这是一块地地，您怎么移动、怎么，您怎么移动、怎么补补啊？啊？”，教师回答：“这不是真的地，我们现在是在做数学题”。该学生不再“
10、找茬”。教师继续创设第二个情境：李奶奶家门前也有一块地，是这个形状（见图2），怎么求它的面积呢？教师的意图是将该“地”近似看成平行四边形，从而引出本课内容。然而又是这名学生问到：“老师，这块老师，这块地地坑坑洼洼的，您怎么坑坑洼洼的，您怎么补补啊？啊？”于是老师又回答到：“不是说了吗，这不是真的地，我们是在做数学题”。 男学生到底在想什么？什么是“转化”？“面积”的本质是什么？蕴含哪些重要数学思想与方法？男学生的朴素问题是否就蕴含对数学思想方法的追问？“面积”的数学本质“转化”的本质是“所求面积转化为所求面积转化为小单小单位位面积的和面积的和”，不仅仅是特殊平面图形，不仅仅是特殊平面图形之间的
11、转化。之间的转化。教材中、教学中我们强调上述本质了吗？（只是第一课时的任务？）上述“转化”的过程还蕴含哪些重要的数学思想方法？笼统地说“转化”好吗？要提高精确度，就要提高精确度，就要用更小的单位要用更小的单位同时运用多种单位同时运用多种单位（出现复名数）（出现复名数）把方格变小些。把方格变小些。诞生新的单位、工具和方法诞生新的单位、工具和方法“面积”背后蕴含的重要数学思想方法 分割、求和、取极限积分思想密铺等积变形（守恒思想、等量代换思想）无限、逼近、极限？思想。度量思想。周长与面积易混淆，如何用好方格图？解决“面积”问题时，如何用如何用好方格图好方格图？方格图的教学价值没有“方格图”的支撑有
12、的学生计算出的有的学生计算出的“周长周长”为什为什么是么是“11”？案例：郭丽军、刘千老师案例：郭丽军、刘千老师关于关于“圆的面积圆的面积”的研究的研究分割分割累加累加分的份数越多，累加的和越精准。分的份数越多，累加的和越精准。学生是否这样认识？在学前已有哪些认识学生是否这样认识？在学前已有哪些认识与经验储备？与经验储备？一定用教材上给出的方式推导圆的面积公一定用教材上给出的方式推导圆的面积公式吗？式吗？ 你认为圆面积公式可以怎样推导？你有什么困难吗？你认为圆面积公式可以怎样推导？你有什么困难吗？前前测人数人数4545人人圆的面的面积一定会和正方形一定会和正方形有关系，愿意有关系，愿意尝试14
13、14人（人（31.1%31.1%）应该可以可以转化，化，但不知从何入手但不知从何入手1111人（人（24.4%24.4%）无从下手，曲无从下手，曲边怎怎样转化成直化成直边？1010人（人（22.2%22.2%）也也许可以使用可以使用长、正、正方形面方形面积的推的推导方法方法5 5人（人（11.1%11.1%）将将圆分割、拼分割、拼摆成成长、正方形、正方形5 5人（人（11.1%11.1%）学生方法学生方法1 1：把圆的四边去掉变成正方形，但我们不知道这：把圆的四边去掉变成正方形，但我们不知道这4 4个个 部分怎样求？部分怎样求？价值分析：价值分析： 学生没有选择长方形、平学生没有选择长方形、平
14、行四边形和梯形，而是选择了行四边形和梯形，而是选择了正方形，已经意识到圆应该和正方形，已经意识到圆应该和一个边长相等的图形最接近。一个边长相等的图形最接近。 学生方法学生方法2 2：可以在圆上画方块，如果不足一个方块可以用其他：可以在圆上画方块，如果不足一个方块可以用其他 地方的方块来补，但我们不知道怎样补最合适？地方的方块来补，但我们不知道怎样补最合适？ 体积、体积单位以及求体积（公求体积（公式、等量替换）式、等量替换）一堂一堂“精彩精彩”的体积公式推导课的体积公式推导课在学生用小单位正方体拼摆出长方体的在学生用小单位正方体拼摆出长方体的长、宽、高之后，教师尝试让学生说明只长、宽、高之后，教
15、师尝试让学生说明只摆长、宽、高，就能确定长方体中体积单摆长、宽、高，就能确定长方体中体积单位的总个数。位的总个数。学生拼摆操作后，却出现了一下的情景学生拼摆操作后，却出现了一下的情景：一堂一堂“精彩精彩”的体积公式推导课的体积公式推导课生生1：长和宽决定了长方体的底面积，再乘：长和宽决定了长方体的底面积，再乘高就是长方体体积单位的个数。高就是长方体体积单位的个数。生生2：我不同意她的观点，长和宽决定的是：我不同意她的观点，长和宽决定的是第一层的体积，应该是立方厘米，不是第一层的体积，应该是立方厘米，不是“面积面积”。生生1:长乘宽就是面积，两个长度相乘是面长乘宽就是面积，两个长度相乘是面积，不
16、是体积。积，不是体积。一堂一堂“精彩精彩”的体积公式推导课的体积公式推导课生生3：要想：要想“长乘宽长乘宽”决定一层的体积，你必须决定一层的体积，你必须乘乘1，再乘高，否则就不是体积。长方体体积，再乘高，否则就不是体积。长方体体积公式必须是：公式必须是：长长宽宽1 1 高高生生1：不乘：不乘1也可以，直接用底面积乘高就可以也可以，直接用底面积乘高就可以表示体积。表示体积。生生3：不乘：不乘“1”不行，底面的厚度是不行，底面的厚度是“0”，多，多少个少个“0”（相加）都是（相加）都是“0”。生生4：不用乘：不用乘“1”，“高高”里不就包含了几个里不就包含了几个“1”吗？吗？一堂一堂“精彩精彩”的
17、体积公式推导课的体积公式推导课 教师想通过演示底面积无限累加而形成一定高度，让学生认可体积就是底面积乘底面积乘高高，但是演示之后并没有平息孩子们的争论，大家的兴奋点一直在围绕“长乘宽”表示面积还是体积争论不休。 （学生是“真思考、真探究”，但此问题学生理解起来确实有难度。“极限”） 公式推导过程中如何激发学生的公式推导过程中如何激发学生的“真思考真思考”？ 教师想淡化的问题淡化的问题，学生却揪住不放；本来学生知道长方体的体积就是长乘宽乘高，一节课后，却发生了变化，非得长乘宽乘1之后再乘高；本来学生知道长方体的体积就是长乘宽乘高长乘宽乘高，现在却怀疑自己以前的方法了，说书中的公式有问题，需要修改
18、。角的认识以及角的度量角的度量基本几何图形：角图形角图形角：大于0，小于180。是构成几何图形的基本要素。“两条边不是无限延长的”（线段。但不影响“角角”的大小的大小）。体验“角”无处不在，可以利用“角”的大小在现实生活中有用。张合角张合角：起重机、门、盒子盖等。旋转角旋转角：钟表上的指针的旋转所产生的“角”。由于“边”的长度不变，理解“角”的大小的变化。立体角立体角：小学阶段不学习。“圆锥尖儿”基本几何图形：角的大小“角的大小与角的两条边的长短无关”。初步感知。角的大小指“两条边的叉开程度”不好理解。多用两个多用两个“角角”的叠合来比的叠合来比较大小较大小。角的度量：单位角、单位角的个数即角
19、的大小。度量思想：叠合性、可加性叠合性、可加性。角的度量怎么教？“二合一看”？“量角器上的角与要度量的角的重叠”量角器上有“角”吗？为什么用“1”角做单位？讨论问题“角的度量”教学中到底要教什么？“二合一看”？还是能渗透什么？学生对用“量角器”量角有哪些认识？哪些有价值？哪些是误区？ 学生是这样尝试量角的学生是这样量图形中的直角的孩子们在量角器上找到的“角”宣角宣角宣角宣角10图形的几何度量特征图形的几何度量特征数学结构一样：本质：单位、单位个数（结果用分数表示，现实本质：单位、单位个数（结果用分数表示，现实中用有限小数表示）中用有限小数表示）性质：运动不变形、叠合性、有限可加性、无限性质：运
20、动不变形、叠合性、有限可加性、无限不可公度性不可公度性教材结构基本一样：概念的建立、非标准单位度量、统一的标准单位、公式计算、解决实际问题蕴涵的数学思想方法：以直（平）代曲，将曲化直、积分思想度量特征背后的数学思想无限逼近极限极限积分如何培养学生的量感？如何培养学生的量感？建立“单位”的观念。（寻找“标准”）重视学生的生活经验（体验“标准”大小）“单位”的累加重视操作过程，加深体验。不要过早地形式化。（什么时候出公式？）135千克有多重？千克有多重？我们五年级数学课本上有这样一道题目：我们五年级数学课本上有这样一道题目：世界上最大的鸟是鸵鸟，体重有世界上最大的鸟是鸵鸟，体重有135千克，千克，
21、世界上最小的鸟是蜂鸟，体重有世界上最小的鸟是蜂鸟，体重有0.0023千克。鸵鸟的体重是蜂鸟的多少倍？怎千克。鸵鸟的体重是蜂鸟的多少倍？怎么样让学生感知么样让学生感知135千克有多重呢？千克有多重呢？我问孩子们：我问孩子们：“我们学校的老师哪个胖我们学校的老师哪个胖点？点？”学生说邻班的孙老师胖。我就告学生说邻班的孙老师胖。我就告诉学生，孙老师的体重大概有诉学生，孙老师的体重大概有135斤，那斤，那鸵鸟的重量大概有鸵鸟的重量大概有2个孙老师那么重。学个孙老师那么重。学生说：生说：“啊！这么重啊！啊！这么重啊！”一个小女生一个小女生问我：问我：“老师，你有多重？老师，你有多重？”我说：我说：“两个
22、我再加一个你，才是鸵鸟的重量。两个我再加一个你，才是鸵鸟的重量。”下课了，我说给孙老师听，孙老师下课了，我说给孙老师听，孙老师哈哈大笑：哈哈大笑：“我要减肥了。我要减肥了。”我赶忙说：我赶忙说：“千万别减肥，你减肥千万别减肥，你减肥了，我们班学生就不知道鸵鸟有多了，我们班学生就不知道鸵鸟有多重了。重了。”办公室的老师都笑了。办公室的老师都笑了。（http:/ (一一)视觉期视觉期(Visualization)第零层次第零层次 此层次的儿童是通过视觉观察实物实物，由实物的轮廓来辨识形体或图形，而经常接触讨论某类的图形，其形状差异不大，例如：三角形、正方形、长方形与圆等。 儿童可以透过移动、旋转与
23、翻转移动、旋转与翻转等方式，直观地辨识某类图形。范希尔夫妇关于范希尔夫妇关于“几何思维几何思维”的观的观点点 (一一)视觉期视觉期(Visualization)第零层次第零层次 儿童可以使用非标准的数学语言非标准的数学语言，例如：儿童称呼某一个长方形，是瘦瘦的、长长的或是像门的样子；称呼某一个正方形，是方方正正的样子。也可以使用标准的数学语言标准的数学语言来描述图形的形状，例如：使用正方形、长方形、圆形与三角形等标准的数学语言指称图形的形状，但是并不理解这些数学语言的定义，例如：用正方形的构成要素来定义一个正方形，是有四个边与四个角及其关系是四个边等长与四个角都是直角。 范希尔夫妇关于范希尔夫
24、妇关于“几何思维几何思维”的观的观点点 针对本层次的儿童，教材应该安排通过感官的操作活动，让学童进行分类、造形、滚动、堆栈、描绘、着色、触摸与复制等活动，帮助儿童注意到图形的构成要素。范希尔夫妇关于范希尔夫妇关于“几何思维几何思维”的观的观点点 ( (二二) )分析期分析期(Analysis)(Analysis)第一层次第一层次 此层次的儿童应该具有丰富的视觉辨识经验，能进一步观察图形构成要素与图形之图形构成要素与图形之间的关系间的关系，可以开始寻找出某一类图形的共同性质，例如：以图形组成要素来说，当注意到长方形的边长时，儿童可以发现长方形都有四个边，这四个边刚好分成两组，一组是两个长边，一组
25、是两个短边，而且两个长边等长，两个短边也等长。 当注意到长方形的角时，儿童可以发现长方形都有四个角，这四个角都相等，而且每一个角都是直角。 范希尔夫妇关于范希尔夫妇关于“几何思维几何思维”的观的观点点 虽然此时学童可以发现长方形的四个角都是直角、对角线等长、对角线互相平分、两双对边分别相等或两双对边互相平行，但是学童无法解释这些几何性质间的关系，例如：无法透过推理，理解为什么四个角都是直角的四边形，它们的对角线一定会等长且互相平分。范希尔夫妇关于范希尔夫妇关于“几何思维几何思维”的观的观点点 针对本层次的学童，本教材安排许多图形的制作活动、组合分割活动以及检验活动，帮助学童观察制作后的图形构成
26、要素与原图形构成要素间的关系，观察原图形与组合、分割后图形构成要素间的关系，以及熟悉各种图形的性质，帮助学童探索图形与图形之间的关系。范希尔夫妇关于范希尔夫妇关于“几何思维几何思维”的观的观点点(三三)关系期关系期(Relation)或非形式演绎期或非形式演绎期(InformalDeduction)第二层次第二层次 此层次的儿童已经能掌握各种图形的构此层次的儿童已经能掌握各种图形的构成要素，可以进一步探索图形内在属性关成要素，可以进一步探索图形内在属性关系，以及不同类图形之间的包含关系，例系，以及不同类图形之间的包含关系，例如：两双对边相等的四边形一定是平行四如：两双对边相等的四边形一定是平行
27、四边形；对角线等长且互相平分的四边形一边形；对角线等长且互相平分的四边形一定是长方形。此时期的学童不必将所有的定是长方形。此时期的学童不必将所有的属性都描述出来之后，才能确认某一类图属性都描述出来之后，才能确认某一类图形。形。范希尔夫妇关于范希尔夫妇关于“几何思维几何思维”的观的观点点 此层次的学童也能够理解长方形一定是此层次的学童也能够理解长方形一定是平形四边形的意义，也能够推论当平行四平形四边形的意义，也能够推论当平行四边形有一个角是直角时，该平行四边形一边形有一个角是直角时，该平行四边形一定是长方形。学童也能够掌握三角形的外定是长方形。学童也能够掌握三角形的外角等于对应的二个内角和，角等
28、于对应的二个内角和，n多边形的内角多边形的内角和为和为(n2)180的意义，这些都是此层次的意义，这些都是此层次学童能透过理解其内在关系后建立的概念，学童能透过理解其内在关系后建立的概念，而不只是公式的记忆。而不只是公式的记忆。范希尔夫妇关于范希尔夫妇关于“几何思维几何思维”的观的观点点(四四)形式演绎期形式演绎期(FormalDeduction)第三层第三层次次 这里演绎的意义是指在一个公设系统中去建立几何理论，故而此层次的人们能用演绎逻辑证明定理，并建立相关定理的网脉结构关系。 范希尔夫妇关于范希尔夫妇关于“几何思维几何思维”的观的观点点(五五)严密性严密性(Rigor)或公理性或公理性(Axiomatic)第第四层次四层次 达到这个层次的人们，可以在不同的公设系统中建立定理，并分析或比较这些定理的特性，例如：能区分欧氏几何与非欧几何系统间的差异，也可以理解抽像的几何推理，甚至可以自创一套几何公设系统。一般的人很难达到这个层次
