APMBCD..菱形菱形ABCD中，中，AB=10,∠ ∠BAD=600,M是边是边AB上的中点，上的中点，P是对角线是对角线AC上上一点一点.（（1）求）求PB+PM的最小值的最小值.（（2）求）求PB-PM的最大值，并指出此的最大值，并指出此时点时点P的位置的位置. ABA’P课课本本原原型型：：如如图图，，要要在在小小河河旁旁修修建建一一个个抽抽水水站站，，向向村村庄庄 A A、、B B供供水水，，水水站站应应建建在在什什么么地地方方，，才才能能使使从从A A，，B B到到它它的的距距离之和最短？离之和最短？小河小河 基本解法基本解法:利用对称性构利用对称性构 造三点共线造三点共线依据依据:两点之间线段最短两点之间线段最短 两条线段和的最小值两点之间，线段最短两条线段差的最大值三角形两边之差小于第三边当P运动到E时，PA＋PB最小当Q运动到F时，QD－QC最大 当P运动到E时，PA＋PB最小当Q运动到F时，QD－QC最大第一步，寻找、构造几何模型第二步，计算 ABCDM（（1）若）若M是是AB边上的中点，边上的中点，求求PM+PB的最小值的最小值.如图，正方形如图，正方形ABCD中，中，AB=2,P是对角线是对角线AC上一点上一点.PP利用对称性构利用对称性构造三点共线造三点共线 ABCDM点动线不动点动线不动点动线不动点动线不动（（2）若）若M、、N分别是分别是AB，，BC边边上的点，且上的点，且AM=CN=1/3AB,求求PM+PN的最小值的最小值.PNA组变式：点B换成了点N如图，正方形如图，正方形ABCD中，中，AB=2,P是对角线是对角线AC上一点上一点. ABCD（（3））连结连结QC，，点点P、、M是是QC、、BC上任意点，求上任意点，求PM+PB的的最小值。
最小值B组变式：改动了对称轴的位置，点M变成了动点如图，正方形如图，正方形ABCD中，中，AB=2,Q是是AB中点，中点，QB’MP点线一起动点线一起动点线一起动点线一起动PM 线段和的最值问题线段和的最值问题课本例题或常见题课本例题或常见题考题考题如何去解？如何去解？化归化归来来源源引申、条件变换、背景转换、引申、条件变换、背景转换、增加解题层次性等增加解题层次性等1.分清定点、动点、对称轴分清定点、动点、对称轴2.利用对称性构造三点共线利用对称性构造三点共线 09济南24已知在对抛物线的称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小，请求出点P的坐标 . 要求要求△△PBCPBC的周长最小？的周长最小？第一步第一步 寻找、构造几何模型寻找、构造几何模型只要只要PBPB++PCPC最小就好了！最小就好了！经典模型：经典模型：建水站！建水站！ 把把PBPB++PCPC转化为转化为PAPA++PCPC ！！当当PP运动到运动到HH时，时，PAPA++PCPC最小最小第二步第二步 计算计算————勾股定理勾股定理 09内江27对于动点Q（1，n），求PQ+QB的最小值 . 要求要求PQPQ++QBQB的最小值？的最小值？第一步第一步 寻找、构造几何模型寻找、构造几何模型经典模型：经典模型：建水站！建水站！ 把把PQPQ++QBQB转化为转化为PQPQ++QAQA ！！当当运动到运动到EE时，时，PQPQ++QAQA最小最小第二步第二步 计算计算————勾股定理勾股定理 第二步第二步 计算计算————勾股定理勾股定理把把PQPQ++QBQB转化为转化为PQPQ++QAQA ！！当当运动到运动到EE时，时，PQPQ++QAQA最小最小 小结小结E? F! 08福州22在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由. 08福州22要求四边形要求四边形MNFEMNFE的的周长最小？周长最小？把三条线段转移到同一把三条线段转移到同一条直线上就好了！条直线上就好了！第一步第一步 寻找、构造几何模型寻找、构造几何模型 第二步第二步 计算计算————勾股定理勾股定理 小结小结经典模型：经典模型：台球两次碰壁问题台球两次碰壁问题经验储存：经验储存：没有经验，难有思路没有经验，难有思路 2010 南通28设直线AB上的点D的横坐标为－1，P（m，n）是抛物线y＝1/4x2-1上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的 面积． •过点P作PH⊥L，垂足为H，延长HP交x轴于点G，•设P（m,n）则•∴•∴•∵•∴OP=PH•要使△PDO的周长最小，因为OD是定值，所以只要OP+PD最小，•∵OP=PH•∴只要PH+PD最小•根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
可知，当点D、P、H三点共线时，PH+PD最小，•因此，当点D、P、H三点共线时，△PDO的周长最小 线段和的最值问题线段和的最值问题课本例题或常见题课本例题或常见题考题考题如何去解？如何去解？化归：（利用对称性构化归：（利用对称性构造三点共线）造三点共线）来来源源引申、条件变换、移植转引申、条件变换、移植转换、增加解题层次性等换、增加解题层次性等 已知抛物线 若一个动点Ｍ自Ｐ(0,1)出发，先到达对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A确定使点M运动的总路径最短的点F的位置，并求出这个最短路程的长yoX1-1(0,2)A(0,2)A•(0,1)P•A’(5,2)F课堂练习 1 yoXC1-1(0,2)A(0,2)A•(0,1)P•F变一一变 若一个动点Ｍ自Ｐ出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A确定使点M运动的总路径最短的点E、点F的位置，并求出这个最短路程的长E yoXC1-1(0,2)A(0,2)A•(0,1)P•A’(5,2)F变一一变 若一个动点Ｍ自Ｐ(0,1)出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A。
确定使点M运动的总路径最短的点E、点F的位置，并求出这个最短路程的长EP’ • 在平面直角坐标系中，矩形的顶点在平面直角坐标系中，矩形的顶点O O在坐标原点，在坐标原点，顶点顶点A A、、B B分别在分别在x x轴、轴、y y轴的正半轴上，轴的正半轴上，OA=3OA=3，，OB=4OB=4，，D D为边为边OBOB的中点的中点. .•（（ⅠⅠ）若）若E E为边为边OAOA上的一个动点，当上的一个动点，当△△CDECDE的周长的周长最小时，求点最小时，求点E E的坐标；的坐标；•（（ⅡⅡ）若）若E E、、F F为边为边OAOA上的两个动点，且上的两个动点，且EF=2EF=2，当，当四边形的周长最小时，求点四边形的周长最小时，求点E E、、F F的坐标的坐标. .课堂练习课堂练习 2 2 课堂练习课堂练习 2 2 课堂练习课堂练习 2 2 如图：已知点Ａ（如图：已知点Ａ（-4-4，，8 8）和点Ｂ（）和点Ｂ（2 2，ｎ）在抛物线ｙ＝ａｘ，ｎ）在抛物线ｙ＝ａｘ２２上，上，（（1)1)求ａ的值及点Ｂ关于Ｘ轴对称点Ｐ的坐标，并在Ｘ轴上找一点Ｑ，求ａ的值及点Ｂ关于Ｘ轴对称点Ｐ的坐标，并在Ｘ轴上找一点Ｑ，使得ＡＱ＋ＱＢ最短，求出点Ｑ的坐标；使得ＡＱ＋ＱＢ最短，求出点Ｑ的坐标；（（2 2）平移抛物线ｙ＝ａｘ）平移抛物线ｙ＝ａｘ２２ ，记平移后点Ａ的对应点为Ａ，记平移后点Ａ的对应点为Ａˊˊ，点Ｂ的，点Ｂ的对应点为Ｂ对应点为Ｂˊˊ，点Ｃ（，点Ｃ（-2-2，，0 0）和Ｄ（）和Ｄ（-4-4，，0 0）是Ｘ轴上的两个定点．）是Ｘ轴上的两个定点． ①①当抛物线向左平移到某个位置当抛物线向左平移到某个位置 时，Ａ 时，ＡˊˊＣ＋ＣＢＣ＋ＣＢˊˊ最短，求最短，求 此时抛物线的函数解析式； 此时抛物线的函数解析式； ②②当抛物线向左或向右平移时，当抛物线向左或向右平移时， 是否存在某个位置，使 是否存在某个位置，使四四边边 形Ａ 形ＡˊˊＢＢˊˊＣＤ的周长最短？若ＣＤ的周长最短？若 存在求出此时抛物线的解析式； 存在求出此时抛物线的解析式； 若不存在，请说明理由。
若不存在，请说明理由课堂练习课堂练习 3 34x22A8-2O-2-4y6BCD-44 • •解：解：(1) (1) 将点将点A A(-4(-4，，8)8)的坐标代入的坐标代入 ，解得，解得 ．．•将点将点B B(2(2，，n n) )的坐标代入的坐标代入 ，求得点，求得点B B的坐标为的坐标为(2(2，，2)2)，，•则点则点B B关于关于x x轴对称点轴对称点P P的坐标为的坐标为(2(2，，-2)-2)．． •直线直线APAP的解析式是的解析式是 ．． •令令y y=0=0，得，得 ．即所求点．即所求点Q Q的坐标是的坐标是( ( ，，0)0)．． 课堂练习课堂练习 3 3 （2）①①设将抛物线向左平移设将抛物线向左平移m m个单位，则平移后个单位，则平移后A A′′，，B B′′的坐标分别为的坐标分别为A A′(-4-′(-4-m m，，8)8)和和B B′(2-′(2-m m，，2)2)，点，点A A′′关于关于x x轴对称点的坐标为轴对称点的坐标为A A′′(-4-′′(-4-m m，，-8)-8)．．•直线直线A A′′′′B B′′的解析为的解析为 ．．•要使要使A A′′C C+ +CBCB′′最短，点最短，点C C应在直线应在直线A A′′′′B B′′上，上，•将点将点C C(-2(-2，，0)0)代入直线代入直线A A′′′′B B′′的解析式，解得的解析式，解得 ．．•故将抛物线故将抛物线 向左平移向左平移 个单位时个单位时A A′′C C+ +CBCB′′最短，此时抛物线的函数解析式为最短，此时抛物线的函数解析式为 ．． 课堂练习课堂练习 3 3 • ②② 左右平移抛物线，因为线段 左右平移抛物线，因为线段A A′′B B′′和和CDCD的长是定值，所以要使四边形的长是定值，所以要使四边形A A′′B B′′CDCD的周长最短，只要使的周长最短，只要使A A′′D D+ +CBCB′′最短；最短； •第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A A′′D D+ +CBCB′>′>ADAD+ +CBCB，因此不存在，因此不存在某个位置，使四边形某个位置，使四边形A A′′B B′′CDCD的周长最短．的周长最短．•第二种情况：设抛物线向左平移了第二种情况：设抛物线向左平移了b b个单位，则点个单位，则点A A′′和点和点B B′′的坐标分别为的坐标分别为A A′′(-4-(-4-b b，，8)8)和和B B′(2-′(2-b b，，2)2)．．•因为因为CDCD=2=2，因此将点，因此将点B B′′向左平移向左平移2 2个单位得个单位得B B′′(-′′(-b b，，2)2)，，•要使要使A A′′D D+ +CBCB′′最短，只要使最短，只要使A A′′D D+ +DBDB′′′′最短．最短．•点点A A′′关于关于x x轴对称点的坐标为轴对称点的坐标为A A′′(-4-′′(-4-b b，，-8)-8)，，•直线直线A A′′′′B B′′′′的解析式为的解析式为 ．．•要使要使A A′′D D+ +DBDB′′′′最短，点最短，点D D应在直线应在直线A A′′′′B B′′′′上，将点上，将点D D(-4(-4，，0)0)代入直线代入直线A A′′′′B B′′′′的解析式，解得的解析式，解得 ．．•故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A A′′B B′′CDCD的周长最短，此时的周长最短，此时抛物线的函数解析式为抛物线的函数解析式为 ．． 课堂练习课堂练习 3 3 。