《西北工业大学矩阵论课件PPT第一章例题 矩阵的相似变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《西北工业大学矩阵论课件PPT第一章例题 矩阵的相似变换（83页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、例例求下列矩阵的特征值与特征向量：求下列矩阵的特征值与特征向量：1)1)第一章第一章 矩阵的相似变换矩阵的相似变换 1 基本概念基本概念 解解 A的特征的特征值为对于对于求解求解由于由于同解方程组为同解方程组为基础解系为基础解系为故对应故对应的所有特征向量为的所有特征向量为对于对于求解求解由于由于同解方程组为同解方程组为 特征向量为特征向量为 对于对于求解求解由于由于同解方程同解方程组为 特征向量特征向量为2)2)解解 A的特征值为的特征值为求解求解由于由于基础解系为基础解系为对应对应的所有特征向量为的所有特征向量为不全不全为0) 同解方程组为同解方程组为3)3) 解解 A的特征的特征值为对于
2、对于求解求解由于由于同解方程组为同解方程组为 基础解系为基础解系为对应对应的全部特征向量为的全部特征向量为对于对于求解求解由于由于同解方程组为同解方程组为 即对应即对应有有3个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量全部特征向量为全部特征向量为不全不全为0) 例例 下列矩阵是否可对角化？下列矩阵是否可对角化？若可以，试求出若可以，试求出相似变换矩阵和相应的对角矩阵：相似变换矩阵和相应的对角矩阵：1)1)解解A的特征值为的特征值为因为因为A的特征值互异，的特征值互异， 所以所以A可对角化。可对角化。又对应的特征向量分别为又对应的特征向量分别为可求得可求得2 相似对角化相似对角化 故相似变换阵故相似
3、变换阵使得使得2)2)解解所以所以A的特征值为的特征值为 对应三重特征值对应三重特征值2有两个线性无关的特征向量有两个线性无关的特征向量故故A不可对角化。不可对角化。可求得可求得3)3)解解对应三重特征值对应三重特征值2有三个线性无关的特征向量有三个线性无关的特征向量故故A可对角化。可对角化。又对应又对应的特征向量为的特征向量为故相似变换阵故相似变换阵可求得可求得所以所以A的特征值为的特征值为 使得使得 例例试求试求解解其中其中于是于是 已知已知 可求得可求得例例解解求解一阶线性常系数微分方程组求解一阶线性常系数微分方程组令令则微分方程组可写成矩阵形式则微分方程组可写成矩阵形式 可求得可求得使
4、得使得令令其中其中 注意到注意到 代人前一式得代人前一式得即即 写成分量形式为写成分量形式为解之得解之得 故得故得 任意任意) ) 例例解解所以所以A的特征值为的特征值为 又对应又对应有有2个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量求下列矩阵的求下列矩阵的Jordan标准形：标准形：1) 1) 可求得可求得3 Jordan 标准形介绍标准形介绍 故故A的的Jordan标准形为标准形为( (或或 2) 2) 解解所以所以A的特征值为的特征值为 可求得可求得故故A的的Jordan标准形为标准形为( (或或 又对应又对应只有一个线性无关的特征向量只有一个线性无关的特征向量上述方法的缺点是，上述方法的缺
5、点是，当当A的某个特征值的重数为的某个特征值的重数为4或大于或大于4时，时， 其对应的其对应的Jordan块可能无法确定。块可能无法确定。 例例 解解 求求 的的Jordan标准形。标准形。 注注可求得可求得且且 此时此时A对应对应5重特征值重特征值1有有3个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，直接按特征向量法无法确定直接按特征向量法无法确定A的的Jordan标准形。标准形。设设则则可求得可求得且且 所以所以A1和和A2的的Jordan标准形分别为标准形分别为且且 故故A的的Jordan标准形为标准形为求用求用所得的商式和余式。所得的商式和余式。除除例例 已知多项式已知多项式解解 可求得
6、可求得故以故以 g ()除除 f () 所得的所得的商式为商式为余余式为式为例例解解用初等变换化为用初等变换化为Smith求下列矩阵的求下列矩阵的Jordan标准形：标准形：1)1)第一步：第一步：对对标准形：标准形：从而从而A的不变因子为的不变因子为第二步：第二步：( (此此处是是和和分解成关于分解成关于 的不同的的不同的一次因式方一次因式方幂的乘的乘积，本本题中中A的初等因子为的初等因子为 和和再把再把A的每个次数大于零的不变因子的每个次数大于零的不变因子并分别写出这些方幂并分别写出这些方幂( (相同的按出现的次数计数相同的按出现的次数计数) )， 称之为称之为A的的初等因子，初等因子，第
7、三步：第三步：作出作出Jordan块块 对每个初等因子对每个初等因子阶阶所有初等因子对应的所有初等因子对应的Jordan块构成的块构成的Jordan矩阵矩阵 J即是即是A的的Jordan标准形。标准形。 本题中本题中A的的Jordan标准形为标准形为2) 2) 解解 A的不变因子为的不变因子为A的初等因子为的初等因子为 A的的Jordan标准形准形为 例例 已知一个已知一个12阶矩阵的不变因子是阶矩阵的不变因子是求求A的的Jordan标准形。标准形。解解 A的初等因子为的初等因子为 故故A的的Jordan标准形为：标准形为：例例解解 求下列矩阵的求下列矩阵的Jordan标准形：标准形：1)1)
8、 一阶子式共有一阶子式共有9个，个， 显然显然二阶子式共有二阶子式共有个：个： 所以所以 又又 故故 从而从而A的不变因子为的不变因子为 A的初等因子为的初等因子为 A的的Jordan标准形准形为 2) 2) 解解 其中三阶子式其中三阶子式故故 从而从而 又有又有所以所以 A的不变因子为的不变因子为A的初等因子为的初等因子为 A的的Jordan标准形准形为 3)3)解解 中有一个中有一个5阶子式阶子式 所以所以又又A的不变因子为的不变因子为 A的初等因子为的初等因子为 A的的Jordan标准形为标准形为例例 解解 中中3阶子式阶子式求矩阵求矩阵的的Jordan标准形。标准形。因为因为整除所有整
9、除所有3阶子式，且阶子式，且所以所以A的不变因子为的不变因子为故故A的的Jordan标准形准形为 例例的的Jordan标准形标准形 J 及所用的相似变换阵及所用的相似变换阵 P。解解求矩阵求矩阵已求得已求得A的的Jordan标准形为标准形为设设 即按列分块，即按列分块，则由则由 即即得得即即 也即也即 由上式可见，由上式可见，分别是特征值分别是特征值1和和3对应的对应的可利用已求出的可利用已求出的求解非齐次方程组求解非齐次方程组而而特征向量，特征向量， 而而作为右端项，作为右端项，得到，得到，又可又可由求解非齐次方程组由求解非齐次方程组得到。得到。可求得特征值可求得特征值1对应的特征向量为对应
10、的特征向量为取取求解求解 由于由于同解方程组为同解方程组为 令令得得再求解再求解由于由于 同解方程组为同解方程组为 令令 得得取取为对应特征特征值3的特征向量的特征向量故相似故相似变换阵使得使得是特征值是特征值1的广义特征向量。的广义特征向量。注注 称称它们不是唯一的。它们不是唯一的。例例的的Jordan标准形和所用的相似变换阵。标准形和所用的相似变换阵。解解 求矩阵求矩阵A的特征值为的特征值为求解求解 由于由于同解方程同解方程组为基基础解系解系为从而从而A的的Jordan标准形为标准形为 若设若设 使得使得则有则有可可见应取取对应特征特征值的两个的两个线性无关性无关的特征向量。的特征向量。(
11、 (注注为得到为得到求解方程组求解方程组即即 这是矛盾方程是矛盾方程组。) ) 若取若取处理方法如下：处理方法如下： 取定取定 又令又令只要只要则则也是对应也是对应选择其中的系数选择其中的系数使使的特征向量，的特征向量，满足两点满足两点:（1 1）与）与（2 2）使方程组）使方程组由于由于 线性无关；线性无关；有解。有解。可见，可见，方程组有解。方程组有解。则则它与它与又同解方程组为又同解方程组为时，时，取取线性无关。线性无关。当当令令 得得故相似变换阵故相似变换阵使使 当一个重特征当一个重特征值对应2个及个及2个以上的个以上的Jordan注注块时，块时，经常要作这样的处理，经常要作这样的处理
12、，应加以注意。应加以注意。例例的的n个特征值为个特征值为证明证明 证证取行列式即得。取行列式即得。 设设根据根据Jordan标准形理论，标准形理论， 存在存在n阶可逆阵阶可逆阵P使使( (其中其中*代表代表0或或1) )例例求求已知已知解解其中其中可求得可求得故故 例例解解其中其中求解微分方程组求解微分方程组首先化为矩阵形式首先化为矩阵形式可求得可求得其中其中令令其中其中代入方程得代入方程得即即写成分量形式为写成分量形式为由第由第1,3个方程解得个方程解得 这是一阶线性微分方程，这是一阶线性微分方程，故故 任意任意) ) 代入第代入第2个方程得个方程得 其解为其解为例例求求2 2) )已知已知
13、1)1)解解1)1) 用带余除法用带余除法4 Hamilton-Cayley定理定理 设设 用用可得可得 由于由于所以所以除除其中其中A的特征多项式为的特征多项式为2)2)需求出需求出注意注意满足满足又对又对(*)(*)式求导得式求导得 解得解得 用待定系数法用待定系数法设设(*)(*)(*)(*)将将代入代入(*)(*)式和上式并利用式和上式并利用(*)(*)式得式得故故 例例试将试将表为表为A的二次多项式。的二次多项式。解解 A的特征多项式为的特征多项式为令令 设设3阶方阵阶方阵A的特征值为的特征值为1，1，2， 将将 依次代入上式得依次代入上式得解得解得 因此因此 例例解解 A的特征多项
14、式为的特征多项式为的因式有的因式有 由性质由性质2，试求下列矩阵的最小多项式试求下列矩阵的最小多项式1 1）只需验证第只需验证第4个因式。个因式。可知可知故故 2 2） 解解 B的特征多项式为的特征多项式为所以所以的因式为的因式为因为因为 故故B的最小多项式为的最小多项式为例例解解 求下列矩阵的最小多项式求下列矩阵的最小多项式1)1)2 2） 解解所以所以A的特征值为的特征值为对应对应有两个线性无关的特征向量有两个线性无关的特征向量从而从而A的的Jordan标准形为标准形为故故因为因为例例 求下列矩阵的最小多项式求下列矩阵的最小多项式1 1） 解解 但但中右上角的中右上角的阶子式阶子式故故从而
15、从而 2 2） 解解 但在但在 中中1，3行、行、1，2列的二阶子式列的二阶子式所以所以 从而从而 这一方法的缺点是，一方法的缺点是，可能比可能比较麻麻烦。 求求例例求求和和解解 已知已知5 酉酉( (正交正交) )相似下的标准形相似下的标准形 例例 解解所以所以 已知向量已知向量试将其单位化。试将其单位化。因为因为例例解解 试把向量组试把向量组正交化。正交化。则是正交向量是正交向量组。 例例解解所以所以A不是酉矩阵。不是酉矩阵。法法2 2矩阵矩阵是否酉矩阵？是否酉矩阵？ 若不是，若不是，试利用其列向量构造一个酉矩阵。试利用其列向量构造一个酉矩阵。法法1 1因为因为设设因为因为所以所以A不是酉
16、矩阵。不是酉矩阵。利用利用Gram-Schmidt正交化过程构造正交向量组正交化过程构造正交向量组单位化得单位化得 故故是一个酉矩是一个酉矩阵。 例例解解即即A是实反对称阵，是实反对称阵，所以所以A又因为又因为所以所以A的特征值为的特征值为可求得对应的特征向量为可求得对应的特征向量为矩阵矩阵是否正规矩阵？是否正规矩阵？ 若是，若是，试将其酉相似对角化。试将其酉相似对角化。因为因为是正规矩阵。是正规矩阵。它们已正交；它们已正交；故酉矩阵故酉矩阵使使单位化得单位化得例例求正交阵求正交阵Q,使使 解解 A的特征值为的特征值为对应对应的特征向量为的特征向量为单位化得单位化得对应对应的特征向量为的特征向量为已知实对称阵已知实对称阵为对角阵。为对角阵。它们已正交，它们已正交，对应于对应于的特征向量为的特征向量为单位化得单位化得故正交矩阵故正交矩阵使使单位化得单位化得
