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1、第二章利息理论利息理论第一节利息的基础知识主要内容v累积函数累积函数v利息利息v利率利率v单利与复利单利与复利v现值函数现值函数v一年计息一年计息m次的实际利率与实际贴现率次的实际利率与实际贴现率 v利息力利息力1、累积函数单位货币经过t 年后的价值。A0为本金，At为t年后的价值。2、利息v投资获得的报酬。vt年内的利息为：v第n年的利息为：v 3、利率v单位资本的获得的利息。例一v设：at =ct2+d (c、d为常数）， a 5=126 , A0=100v求：A10、 、 i10解：va0=1 a5=126v得： c=5 d=1v所以：at=5t2+1v A10=A0a10=50100v
2、 i10=(a10-a9)/a9=0.2334、单利与复利的积累函数v1）单利 设年利率为i ，期初本金为11+i 1+2i 1+it10 1 2 t at=1+it2）复利v设利率为i，期初本金为1。1+i (1+i)2 (1+i)t10 1 2 t at=(1+i)t5、单利、复利的比较v（1）单利条件下，每年利息相等，实际利率减少。v每年的利息：In=An-An-1 =A0(an-an-1)=A0iv每年的利率：（2）、复利条件下，每年利息增大，实际利率不变v实际利息实际利息：v实际利率：（3）、图形比较v当t(1+i)tv 当t1时：1+it(1+i)tat=1+itat=(1+i)t
3、11例二v李刚94年1月1日从银行借款1，000元，假设年利率为12%，试分别以单利和复利计算：v（1）96年1月1日时，他需还银行多少钱?v（2）几年后需还款1，500元？解：v（1）A1=1，000（1+it）v =1，000 （1+0.122）=1，240元v A2=1，000(1+i)2=1，254.4元v（2）1，500=1，000（1+it1）v t1=4.17年v 1，500=1，000(1+i)tv t2=3.58年6、现值和贴现率v现值函数现值函数。未来t年1单位货币在现在的值。v（1）单利：各年1元的现值。1+i 1+2i 1+it11 1 1 11/1+i1/1+2i折折
4、现现过过程程0.v（2）复利）复利 设年利率为设年利率为i ，各年，各年1元的现元的现值。值。1+i （1+i ）2 （1+i）t11 1 1 1 折折现现过过程程0复利条件下：v折现因子：v折现函数：贴现率v1）计息的方式。v滞后利息滞后利息 期初利息期初利息 例：购买一年期面值为100元的国债，v第一种方法：一年后还本付息110元； 10元为滞后利息，是期初本金上的增加额。元为滞后利息，是期初本金上的增加额。-利息。利息。v第二种方法：购买时90元，一年后按面值返还。 10元为期初利息，是期末值的减少额。元为期初利息，是期末值的减少额。-贴现额。贴现额。.v2）贴现率的定义：单位货币在一年
5、内的贴现额。v年贴现额年贴现额=Andn=An-An-1 以以An为标准的减少额。为标准的减少额。v年利息年利息=An-1 in=An-An-1 以以An-1为标准的增加额。为标准的增加额。3）贴现率与利率v或：4）贴现率与折现因子v公式一公式一v及：v公式二公式二v及：v例：例：94年年1月月1日的积累值为日的积累值为1，000元，元，d=10%求：求：1）90年年1月月1日的现值为多少？日的现值为多少？ 2）年利率为多少）年利率为多少? 3）折现因子为多少？）折现因子为多少？v解：1）A0=1000(1-d)4 =656.1元 2) v3）v=1-d=0.9 7、一年计息m次的实际利率与贴
6、现率v例：期初本金为例：期初本金为1元，年利率为元，年利率为10%。v如果一年计息一次，则年末积累值为如果一年计息一次，则年末积累值为1.10元。元。v如果一年计息两次，则年末积累值为如果一年计息两次，则年末积累值为 （1+10%/2）2=1.1025元元 即年实际利率为即年实际利率为10.25%1）实际利率：每个度量时期内结转一次利息的利率。 名义利率：每个度量时期内多次结转利息的利率。v设年名义利率为i（m），年实际利率为i。每次计息的实际利率为 i（m）/m 。v则：v所以：v或：2）实际贴现率：每个度量期内贴现一次的贴现率。 名义贴现率：每个度量期内多次贴现的贴现率。v设年名义贴现率为
7、d(m),v实际贴现率为d，v则：每次的贴现率为v所以：v或：3）i(m)与d(m) 的关系 v1元钱在年末的累积值为：v或：v则：v得：一般公式v如果一年结转m次利息，或一年贴现n次等价。v则：例（1）求每月结算的年利率为12%的实际利率； （2）求每季结算的年贴现率为10%的实际贴现率。v解（1）v（2）v结论：结转次数越多，结论：结转次数越多，实际利率越大，实际贴实际利率越大，实际贴现率越小。现率越小。例v2，000元的本金在6%的名义利率下投资，如果每年结转4次利息，求：v1）2年零6个月后的积累值；v2）年名义贴现率。解v1）共计息10次v2）由公式v得：例:一张尚需6个月到期的债券
8、，其面值为2，000元，如果名义贴现率为6%，一年贴现4次，求该债券现在的价格为多少？解：1）P=或：2） 8、利息力v瞬时利率。度量资本在某一时点上的获利能力。v1）常数利息力v定义 ：。或：v所以：a）vb）利息力与累积函数2）常数贴现力v当m ，期初付与期末付没有区别。3）利息力的一般式v定义累积函数与利息力v由定义式：两边积分。v当当 为常数时：为常数时：各年的利息力分别为：各年的利息力分别为：积累函数值积累函数值第n年的利率为v。现值函数值为：现值函数值为：例：设某项投资基金的利息力为，例：设某项投资基金的利息力为，其中其中k为投资年度。求投资者在开始投资多少为投资年度。求投资者在开
9、始投资多少资金于该基金时，使得投资在资金于该基金时，使得投资在5年末的终值为年末的终值为50，000元。元。v解：例：设v1）v4）作业v1、李华90年1月1日在银行帐户上有5，000元存款。v1）在每年10%的单利下，求94年1月1日的存款。v2）在每年8%的复利下，求94年1月1日的存款。v2、张军94年初在银行帐户上有10，000元存款。v1）在复利11%下计算90年的现值。v2）在11%的贴现率下计算90年的现值。习题v1、假设累积函数a(t)=at2+b，如果期初的100元在3年末可以累积到172元，试计算在第6年初投资100元，在第10年末可以累积到多少元？v2、如果A(t)=10
10、0+5t，试计算i5。v3、如果A(t)=100(1.1)t，试计算i5。v4、已知投资3 000元在两年后的利息是158元，试计算以相同的复利利率投资，起初的3 000元在3年半的利息。5、第n年末的1元和第2n年末的1元在起初的现值之和为1元，试计算(1+i)2n是多少？v6、如果每季度接转一次利息的年名义利率为6%，试计算200元本金在3年零4个月末的值。v7、如果i(m)=0.179 988 9,d(m)=0.173 734 8试 确定m为多大？v8、当常数利息力为多大时，等价于每月接转一次利息的年名义利率6%。v9、如果 v内等价的年实际利率。10、如果投资者愿意立即投资3 000元
11、，并在第3年末追加一笔投资，希望在第5年末和第6年末个获得5 000元，假设i(4)=5%，试确定投资者应该在第3年末追加多少投资？ v11、有两笔金额均为3 000元的资金，如果一笔按6%的实际利率投资，另一笔按4%的实际利率投资，试计算经过多长时间以后，前者的累积值是后者的2倍。v12、一项贷款的年实际利率为5%，原来的还款计划是：第1年末偿还5 000元，第2年末偿还6 000元，地4年末再偿还5 000元正好还清。如果借款人希望一次还清16 000元的贷款，试计算合理的还款时间。v13、如果现在投资300元，第1年末投资200元，第2年末投资100元，到第3年末时将累积到800元，试计算实际利率为多少？v14、厂商向零售商提供了两种可供选择的付款方式：（1）立即付款，可以享受20%的价格折扣；（2）6个月后付款，可以享受15%的价格折扣。当实际利率为多少时，这两种付款方式对零售商没有区别？
