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1、1证略证略.第四节第四节 多元复合函数与隐函数微分法多元复合函数与隐函数微分法一、多元复合函数微分法一、多元复合函数微分法1.1.复合函数的中间变量均为一元函数的情形复合函数的中间变量均为一元函数的情形 2以上公式中的导数以上公式中的导数 称为全导数称为全导数.3解解例例1 142.2.复合函数的中间变量均为多元函数的情形复合函数的中间变量均为多元函数的情形链式法则如图示链式法则如图示5链式法则如图示链式法则如图示2.2.复合函数的中间变量均为多元函数的情形复合函数的中间变量均为多元函数的情形67解解例例2 28解解例例3 39解解例例4 4用求导法则，用求导法则，由对称性可知，由对称性可知，
2、10证证例例5 5所以所以记记11证证例例6 6所以所以记记12一阶全微分的形式不变性一阶全微分的形式不变性回忆：回忆：结论：结论：此性质称为一阶微分的形式不变性此性质称为一阶微分的形式不变性. . 13可以证明，可以证明，仍有公式仍有公式 这就是说，不论这就是说，不论x,yx,y是自变量还是中间变量，其微是自变量还是中间变量，其微分形式不变，称为一阶微分的形式不变性分形式不变，称为一阶微分的形式不变性. . 一阶全微分的形式不变性一阶全微分的形式不变性14解解例例1010 求下列函数的偏导数和全微分求下列函数的偏导数和全微分. . 所以所以15解解所以所以例例1010 求下列函数的偏导数和全
3、微分求下列函数的偏导数和全微分. . 16二、隐函数微分法二、隐函数微分法一元隐函数存在定理一元隐函数存在定理 证略证略. . 17推导：推导： 等式两边对等式两边对x x求导，求导， 18例例1010解法解法1 1所以所以19方程两方程两边关于关于x x求求导, ,得得 解得解得例例1010解法解法2 220二元隐函数存在定理二元隐函数存在定理 证略证略. . 21推导：推导： 22例例1111解法解法1 1所以所以23方程两方程两边关于关于x x 求偏求偏导数数, , 例例1111解法解法2 2方程两方程两边再关于再关于y y 求偏求偏导数数, , 24方程两方程两边求全微分求全微分, , 例例1111解法解法3 3解得解得 从而从而25例例1212解解方程两方程两边关于关于x x 求偏求偏导数数, , 代入上式得代入上式得求求26方程两方程两边关于关于y y 求偏求偏导数数, , 例例1212解解求求27例例1313解解对方程两方程两边微分，微分，解得解得28例例1414证证方程两方程两边关于关于x x求偏求偏导，解得解得类似地类似地, ,所以所以
