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1、第一章第一章 无穷小与极限无穷小与极限1.1 无穷小无穷小 数列无穷小数列无穷小1 函函数无穷小数无穷小无穷小性质与无穷大无穷小性质与无穷大1.1.1 数列无穷小数列无穷小1. 数列的定义数列的定义数列数列是指定义在正整数集上的函数是指定义在正整数集上的函数依按自变量增大的次序依按自变量增大的次序, 数列的对应值可以排成数列的对应值可以排成 2称为数列的称为数列的通项通项(或一般项或一般项),数列简记为数列简记为如如, 简记为简记为简记为简记为简记为简记为简记为简记为32. 数列的几何表示法数列的几何表示法数列中可看作数轴上的一个动点数列中可看作数轴上的一个动点. .表示表示n 无限增大的过程
2、无限增大的过程. .3. 数列的变化过程包含两个相关的无限过程：数列的变化过程包含两个相关的无限过程：自变量自变量n的主动变化过程的主动变化过程: :不断增大不断增大( 每次加每次加1 ), 可以大于每个固定的正数可以大于每个固定的正数.4即即 与与0 的距离可以的距离可以如果如果n 可以大于任意给定的正数可以大于任意给定的正数, 那么那么就可以小于任意给定的正数就可以小于任意给定的正数.我们称我们称 无限接近于无限接近于0. 任意小任意小,因变量的被动变化过程因变量的被动变化过程: :数列数列 的变化趋势可以概述为：的变化趋势可以概述为： 无论给定一个多么小的正数无论给定一个多么小的正数 都
3、可以有都可以有 只要只要 即可即可.数列数列 是无穷小是无穷小. 此时我们称当此时我们称当n 无限增大时无限增大时,5定义定义1.1 (数列无穷小数列无穷小) 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数都存在正整数都存在正整数N, 使得当使得当 时，时，不等式不等式成立成立，记为记为或或则称则称数列数列 是无穷小是无穷小. 设设 为数列，为数列，6几何解释几何解释:只有有限个只有有限个 (至多有至多有N 个个)落在其外落在其外.定义定义:7定理定理1.1 (无穷小比较定理无穷小比较定理1) 证证由定义由定义,故故 也是无穷小也是无穷小.设设 为无穷小为无穷小,则则 也是无穷小也是无穷小.使得对于所有正整数使得对于所有正整数 n, 如果存在正数如果存在正数 C,8例例1 证明证明: 如果如果 则则 为无穷小为无穷小.证证则则 也是确定数也是确定数. 因因 是无穷小是无穷小, 所以所以 即即 是无穷小是无穷小.(由幂函数由幂函数在在 上单调增加上单调增加) 9例例2 证明下列数列都是无穷小：证明下列数列都是无穷小： 证证 因因10(4)因为因为 是无穷小是无穷小,注意到注意到 根据根据定理定理及例及例1,可知上述四个数列可知上述四个数列都是无穷小都是无穷小.11解解 因因且且因此因此, 不是不是无穷小无穷小.例例3 设设 则数列则数列 不是不是无穷小无穷小.注注:12
