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1、第一章第一章机械振动机械振动教学重点：教学重点：1、理解简谐振动的动力学特征、理解简谐振动的动力学特征2、掌握振幅和初相位的确定及振动方程的建、掌握振幅和初相位的确定及振动方程的建立方法立方法3、旋转矢量法、旋转矢量法4、理解简谐振动的能量特征、理解简谐振动的能量特征广义振动广义振动：任一物理量：任一物理量( (如位移、电流等如位移、电流等) )在某一在某一 数值附近周期性变化。数值附近周期性变化。 机械振动机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。：物体在一定位置附近作来回往复的运动。对力学系统来讲，振动的形式就是机械振动。对力学系统来讲，振动的形式就是机械振动。 振动分类振动分类非线性
2、振动非线性振动线性振动线性振动受迫振动受迫振动自由振动自由振动复杂振动复杂振动 = 简谐振动简谐振动最简单最基本的线性振动。最简单最基本的线性振动。简谐振动简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移平衡位置的位移x（或角位移或角位移 ）随时间）随时间t按余弦按余弦（或正弦）规律变化的振动。（或正弦）规律变化的振动。第一节第一节 简谐振动简谐振动一、简谐振动的动力学特征一、简谐振动的动力学特征平衡位置平衡位置：质点在某位置所受的力（或沿：质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）等于运动方向受的力）等于0，则此位置称为平，则此位置称为平衡位置。衡位
3、置。简谐振动是最简单最基本的线性振动。简谐振动是最简单最基本的线性振动。从动力学观点看：从动力学观点看：简谐振动简谐振动：质点在线性回复力作用下围绕平：质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动。衡位置的运动。 此为从动力学的观点定义的简谐振动。此为从动力学的观点定义的简谐振动。线性回复力线性回复力：若作用于质点的力总与质点相对于平：若作用于质点的力总与质点相对于平衡位置的位移（线位移或角位移）成正比，且指向衡位置的位移（线位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，则称此作用力为线性回复力。平衡位置，则称此作用力为线性回复力。若以平衡位置为原点，以若以平衡位置为原点，以X表示质点相对于平衡表示质点相
4、对于平衡位置的位移，则位置的位移，则一、弹簧振子模型一、弹簧振子模型弹簧振子弹簧振子：弹簧：弹簧物体系统物体系统 平衡位置：平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置弹簧处于自然状态的稳定位置轻轻弹簧弹簧质量忽略不计，形变满足胡克定律质量忽略不计，形变满足胡克定律 物体物体可看作质点可看作质点 问：弹簧振子是否问：弹簧振子是否在做简谐振动？在做简谐振动？简谐振动简谐振动微分方程微分方程简谐振动的另一种普遍定义：简谐振动的另一种普遍定义：若质点的运动学方程可以归纳为：若质点的运动学方程可以归纳为：其中其中 为决定于系统本身固为决定于系统本身固有性质，则质点做简谐振动。有性质，则质点做简谐振动。其通解为
5、：其通解为：一、简谐振动的运动学方程一、简谐振动的运动学方程二二 简谐振动的运动学特征简谐振动的运动学特征简谐振动的微分方程简谐振动的微分方程 简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程二、二、描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量1 1、振幅、振幅 A 简简谐谐振振动动物物体体离离开开平平衡衡位位置置的的最最大大位位移（或角位移）的绝对值。移（或角位移）的绝对值。如何由初始条件求振幅：如何由初始条件求振幅：频率频率 ：单位时间内振动的次数。单位时间内振动的次数。2、周期周期 、频率、圆频率频率、圆频率角频率角频率 周期周期T ：物体完成一次全振动所需时间。物体完成一次全振动所需时间。 0 是
6、是t =0时刻的位相时刻的位相初位相初位相3、相位和初相位相位和初相位相位，决定谐振动物体的运动状态相位，决定谐振动物体的运动状态三式中任选两式可三式中任选两式可以决定初相位。以决定初相位。若已知初始条件：若已知初始条件：相位差相位差 两振动相位之差。两振动相位之差。当当=2k ,k=0,1,2,两振动步调相同两振动步调相同, ,称称同相同相当当 = (2k+1) , k=0,1,2.两振动步调相反两振动步调相反, ,称称反相反相 2 超前于超前于 1 或或 1滞后于滞后于 2 相位差反映了两个振动不同程度的参差错落相位差反映了两个振动不同程度的参差错落 谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关
7、系谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系toTa vxT/4T/4总结：总结：1、简谐振动是周期性运动、简谐振动是周期性运动2、简谐振动各瞬时的运动状态由、简谐振动各瞬时的运动状态由 决定。决定。3、简谐振动的频率由振动系统本身固有的性质、简谐振动的频率由振动系统本身固有的性质决定。而决定。而 不仅决定于系统本身的性质，不仅决定于系统本身的性质，还决定于初始条件。还决定于初始条件。三、简谐振动的表示法三、简谐振动的表示法1、解析表示法解析表示法 利用余弦函数或正弦函数表示简谐振动。利用余弦函数或正弦函数表示简谐振动。 优缺点。优缺点。2、复数表示法复数表示法 利用欧拉公式，取实部利用欧拉公式
8、，取实部 采用旋转矢量法，可直观地领会简谐振动表达式采用旋转矢量法，可直观地领会简谐振动表达式中各个物理量的意义。中各个物理量的意义。 旋转矢量旋转矢量: :一长度等于振幅一长度等于振幅A 的矢量的矢量 在纸平在纸平面内绕面内绕O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角频率相等，这个矢量称为旋转矢量。角频率相等，这个矢量称为旋转矢量。3、简谐振动的、简谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法x 0 t = 0 t+ 0t = toX矢量矢量 为一长度为一长度不变的矢量，以不变的矢量，以恒定的角速度恒定的角速度 逆时针转动。逆时针转动。x 0t= 0 t+ 0t
9、 = toX分析：匀速旋转的矢量分析：匀速旋转的矢量 在坐标轴上的投影？在坐标轴上的投影？ 1、表示一特定的简谐振动的位移。、表示一特定的简谐振动的位移。 2、此简谐振动的振幅为、此简谐振动的振幅为A，固有圆频率为，固有圆频率为 初相位为初相位为 0振动相位振动相位逆时针方向逆时针方向 M 点在点在 x 轴上投影轴上投影( (P点点) )的运动的运动规律规律： 的长度的长度 旋转的角速度旋转的角速度旋转的方向旋转的方向与参考方向与参考方向x 的夹角的夹角M P XOx振幅振幅A振动圆频率振动圆频率 简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法分析：匀速旋转的
10、矢量分析：匀速旋转的矢量 的矢端速度在坐标轴上的投影的矢端速度在坐标轴上的投影？ o x 0t= 0X t+ 0t = t 1、表示一特定的简谐振动的速度。、表示一特定的简谐振动的速度。 2、振动质点位于上半圆时：、振动质点位于上半圆时： 位于下半圆时：位于下半圆时： 分析：匀速旋转的矢量分析：匀速旋转的矢量 的矢端法向加速度在坐标的矢端法向加速度在坐标轴上的投影？轴上的投影？ ox 0t= 0 t+ 0t = tX1、表示一特定的简谐振动的加速度。、表示一特定的简谐振动的加速度。 2、振动质点位于右半圆时：、振动质点位于右半圆时： 位于左半圆时：位于左半圆时： 进一步理解：进一步理解：将旋转
11、矢量用于弹簧振子，具体说明将旋转矢量用于弹簧振子，具体说明4个特个特殊点在弹簧振子上的对应位置。殊点在弹簧振子上的对应位置。CD t+ 0t = toXAB 记住四个特殊位置的点记住四个特殊位置的点简谐振动的质点处简谐振动的质点处于正向最大位移并于正向最大位移并向平衡位置运动向平衡位置运动（速度为（速度为0，加速，加速度为负最大）度为负最大）简谐振动的质简谐振动的质点处于负向最点处于负向最大位移并向平大位移并向平衡位置运动衡位置运动（速度为（速度为0，加，加速度为正最大）速度为正最大）简谐振动的质点处简谐振动的质点处于平衡位置并向正于平衡位置并向正向最大位移运动向最大位移运动（速度为正向最大，
12、（速度为正向最大，加速度为加速度为0）简谐振动的质点简谐振动的质点处于平衡位置并处于平衡位置并向负向最大位移向负向最大位移运动（速度为负运动（速度为负向最大，加速度向最大，加速度为为0（因在（因在x轴投轴投影为影为0）xXo 0t = 0 t+ 0t = t用旋转矢量表示相位关系用旋转矢量表示相位关系 同相同相反相反相由图可见：由图可见：x t+ o 两个同频率的简谐运动：两个同频率的简谐运动：相位之差为相位之差为采用旋转矢量直观表示为：采用旋转矢量直观表示为： 简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法以弹簧振子为例以弹簧振子为例谐振动系统的能量谐振动系
13、统的能量=系统的系统的动能动能Ek+系统的系统的势能势能Ep某一时刻，谐振子速度为某一时刻，谐振子速度为v，位移为位移为x谐振动的动能和势能是时间的周期性函数谐振动的动能和势能是时间的周期性函数 四四 . .简谐振动的能量简谐振动的能量动动能能势势能能情况同动能。情况同动能。机械能机械能简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒xtTEEpoEtEk(1/2)kA2由起始能量求振幅由起始能量求振幅弹簧振子的总能量弹簧振子的总能量决定于劲度系数和决定于劲度系数和振幅振幅例例1 已知某简谐振动的已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。图所示，试求其振
14、动方程。解：方法解：方法1设振动方程为设振动方程为故振动方程为故振动方程为方法方法2：用旋转矢量法辅助求解。用旋转矢量法辅助求解。v的旋转矢量的旋转矢量与与v轴夹角表轴夹角表示示t 时刻相位时刻相位由图知由图知 例例2 2 一一物物体体沿沿X 轴轴作作简简谐谐振振动动，振振幅幅A=0.12m, ,周周期期T=2s。当当t=0t=0时时, ,物物体体的的位位移移x= =0.06m, ,且且向向 X 轴轴正正向向运运动动。求求:(1):(1)简简谐谐振振动动表表达达式式;(2) ;(2) t = =T/4时时物物体体的的位位置置、速速度度和和加加速速度度;(3);(3)物物体体从从x =-0.06
15、=-0.06m向向 X 轴轴负负方方向运动，向运动，第一次回到平衡位置所需时间。第一次回到平衡位置所需时间。解解: (1): (1)取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点, ,谐振动方程写为：谐振动方程写为：其中其中A=0.12m, T=2s, 初始条件：初始条件：t = 0, x0=0.06m,可得可得据初始条件据初始条件 得得(2) (2) 由由(1)(1)求得的简谐振动表达式得求得的简谐振动表达式得: :在在t =T/4=0.5s时时，从前面所列的表达式可得从前面所列的表达式可得(3) (3) 当当x = -0.06m时时，该时刻设为该时刻设为t1 1, ,得得因该时刻速度为负，应舍去因该时刻速度为负，应舍去 ，设物体在设物体在t2 2时刻第一次回到平衡位置，相位是时刻第一次回到平衡位置，相位是因此从因此从x = -0.06m处第一次回到平衡位置的时间处第一次回到平衡位置的时间：另解另解：从从t1 1时刻到时刻到t2 2时刻所对应的相差为时刻所对应的相差为：
