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1、12.3.1 等腰三角形的性质等腰三角形的性质动手做一做动手做一做ACBABCABC有什么特点有什么特点? ?有有两条边相等两条边相等的三角形叫做的三角形叫做等腰三角形等腰三角形. . 等腰三角形中，相等的两边都叫做等腰三角形中，相等的两边都叫做腰腰，另一边叫做另一边叫做底边底边，两腰的夹角叫做，两腰的夹角叫做顶角顶角，腰，腰和底边的夹角叫做和底边的夹角叫做底角底角.ACB腰腰底边底边顶顶角角底角底角底角底角 1 1、等腰三角形一腰为、等腰三角形一腰为3cm,3cm,底为底为4cm,4cm,则它的周长则它的周长是是 ； 2 2、等腰三角形的一边长为、等腰三角形的一边长为3cm,3cm,另一边长
2、为另一边长为4cm,4cm,则它的周长是则它的周长是 ； 3 3、等腰三角形的一边长为、等腰三角形的一边长为3cm,3cm,另一边长为另一边长为8cm,8cm,则它的周长是则它的周长是 。 10 cm10 cm 或 11 cm19 cm小试牛刀 把剪出的等腰三角形把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，沿折痕对折，找出其中重合的线段和角找出其中重合的线段和角. . 等腰三角形是轴对称图形吗？等腰三角形是轴对称图形吗？等腰三角形是轴对称图形，对称轴是对称轴是顶角平分线所在的直线顶角平分线所在的直线。重合的线段重合的线段重合的角重合的角 AC B D ABAC BDCD ADAD B C.BAD CA
3、DADB ADC 等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发现它的其他性质吗? 大胆猜想大胆猜想猜想与论证等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等。已知：ABC中，AB=AC求证：B=C分析：分析：1.如何证明两个角相等？如何证明两个角相等？ 2.2.如何构造两个全等的三角形？如何构造两个全等的三角形？ABCD 如何构造两个全等的三角形如何构造两个全等的三角形?ABC则有则有12D1 2在在ABD和和ACD中中证明证明: 作顶角的平分线作顶角的平分线AD，ABAC 12 ADAD （公共边）（公共边） ABD ACD （SAS） BC （全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等） ABC
4、则有则有 BDCDD在在ABD和和ACD中中证明证明: 作作ABC 的中线的中线ADABAC BDCDADAD （公共边）（公共边） ABD ACD （SSS） BC （全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等） ABC则有则有 ADBADC 90D在在RtABD和和RtACD中中证明证明: 作作ABC 的高线的高线ADABAC ADAD （公共边）（公共边） RtABDRtACD （HL） BC （全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等） 猜想与论证等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等。已知：ABC中，AB=AC求证：B=C分析：分析：1.如何证明两个角相等？如何证明两
5、个角相等？ 2.2.如何构造两个全等的三角形？如何构造两个全等的三角形？性质1(等边对等角)ABCD ABAC （已知）BC（等边对等角）想一想想一想: 刚才的证明除了能得到刚才的证明除了能得到BC 你还能发现什么你还能发现什么?重合的线段重合的线段重合的角重合的角 A B D C ABAC BDCD ADAD B C.BAD CAD ADB ADC=90 等腰三角形的等腰三角形的顶角顶角平分线平分线、底边底边上的中线上的中线、底底边边上的高上的高互相重合互相重合等腰三角形顶角的平分线平分底边并等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边且垂直于底边.性质2(等腰三角形三线合一)是真是假ABC
6、DAB=AC，BD=CD（已知）BAD=CAD，ADBC（ ）AB=AC，BAD=CAD （已知） BD=CD ，ADBC（ ）AB=AC， ADBC （已知） BD=CD ，BAD=CAD （ ）等腰三角形一个底角为等腰三角形一个底角为7070, ,它的顶角为它的顶角为_._.等腰三角形一个角为等腰三角形一个角为7070, ,它的另外两个角为它的另外两个角为 _._.等腰三角形一个角为等腰三角形一个角为110110, ,它的另外两个角为它的另外两个角为 _._. 顶角顶角+2+2底角底角=180=180 顶角顶角=180=1802 2底角底角 底角底角= =（180180顶角）顶角）2 20
7、0顶角顶角18018000底角底角9090结论结论: :在等腰三角形中在等腰三角形中,40 35 ，35 70，40或或55，55 例例1 已知：如图，房屋的顶角已知：如图，房屋的顶角BAC=100 , 过屋顶过屋顶A的立柱的立柱AD BC , 屋椽屋椽AB=AC. 求顶架上求顶架上B、C、BAD、CAD的度数的度数.ABDC例例2 已知：在已知：在ABC中，中，AB = AC，B = 80， 求求C 和和 A的度数。的度数。ABC例例3 如图，在如图，在ABC中中 ，AB=AC，点，点D在在AC上，且上，且 BD=BC=AD，求，求ABC各角的度数。各角的度数。ABCD解：解：AB=AC，B
8、D=BC=AD，ABC=C=BDC，A=ABD （等边对等角（等边对等角)设设A=x,则则BDC= A+ ABD=2x,从而从而ABC= C= BDC=2x,于是在于是在ABC中，有中，有A+ABC+C=x+2x+2x=180，解得解得x=36，在在ABC中，中， A=36，ABC=C=72x2x2x2x你能在图你能在图中找出几中找出几个等腰个等腰三角形？三角形？练习练习 如图，已知如图，已知ABC中，中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB，求，求A的度数的度数.如如图，在，在ABC中，点中，点D、E、F分分别在在BC、AB、AC上，上，BDCF，BECD，ABAC，DGEF于点于点G，
9、求，求证：EGFG。思考题谈谈你的收获！谈谈你的收获！ 轴对称图形轴对称图形两个底角相等，简称两个底角相等，简称“等边对等角等边对等角”顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高互相重合，互相重合，简称简称“三线合三线合 一一”性质1 : : 等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等 （简称“等边对等角”，前提是在同一个三角形中。） 性质2 : : 等腰三角形的等腰三角形的顶角的平分线、底顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。边上的中线、底边上的高互相重合。 （简称“三线合一”，前提是在同一个等腰三角形中。）1.已知：如图，已知：如图， AB
10、C中，中， ABC=50 , ACB=80 ,延长延长CB至至D,使使BD=BA,延长延长BC至至E,使使CE=CA .连结连结AD、AE.求求D、E、DAE的度数的度数 .ABCDE25401152.已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成：两部分，已知三角形底边长为，求腰长？：两部分，已知三角形底边长为，求腰长？解：如图，令解：如图，令CDx，则，则ADx，AB2x底边底边BC5BCCD5x ABAD3x(5+x)：3x2:1或或3x：(5+x)=2:1xx2x5x1或或x10当x1时，腰长AB2x2，225不合题意，应舍去。故x10，腰长为20
11、。如图：如图：ABC中，中，AB=AC，AD和和BE是高，它们相是高，它们相交于点交于点H，且，且AE=BE。 求证：求证：AH=2BD。ABCDEH证明：证明：AB=AC，AD是高，是高，BC=2BD12又又BE是高，是高，ADC=BEC=AEH=90在在AEH和和BEC中中AEHBEC(ASA)1+C=2+C=90 1=2 AEH=BECAE=BE1=2 AH=BCAH=2BD已知点A的坐标为（1，-1），在y轴上找一点P，使POA为等腰三角形.这样的点P共有多少个？xyoA（1，-1）P1P2P3P4其中，以OA为腰的三角形有OAP1、 OAP2、 OAP3，以OA为底的三角形有OAP4
