《高等教育出版社高等数学同济第六版下册第十章PPTD101二重积分概念》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等教育出版社高等数学同济第六版下册第十章PPTD101二重积分概念（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重 积 分 2021/8/141目录 上页 下页 返回 结束 三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算 二重积分的概念与性质 第十章 2021/8/142目录 上页 下页 返回 结束 解法解法: 类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:底：底： xOy 面上的闭区域 D顶顶: 连续曲面侧面：侧面：以 D 的边界为准线 ,
2、母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” 2021/8/143目录 上页 下页 返回 结束 1)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体2021/8/144目录 上页 下页 返回 结束 4)“取极限”令2021/8/145目录 上页 下页 返回 结束 2. 平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xOy 平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量 M .度为设D 的面积为 ,则若非常数 , 仍可用其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求极限” 解决.1)“大化小”
3、用任意曲线网分D 为 n 个小区域相应把薄片也分为小块 .2021/8/146目录 上页 下页 返回 结束 2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第 k 小块的质量2021/8/147目录 上页 下页 返回 结束 两个问题的共性共性：(1) 解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同“大化小, 常代变, 近似和,取极限”曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 2021/8/148目录 上页 下页 返回 结束 二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点若存在一个常数 I , 使可积可积 , 在D上的二重积分二重积分.积分和
4、积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数 , 2021/8/149目录 上页 下页 返回 结束 引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,元素d也常记作二重积分记作这时分区域 D , 因此面积 可用平行坐标轴的直线来划 2021/8/1410目录 上页 下页 返回 结束 二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续 ,积.在有界闭区域 D上连续, 则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如例如, 在 D :上二重积分存在 ;在D 上 二重积分不存在 . 2021/8/1411
5、目录 上页 下页 返回 结束 三、二重积分的性质三、二重积分的性质( k 为常数) 为D 的面积, 则 2021/8/1412目录 上页 下页 返回 结束 特别, 由于则5. 若在D上6. 设D 的面积为 ,则有2021/8/1413目录 上页 下页 返回 结束 7.(二重积分的中值定理)证证: 由性质6 可知,由连续函数介值定理, 至少有一点在闭区域D上 为D 的面积 ,则至少存在一点使使连续,因此2021/8/1414目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 比较下列积分的大小:其中解解: 积分域 D 的边界为圆周它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线从而而域 D 位于直线的上方, 故在
6、 D 上2021/8/1415目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 估计下列积分之值解解: D 的面积为由于积分性质5即: 1.96 I 2D2021/8/1416目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 判断积分的正负号.解解: 分积分域为则原式 =猜想结果为负 但不好估计 .舍去此项2021/8/1417目录 上页 下页 返回 结束 8. 设函数D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍在 D 上在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分, 则有2021/8/1418目录 上页 下页 返回 结束 四、曲顶柱
7、体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的记记作作 2021/8/1419目录 上页 下页 返回 结束 同样, 曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算记记作作 2021/8/1420目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积.解解: 设两个直圆柱方程为利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为2021/8/1421目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 二重积分的定义2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)3. 曲顶柱体体积的计算二次积分法2021/8/1422目录 上页 下
8、页 返回 结束 被积函数相同, 且非负, 思考与练习思考与练习解解: 由它们的积分域范围可知1. 比较下列积分值的大小关系:2021/8/1423目录 上页 下页 返回 结束 2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则的大小顺序为 ( )提示: 因 0 y 1, 故故在D上有2021/8/1424目录 上页 下页 返回 结束 3. 计算解解:2021/8/1425目录 上页 下页 返回 结束 4. 证明:其中D 为解解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有又 D 的面积为 1 , 故结论成立 .2021/8/1426目录 上页 下页 返回 结束 P135 2，4，5 P152 1(1), 8第二节 作业作业2021/8/1427目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1. 估计 的值, 其中 D 为解解: 被积函数D 的面积的最大值的最小值2021/8/1428目录 上页 下页 返回 结束 2. 判断的正负.解：解：当时，故又当时，于是2021/8/1429个人观点供参考，欢迎讨论个人观点供参考，欢迎讨论部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
