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1、第一章第一章分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象研究对象 研究方法研究方法 研究桥梁研究桥梁函数与极限函数与极限 17世纪（世纪（1763年）年）Descartes建立了解析几何，同建立了解析几何，同时把变量引入数学，对数学的发展产生了巨大的影时把变量引入数学，对数学的发展产生了巨大的影响，使数学从研究常量的初等数学进一步发展到研响，使数学从研究常量的初等数学进一步发展到研究变量的高等数学。究变量的高等数学。微积分是高等数学的一个重要微积分是高等数学的一个重要的组成部分，是研究变量间的依赖关系的组成部分，是研究变量间的依赖关系函数的函数的一门学科，是学习其它自然科学的基础。
2、一门学科，是学习其它自然科学的基础。 高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和分析运算数的分析性质（连续、可导、可积等）和分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。那么高等数学（极限运算、微分法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方法就是极限方法，用什么方法研究函数呢？这个方法就是极限方法，也称为无穷小分析法。也称为无穷小分析法。从方法论的观点来看，这是从方法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志。高等数学区别于初等数学的一个显著标志。 高等数学中几乎所有的概念都离不开极限，因此高等数学中
3、几乎所有的概念都离不开极限，因此极限概念是高等数学的重要概念，极限理论是高等数极限概念是高等数学的重要概念，极限理论是高等数学的基础理论，极限是高等数学的精华所在，是高等学的基础理论，极限是高等数学的精华所在，是高等数学的灵魂。数学的灵魂。因此很好地理解极限概念是学习好微积因此很好地理解极限概念是学习好微积分的关键，同时也是从初等数学迈入高等数学的一个分的关键，同时也是从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯。重要阶梯。 本章我们首先介绍极限理论的基本概念、运算和本章我们首先介绍极限理论的基本概念、运算和性质，然后讨论函数的连续性。性质，然后讨论函数的连续性。重点重点 极限概念，无穷小与极限的关系
4、，极限运算法则，极限概念，无穷小与极限的关系，极限运算法则，两个重要极限，连续概念，初等函数的连续性，间断两个重要极限，连续概念，初等函数的连续性，间断点及其分类点及其分类难点难点极限概念及求极限的方法技巧极限概念及求极限的方法技巧基本要求基本要求能准确叙述并深刻理解极限定义，明确其几何意能准确叙述并深刻理解极限定义，明确其几何意义，会用定义验证极限义，会用定义验证极限正确理解无穷小量及其与极限的关系正确理解无穷小量及其与极限的关系牢固掌握极限运算法则，极限的性质，尤其是函牢固掌握极限运算法则，极限的性质，尤其是函数数 极限的保号性质极限的保号性质理解极限存在准则，熟记两个重要极限及其证明理解
5、极限存在准则，熟记两个重要极限及其证明 方法，灵活地运用它们及各种变形公式求极限方法，灵活地运用它们及各种变形公式求极限正确理解连续概念，理解间断点的分类正确理解连续概念，理解间断点的分类理解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数理解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质的性质二、映射二、映射 三、函数三、函数 一、集合一、集合第一节第一节映射与函数映射与函数一、集合一、集合1.1.集合集合: :具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.有限集有限集无限集无限集数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-
6、整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:例如例如不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.例如例如,规定规定空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.2.2.区间区间: :是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义: :两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.3.3.邻域邻域: :
7、4.4.绝对值绝对值: :运算性质运算性质:绝对值不等式绝对值不等式: :绝对值不等式的两个变形公式：绝对值不等式的两个变形公式：二、映射二、映射定义定义.设设 X , Y 是两个非空集合是两个非空集合,若若存在一个对应规存在一个对应规则则 f , 使得使得有有唯一确定的唯一确定的与之对应与之对应 , 则则称称 f 为从为从 X 到到 Y 的的映射映射,记作记作元素元素 y 称为元素称为元素 x 在映射在映射 f 下的下的 像像 , 记作记作元素元素 x 称为元素称为元素 y 在映射在映射 f 下的下的 原像原像 .集合集合 X 称为映射称为映射 f 的的定义域定义域 ;Y 的子集的子集称为称
8、为 f 的的 值域值域 .注意：注意：1) 映射是集合间的一种对应关系映射是集合间的一种对应关系. . 集合集合 X 、Y中所含的元素不一定是数，可以是其它的中所含的元素不一定是数，可以是其它的一一些些对象对象 ( ( 或事物或事物 ) )。2) 对对每每一一个个x X，只只有有唯唯一一的的一一个个y Y 值值与与 之之对应关系不一定就是映射。对应关系不一定就是映射。对应，这一点很重要，它说明集合间元素的对应，这一点很重要，它说明集合间元素的3) 映射的定义不排除几个不同的映射的定义不排除几个不同的 x 值与同一个值与同一个y 值对应。值对应。对映射对映射若若, 则称则称 f 为为满射满射;
9、若若有有 则则称称 f 为为单射单射;若若 f 既是满射又是单射既是满射又是单射, 则则称称 f 为为双射双射 或或一一映射一一映射. 一一映射的实质一一映射的实质三、函数三、函数定义域定义域定义定义. 设数集设数集则称则称映射映射为定义在为定义在D 上的函数上的函数 ,记为记为 f ( D ) 称为值域称为值域 函数图形函数图形:自变量自变量因变量因变量(对应规则对应规则)(值域值域)(定义域定义域)例如例如, 反正弦主值反正弦主值 定义域定义域 对应规律对应规律的表示方法的表示方法: 解析法解析法、图象法、图象法、列表法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量使表达式及实际问题都有意义的
10、自变量集合集合.定义域定义域值域值域又如又如, 绝对值函数绝对值函数定义域定义域值值 域域如果自变量在定义域内任取一个数值时，对如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函单值函数数，否则叫做，否则叫做多值函数多值函数问题：多值函数与单值函数的区别在哪里？问题：多值函数与单值函数的区别在哪里？ 根据函数的定义，多值函数本质上不是函数，根据函数的定义，多值函数本质上不是函数，只是在使用时为了方便起见，仍然把它叫做只是在使用时为了方便起见，仍然把它叫做“函函数数”！几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例 (1) 符号函数符号函数
11、1-1xyo(2) 取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 x 的最大整的最大整数数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线(3) 狄利克雷函狄利克雷函数数有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(4) 取最值函数取最值函数yxoyxo在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.(5)绝对值函数绝对值函数oxy定义域定义域R值域值域三、函数的特性三、函数的特性1函数的有界性函数的有界性:M-Myxoy=f(x)X有界有界M-My
12、xoX无界无界成立，则称函数 y = f ( x )在区间 I 上是上方有界的, 简称有上界上界。设函数 y = f ( x ) 在区间I 上有定义。 若存在实数 M (可正，可负)，对一切 x I 恒有y = f ( x )f ( x ) M f ( x )m在区间 I 上是下方有界的, 简称有下界下界。设函数 y = f ( x )在区间 I 上有定义。若存在实数 m (可正，可负), 对一切 x I 恒有 成立，则称函数 y = f ( x )y = f ( x ) 函数函数 y = f ( x ) 有界有界f ( x ) 既有上界又有下界既有上界又有下界.在区间在区间 I 上上:xyA
13、BO如何证明或判断函数无界？提一个问题：证明或判断无界，通常依据证明或判断无界，通常依据: :函数函数 y = f (x) 在区间在区间 I 上无界，上无界，则不论则不论 M 0 的值取得多么大，的值取得多么大， 总总使得使得 | f ( x0 ) | M 成立成立。易知：易知：例例解解在其在其定义域定义域内是无界的。内是无界的。 故函数故函数在任何一个有限区间内有界。在任何一个有限区间内有界。2函数的单调性函数的单调性:xyoxyo3函数的奇偶性函数的奇偶性:yxox-x偶函数偶函数yxox-x奇函数奇函数4函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是
14、指其最小正周期周期）.5. 反函数与复合函数反函数与复合函数(1) 反函数的概念及性质反函数的概念及性质若函数若函数为为单射单射, 则存在逆映射则存在逆映射习惯上习惯上,的反函数记成的反函数记成称此称此映射映射为为 f 的的反函数反函数 .其反函数其反函数(减减)(减减) .1) yf (x) 单调递增单调递增且也单调递增且也单调递增 性质性质: 2) 函数函数与其反函数与其反函数的图形关于直线的图形关于直线对称对称 .例如例如 ,对数函数对数函数互为反函数互为反函数 ,它们都单调递增它们都单调递增, 其其图形关于直线图形关于直线对称对称 .指数函数指数函数(2) 复合函数复合函数 则则设有函
15、数链设有函数链称为由称为由, 确定的确定的复合函数复合函数 , 复合映射的特例复合映射的特例 u 称为称为中间变量中间变量. 注意注意: 构成复合函数的条件构成复合函数的条件 不可少不可少. 例如例如, 函数链函数链 :函数函数但但函数链函数链不能构成复合函数不能构成复合函数 .可定义复合可定义复合两个以上函数也可构成复合函数两个以上函数也可构成复合函数.例如例如, 可定义复合函数可定义复合函数:四四. . 初等函数初等函数(1) 基本初等函数基本初等函数常数函数、幂函数、常数函数、幂函数、指数函数、指数函数、对数函数、对数函数、三角函数、三角函数、反三角函数反三角函数(2) 初等函数初等函数
16、 由常数及基本初等函数由常数及基本初等函数经过有限次四则运经过有限次四则运算和复合步骤所构成算和复合步骤所构成 , ,并可用一个式子表示并可用一个式子表示的函数的函数 , ,称为初等函数称为初等函数 . .否则称为否则称为非初等函非初等函数数 . . 例如例如 都是初等函数都是初等函数. . 一般说来, 分段函数不是初等函数. 但有个别分段函数例外，例如但有个别分段函数例外，例如因为它可以改写为初等函数因为它可以改写为初等函数的形式的形式. .幂指函数幂指函数是否为初等函数？是否为初等函数？它是由它是由与与构成的复合函数构成的复合函数,故该幂指函数是一个初等函数故该幂指函数是一个初等函数.例例解解附录：几类基本初等函数图像附录：几类基本初等函数图像1.幂函数幂函数2.指数函数指数函数3.对数函数对数函数4.三角函数三角函数正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数余切函数余切函数正割函数正割函数余割函数余割函数5.反三角函数反三角函数 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和三角函数和反三角函数统称为反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.其它内容请同学们自己看书 作业(自做) P21 6 (5),(8) ,(10); 8; 10; 11; 15 ; 18; 19; 20
