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1、第二章第二章控制系统的数学模型控制系统的数学模型作者： 浙江大学 邹伯敏 教授 自动控制理论自动控制理论普通高等教育普通高等教育普通高等教育普通高等教育“ “九五九五九五九五” ”部级重点教部级重点教部级重点教部级重点教材材材材9/15/20241课件描述系统运动的数学模型的方法描述系统运动的数学模型的方法自动控制理论自动控制理论状态变量描述状态变量描述状态方程是这种描述的最基本形式状态方程是这种描述的最基本形式建立系统数学模型的方法建立系统数学模型的方法 实验法：实验法：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。 解析法：根据系统及元件各变量之间所遵循的
2、基本物理解析法：根据系统及元件各变量之间所遵循的基本物理定律，列写处每一个元件的输入定律，列写处每一个元件的输入-输出关系式。输出关系式。 输入输出描述输入输出描述 微分方程是这种描述的最基本形式。传递函数、方框图微分方程是这种描述的最基本形式。传递函数、方框图等其它模型均由它而导出等其它模型均由它而导出数学模型：是描述系统输入、输出变量以及于内部其它变数学模型：是描述系统输入、输出变量以及于内部其它变量之间关系的数学表达式量之间关系的数学表达式9/15/20242课件第一节第一节 列写系统微分方程的一般方法列写系统微分方程的一般方法用解析法建立系统微分方程的一般步骤用解析法建立系统微分方程的
3、一般步骤自动控制理论自动控制理论根据基本的物理定律，列写出系统中一个元件的输入与输出的微分方程式根据基本的物理定律，列写出系统中一个元件的输入与输出的微分方程式确定系统的输入量与输出量，消去其余的中间变量，求得系统输出与输入的确定系统的输入量与输出量，消去其余的中间变量，求得系统输出与输入的微分方程式微分方程式图图2-1 -L-C电路电路例例2-12-1求求UcUc与与UrUr的微分方程式的微分方程式 解：由基尔霍夫定律得解：由基尔霍夫定律得消去中间变量消去中间变量 ，则有，则有:举例举例一、电气网络系统一、电气网络系统9/15/20243课件自动控制理论自动控制理论图图2-2 R-C滤波网络
4、滤波网络例例2-2. 2-2. 试写出图试写出图2-22-2电路的微分方程电路的微分方程解解 由基尔霍夫定律列出下列方程组由基尔霍夫定律列出下列方程组消去中间变量消去中间变量i1 、 i2 得得或写作或写作9/15/20244课件自动控制理论自动控制理论例例例例2-32-3. . 求外力求外力F(tF(t) )与质量块与质量块mm位移位移(t)(t)之间的微分方程之间的微分方程解解 由牛顿第二定律列出方程由牛顿第二定律列出方程图图2-3 弹簧弹簧-质量质量-阻尼器系统阻尼器系统即即式中，式中，为阻尼第数；为阻尼第数；为弹簧的弹性系数。为弹簧的弹性系数。k k y(ty(t)弹性拉力弹性拉力阻尼
5、器阻力阻尼器阻力二、机械位移系统二、机械位移系统9/15/20245课件自动控制理论自动控制理论例例2-4. 试写出图试写出图2-4所示直流调速系统的微分方程式所示直流调速系统的微分方程式图图2-4 G-M 直流调速系统原理图直流调速系统原理图三、直流调速系统三、直流调速系统9/15/20246课件图图2-5 G-M 直流调速系统的框图直流调速系统的框图列写元件和系统方程式前列写元件和系统方程式前, ,首先要明确谁是输入量和输出量，把与输首先要明确谁是输入量和输出量，把与输出量有关的项写在方程式等号的左方，与输入量有，关系的项写在出量有关的项写在方程式等号的左方，与输入量有，关系的项写在等号的
6、右方，列写系统中各元件输入输出微分方程式，消去中间等号的右方，列写系统中各元件输入输出微分方程式，消去中间变量，求得系统的输出与输入的微分方程式变量，求得系统的输出与输入的微分方程式写微分方程式的一般步骤：写微分方程式的一般步骤：9/15/20247课件自动控制理论自动控制理论放大器放大器图图2-6 直流他励发电机电路图直流他励发电机电路图(2-4) 假设驱动发电机的转速假设驱动发电机的转速n n0 0恒定不变，发电恒定不变，发电 机没有磁滞回线和剩磁，发电机的磁化曲机没有磁滞回线和剩磁，发电机的磁化曲线为一直线线为一直线 ，即，即/i iB B =L =L。直流他励发电机直流他励发电机9/1
7、5/20248课件自动控制理论自动控制理论由电机学原理得：由电机学原理得：图图2-7 直流他励电动机电路图直流他励电动机电路图把式（把式（2-6）代入（）代入（2-5），则得），则得（2-5）（2-6）（2-7）式中式中9/15/20249课件自动控制理论自动控制理论直流他励电动机直流他励电动机直流他励电动机直流他励电动机 被控制量是电动机的转速被控制量是电动机的转速被控制量是电动机的转速被控制量是电动机的转速n n 。 控制量：发电机的电动势控制量：发电机的电动势控制量：发电机的电动势控制量：发电机的电动势E EGG和负载转矩和负载转矩和负载转矩和负载转矩T TL L由基尔霍夫定律和牛顿第二
8、定律得由基尔霍夫定律和牛顿第二定律得由基尔霍夫定律和牛顿第二定律得由基尔霍夫定律和牛顿第二定律得9/15/202410课件上式中消去中间变量上式中消去中间变量 后得到后得到输入量是电动机的转速输入量是电动机的转速n，输出量是测速发电机的电压，输出量是测速发电机的电压Ufn ，假设，假设测速发电机的磁场恒定不变，则测速发电机的磁场恒定不变，则Ufn与与n成线性关系即有成线性关系即有测速发电机测速发电机 9/15/202411课件自动控制理论自动控制理论9/15/202412课件自动控制理论自动控制理论第二节第二节 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化非线性数学模型线性化的假设非线性数学模
9、型线性化的假设 变量对于平衡工作点的偏离较小变量对于平衡工作点的偏离较小 非线性函数不仅连续，而且其多阶导数均存在非线性函数不仅连续，而且其多阶导数均存在微偏法微偏法在给定工作点邻域将此非线性函数展开成泰勒级数，并略去二阶及二阶以在给定工作点邻域将此非线性函数展开成泰勒级数，并略去二阶及二阶以上的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。上的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。设一非线性元件的输入为设一非线性元件的输入为x、输出为、输出为y，它们间的，它们间的 关系如图关系如图2-9所示，相应的数学表达式为所示，相应的数学表达式为图图 2-9 非线性特性的线性化非线性特性的线性化
10、y=f(x)（2-13）9/15/202413课件自动控制理论自动控制理论在给定工作点A（x0,y0）附近，将上式展开为泰勒级数9/15/202414课件自动控制理论自动控制理论举例举例举例举例上节在推导直流他励发电动机的微分方程式时，曾假设其磁化曲线为直上节在推导直流他励发电动机的微分方程式时，曾假设其磁化曲线为直线，实际上发电机的磁化曲线如图线，实际上发电机的磁化曲线如图2-10所示。所示。设发电机原工作于磁化曲线的设发电机原工作于磁化曲线的A点，若发电机的励磁电压增加点，若发电机的励磁电压增加U1，求其增量电动势求其增量电动势EG的变化规律。的变化规律。图图2-10 发电机的磁化曲线发电
11、机的磁化曲线若励磁电压增量若励磁电压增量 ，则有，则有如果发电机在小信号励磁电压的作用下，工作点如果发电机在小信号励磁电压的作用下，工作点A的偏离就较小，这样的偏离就较小，这样就可通过点就可通过点A作一切线作一切线CD，且以此切线，且以此切线CD近似代替原有的曲线近似代替原有的曲线EAF。在平衡点在平衡点A处，直流电机的方程为处，直流电机的方程为9/15/202415课件自动控制理论自动控制理论由式（由式（2-172-17）减式（）减式（2-152-15），式（），式（2-172-17）减式（）减式（2-152-15）后得）后得 式（式（式（式（2-192-19）、（）、（）、（）、（2-20
12、2-20）均为增量方程，它们描述了发电机在平衡点）均为增量方程，它们描述了发电机在平衡点）均为增量方程，它们描述了发电机在平衡点）均为增量方程，它们描述了发电机在平衡点A A处受到处受到处受到处受到u u1 1作用后的运动过程。对增量方程式而言，磁化曲线的作用后的运动过程。对增量方程式而言，磁化曲线的作用后的运动过程。对增量方程式而言，磁化曲线的作用后的运动过程。对增量方程式而言，磁化曲线的坐标原点不是在坐标原点不是在坐标原点不是在坐标原点不是在OO点，而是移到点，而是移到点，而是移到点，而是移到A A点。因而发电机的初始条件仍为零。点。因而发电机的初始条件仍为零。点。因而发电机的初始条件仍为
13、零。点。因而发电机的初始条件仍为零。式中式中式中式中N N为励磁绕组的匝数。为励磁绕组的匝数。为励磁绕组的匝数。为励磁绕组的匝数。9/15/202416课件自动控制理论自动控制理论9/15/202417课件自动控制理论自动控制理论在实际应用中，常把增量符号在实际应用中，常把增量符号“”省去，这样上述两式显然和（省去，这样上述两式显然和（2-5）（）（2-6）完全相同）完全相同小结小结 随着发电机平衡工作点的不同，其时间常数随着发电机平衡工作点的不同，其时间常数 和放大和放大 倍数倍数 是不同的。是不同的。 由线性化引起的误差大小与非线性的程度有关由线性化引起的误差大小与非线性的程度有关9/15
14、/202418课件自动控制理论自动控制理论第三节第三节 传递函数传递函数传递函数的定义传递函数的定义传递函数的定义传递函数的定义：在零初始条件下，系统（或元件）输出量的拉在零初始条件下，系统（或元件）输出量的拉氏变换与其输入量的拉氏变换之比，即为系统（或元件）的传递氏变换与其输入量的拉氏变换之比，即为系统（或元件）的传递函数。函数。设线性定系统的微分方程式为设线性定系统的微分方程式为9/15/202419课件自动控制理论自动控制理论在零初始条件下，对上式进行拉式变换得在零初始条件下，对上式进行拉式变换得9/15/202420课件（1） 传递函数是由系统的微分方程经拉氏变换后求得，而拉氏变传递函
15、数是由系统的微分方程经拉氏变换后求得，而拉氏变换是一种线性变换，因而这必然同微分方程一样能象征系统的固有换是一种线性变换，因而这必然同微分方程一样能象征系统的固有特性，即成为描述系统运动的又一形式的数学模型。特性，即成为描述系统运动的又一形式的数学模型。（2）由于传递函数包含了微分方程式的所有系数，因而根据微分方）由于传递函数包含了微分方程式的所有系数，因而根据微分方程就能直接写出对应的传递函数，即把微分算子程就能直接写出对应的传递函数，即把微分算子 用复变量用复变量s表示，表示，把把c(t) 和和r(t)换为相应的象函数换为相应的象函数C(s)和和R(s) ，则就把微分方程转换为，则就把微分
16、方程转换为相应的传递函数。反之亦然。相应的传递函数。反之亦然。根据式根据式(2-30)单位脉冲响应及应用单位脉冲响应及应用自动控制理论自动控制理论小结：小结：9/15/202421课件如果已知系统的单位脉冲响应如果已知系统的单位脉冲响应g(t),则利用卷积积分求解系统在任则利用卷积积分求解系统在任何输入何输入r(t)作用下的输出响应作用下的输出响应,即即下面以一个下面以一个R-C电路电路(图图2-11)为例为例,说明卷积积分的应用说明卷积积分的应用该电路的微分方程为该电路的微分方程为自动控制理论自动控制理论图图2-11 R-C电路电路9/15/202422课件自动控制理论自动控制理论1、由于由
17、于2、3、式中式中9/15/202423课件传递函数的性质传递函数的性质自动控制理论自动控制理论 传递函数只取决于系统本身的结构和参数，与外施信号的大小传递函数只取决于系统本身的结构和参数，与外施信号的大小和形式无关和形式无关 传递函数只适用于线性定常系统传递函数只适用于线性定常系统 传递函数为复变量传递函数为复变量s的有理分式，它的分母多项式的有理分式，它的分母多项式S的最高阶次的最高阶次n总是大于或等于其分子多项式总是大于或等于其分子多项式s的最高阶次的最高阶次m，即，即nm 传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动过程传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动过程 一个传递函数是由相应的零
18、、极点组成一个传递函数是由相应的零、极点组成 一个传递函数只能表示一个输入与一个输出的关系，它不能反一个传递函数只能表示一个输入与一个输出的关系，它不能反映系统内部的特性映系统内部的特性对于多输入对于多输入多输出的系统，要用传递函数关系阵去描述它们间的关系，多输出的系统，要用传递函数关系阵去描述它们间的关系，例如图例如图2-12所示的系统所示的系统9/15/202424课件自动控制理论自动控制理论图图2-12 多输入多输出系统多输入多输出系统 由图由图2-12得得9/15/202425课件自动控制理论自动控制理论典型环节的传递函数典型环节的传递函数特点：特点：输出不失真、不延迟、成比例地复现输
19、入信号的变化输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化比例环节比例环节惯性环节惯性环节特点：特点：输出量延缓地反映输入量的变化规律输出量延缓地反映输入量的变化规律微分方程微分方程9/15/202426课件自动控制理论自动控制理论积分环节积分环节特点：特点：环节的输出量与输入量对时间的积分成正比，即有环节的输出量与输入量对时间的积分成正比，即有图图2-13 积分环节模拟电路图积分环节模拟电路图例如图例如图2-13所示的积分器，其传递函数为所示的积分器，其传递函数为9/15/202427课件微分环节微分环节理想的微分环节的输出与输入信号对时间的微分成正比，即理想的微分环节的输出与输入信号对时间
20、的微分成正比，即图2-14 微分环节模拟电路图微分环节模拟电路图1）实际的微分环节，如图）实际的微分环节，如图2-14所示，它的所示，它的传递函数为：传递函数为：自动控制理论自动控制理论2）直流测速发电机。如图）直流测速发电机。如图2-15所示，所示，图图2-15直流测速发电机直流测速发电机9/15/202428课件振荡环节振荡环节特点：特点：如输入为一阶跃信号，则环节的输出却是周期振荡形式如输入为一阶跃信号，则环节的输出却是周期振荡形式微分方程微分方程自动控制理论自动控制理论具有式（具有式（2-33）形式的传递函数在控制工程中经常会碰到，例如）形式的传递函数在控制工程中经常会碰到，例如9/1
21、5/202429课件自动控制理论自动控制理论1）R-L-C电路的传递函数电路的传递函数2）弹簧）弹簧-质量质量-阻尼器系统的传递函数阻尼器系统的传递函数3）直流他励电动机在变化时的传递函数）直流他励电动机在变化时的传递函数上述三个传递函数在化成式（上述三个传递函数在化成式（2-33）所示的形式时，虽然它们的阻）所示的形式时，虽然它们的阻尼比尼比和和1/T所含的具体内容各不相同，但只要满足所含的具体内容各不相同，但只要满足01，则它们，则它们都是振荡环节。都是振荡环节。9/15/202430课件自动控制理论自动控制理论纯滞后环节纯滞后环节图图2-16纯滞后纯滞后 环节模拟电路图环节模拟电路图则则
22、如果如果9/15/202431课件自动控制理论自动控制理论第四节第四节 系统框图及其等效变换系统框图及其等效变换绘制系统方框图的一般步骤绘制系统方框图的一般步骤1、 写出系统中每一个部件的运动方程式写出系统中每一个部件的运动方程式2、 根据部件的运动方程式写出相应的传递函数，一个部件用一根据部件的运动方程式写出相应的传递函数，一个部件用一个方框表示在框中填入相应的传递函数个方框表示在框中填入相应的传递函数3、根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，并把系统的输、根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，并把系统的输入量置于系统方框图的最左端，输出量置于最右端入量置于系统方框图的最左端，输出量
23、置于最右端例例2-3 绘制图绘制图2-18所示电路的方框图所示电路的方框图1）列方程）列方程图图2-18 R-C网络网络9/15/202432课件自动控制理论自动控制理论2）画出上述两式对应的方框图）画出上述两式对应的方框图3）将两方框图按信号的流向依次连接，求得）将两方框图按信号的流向依次连接，求得2-19C的系统方框图的系统方框图例例2-4 绘制图绘制图2-2所示所示R-C网络方框图网络方框图1）列方程）列方程图图2-19 2-18所示电路系统框图所示电路系统框图9/15/202433课件自动控制理论自动控制理论2）画出上述四式对应的方框图，如图）画出上述四式对应的方框图，如图2-20a所
24、示所示3）根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，就得到图）根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，就得到图2-20b所所示的方框图示的方框图图图2-202-209/15/202434课件自动控制理论自动控制理论方框图的等效变换方框图的等效变换1、串联连接、串联连接图图2-23通式：通式：2、并联连接、并联连接图图-2-249/15/202435课件自动控制理论自动控制理论由图由图2-24得得通式：通式：3、反馈连接、反馈连接图图2-259/15/202436课件自动控制理论自动控制理论1）负反馈连接）负反馈连接2）正反馈连接）正反馈连接例如例如4、引出点移动、引出点移动1）引出点后移）引
25、出点后移图图2-269/15/202437课件2）引出点前移）引出点前移5、综合点移动、综合点移动1）综合点后移）综合点后移自动控制理论自动控制理论2）综合点前移）综合点前移9/15/202438课件自动控制理论自动控制理论例例2-27，求图，求图2-27所示系统的传递函数所示系统的传递函数C(s)/R(s)解解 将图中引出点将图中引出点A后移后移,然后从内回路到外回路逐步化简然后从内回路到外回路逐步化简,其过程为图其过程为图2-28所示所示图图2-279/15/202439课件自动控制理论自动控制理论图图2-289/15/202440课件设系统如图设系统如图2-30所示所示,图中图中R(s)
26、参数输入参数输入, D(s)扰动扰动1、开环传递函数、开环传递函数系统反馈量系统反馈量B(s)与误差信号与误差信号E(s)的比值称为开环传递函数。即的比值称为开环传递函数。即自动控制理论自动控制理论图图2-302、参改输入作用下的闭环传递函数、参改输入作用下的闭环传递函数令令D(s)=0，则图，则图2-30变为图变为图2-31第五节第五节 控制系统的传递函数控制系统的传递函数9/15/202441课件根据式（根据式（2-39）求得）求得自动控制理论自动控制理论图图2-31系统的输出为系统的输出为如果如果H(s)=1，则图，则图2-31所示的系统为单位反馈系统，它的闭环传递函数为所示的系统为单位
27、反馈系统，它的闭环传递函数为9/15/202442课件自动控制理论自动控制理论3、扰动、扰动D(s)作用下的闭环传递函数作用下的闭环传递函数令令r(t)=0，把图，把图2-30改画为图改画为图2-32，由该图求得，由该图求得9/15/202443课件图图2-33自动控制理论自动控制理论9/15/202444课件当系统同时受到当系统同时受到R(s)和和 D(s)作用时，由叠加原理得系统总的输出为作用时，由叠加原理得系统总的输出为自动控制理论自动控制理论系统总的误差为系统总的误差为9/15/202445课件第五节第五节 信号流图和梅逊公式的应信号流图和梅逊公式的应用用信号流图也是一种图示法，将它应
28、用于线性系统时必须先将系统的信号流图也是一种图示法，将它应用于线性系统时必须先将系统的微分方程组变成以微分方程组变成以S为变量的代数方程组，且把每个方程改写为下为变量的代数方程组，且把每个方程改写为下列的因果形式列的因果形式信号流图的基本组成单元有两个：节点和支路信号流图的基本组成单元有两个：节点和支路节点在图中用节点在图中用“O”表示，它表示系统中的变量；两变量间的因果关系用表示，它表示系统中的变量；两变量间的因果关系用一被称为支路的有向线段来表示。箭头表示信号的传输方向，两变量间一被称为支路的有向线段来表示。箭头表示信号的传输方向，两变量间的因果关系叫做增益，标明在相应的支路旁的因果关系叫
29、做增益，标明在相应的支路旁例一个线性方程为例一个线性方程为自动控制理论自动控制理论9/15/202446课件举例说明信号流图绘制的步骤。设一系统的线性方程组为举例说明信号流图绘制的步骤。设一系统的线性方程组为绘制的步骤如图绘制的步骤如图2-35所示。所示。自动控制理论自动控制理论图图2-35 方程组的信号流程方程组的信号流程9/15/202447课件信号流图的术语和性质信号流图的术语和性质1、术语、术语1）节点）节点代表系统中的变量代表系统中的变量,并等于所有流入该节点的信号之和。并等于所有流入该节点的信号之和。2）支路）支路信号在支路上按箭头的指向由一个节点流向另一个节点信号在支路上按箭头的
30、指向由一个节点流向另一个节点3）输入节点或源点）输入节点或源点相当于自变量，它只有输出支路。相当于自变量，它只有输出支路。4）输出节点或阱点）输出节点或阱点它是只有输入支路的节点，对应于因变量。它是只有输入支路的节点，对应于因变量。5）通路）通路沿着支路的箭头方向穿过各相连支路的途径，称为通路沿着支路的箭头方向穿过各相连支路的途径，称为通路 开通路开通路通路与任一节点相交不多于一次通路与任一节点相交不多于一次 闭通路闭通路通路的终点也是通路的起点，并且与任何其它节点相交通路的终点也是通路的起点，并且与任何其它节点相交 不多于一次不多于一次6）前向通路）前向通路从输入节点到输出节点的通路上，通过
31、任何节点不多于从输入节点到输出节点的通路上，通过任何节点不多于一次，此通路自然保护区为前向通路一次，此通路自然保护区为前向通路7）回路）回路就是闭环通路就是闭环通路8）不接触回路）不接触回路批一些回路间没有任何公共节点批一些回路间没有任何公共节点 9）前向通路增益）前向通路增益在前向通路中多支路增益的乘积。在前向通路中多支路增益的乘积。10）回路增益）回路增益回路中多支路增益的乘积。回路中多支路增益的乘积。自动控制理论自动控制理论9/15/202448课件2、性质、性质1）信号流图只适用于线性系统）信号流图只适用于线性系统2）支路表示一个信号对另一个信号的函数关系；信号只能沿着支路上）支路表示
32、一个信号对另一个信号的函数关系；信号只能沿着支路上的箭头指向传递的箭头指向传递3）要节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并反相加后的信号传送）要节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并反相加后的信号传送到甩有的输出支路到甩有的输出支路4）具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位增益的支）具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位增益的支路，可以把它作为输出节点来处理路，可以把它作为输出节点来处理5）对于一个给定的系统，其信号流图不是唯一的。）对于一个给定的系统，其信号流图不是唯一的。自动控制理论自动控制理论图图2-36列出了部分常见控制系统的方框图和相应的信号流图。列出了部分常见控制系统的方框图和相应的信号流图。9/15/202449课件图图2-36 框图与相应的信号流图框图与相应的信号流图自动控制理论自动控制理论9/15/202450课件梅逊增益公式梅逊增益公式梅逊公式用于计算输入节点与输出节点间的总增益，它用下式表示梅逊公式用于计算输入节点与输出节点间的总增益，它用下式表示自动控制理论自动控制理论9/15/202451课件图图2-37自动控制理论自动控制理论例例2-9 试用梅逊公式求系统的闭环传递函数试用梅逊公式求系统的闭环传递函数和和9/15/202452课件解：解：自动控制理论自动控制理论1）2）9/15/202453课件
