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1、大学物理大学物理B第四章第四章-振振动2A1、A2、A一起以一起以 转动，转动，保持相对静止。保持相对静止。结论：一个质点参与两个在同一直线上频率一样结论：一个质点参与两个在同一直线上频率一样结论：一个质点参与两个在同一直线上频率一样结论：一个质点参与两个在同一直线上频率一样 的简谐运动，其合成运动仍为简谐运动。的简谐运动，其合成运动仍为简谐运动。的简谐运动，其合成运动仍为简谐运动。的简谐运动，其合成运动仍为简谐运动。x2 的具体象限要根的具体象限要根据据 确定。确定。 3讨论讨论xOxO合振动的强弱与两分振动相位差的关系合振动的强弱与两分振动相位差的关系注：注：注：注：常采用矢量合成来处理振
2、动合成的问题。常采用矢量合成来处理振动合成的问题。常采用矢量合成来处理振动合成的问题。常采用矢量合成来处理振动合成的问题。4同方向同频率振动合成5AA1A2A3多个同一直线上、同频率简谐运动的合成多个同一直线上、同频率简谐运动的合成多边形法多边形法那么那么特例特例:封闭多边形封闭多边形:直线直线:6例例例例11: 11: 两个同方向的简谐运动曲线两个同方向的简谐运动曲线两个同方向的简谐运动曲线两个同方向的简谐运动曲线( (如下图如下图如下图如下图), ), (1) (1) 求合振动的振幅求合振动的振幅求合振动的振幅求合振动的振幅; ;(2) (2) 求合振动的振动方程。求合振动的振动方程。求合
3、振动的振动方程。求合振动的振动方程。解解: (1)xxTt(2)7解：解： 例例例例1212: 两两个个同同方方向向、同同频频率率的的简简谐谐运运动动, ,其其合合振振动动的的振振幅幅为为20cm, ,与与第第一一个个振振动动的的相相位位差差为为 . .若若第第一一个个振振动动的的振振幅幅为为 . .则则(1)第第二二个个振振动动的的振振幅幅为为多多少少？(2) 两简谐运动的相位差为多少？两简谐运动的相位差为多少？8两矢量同向重合时：两矢量同向重合时：两矢量同向重合时：两矢量同向重合时：合振动振幅合振动振幅合振动振幅合振动振幅A A极大；极大；极大；极大；合振动振幅合振动振幅合振动振幅合振动振
4、幅A A极小。极小。极小。极小。两矢量反向重合时：两矢量反向重合时：两矢量反向重合时：两矢量反向重合时：拍：拍：拍：拍：合振动的振幅时强时弱的现象合振动的振幅时强时弱的现象合振动的振幅时强时弱的现象合振动的振幅时强时弱的现象2、同方向不同频率两简谐运动的合成 拍OOx x 设两同方向，角频率分别为设两同方向，角频率分别为设两同方向，角频率分别为设两同方向，角频率分别为 1 1和和和和 2 2的两简谐运的两简谐运的两简谐运的两简谐运动（动（动（动（ 2 2 1 1 ）。它们所对应的旋转矢量分别为）。它们所对应的旋转矢量分别为）。它们所对应的旋转矢量分别为）。它们所对应的旋转矢量分别为 和和和和
5、， 相对于相对于相对于相对于 的转动角速度为的转动角速度为的转动角速度为的转动角速度为: :9拍现象10合振动出现一次最强合振动出现一次最强O拍的周期拍的周期拍的频率拍的频率(简称拍频简称拍频)11从解析式来分析：振幅随时间变化振幅随时间变化振动项振动项12第一项缓慢变化，第二项快速变化：第一项缓慢变化，第二项快速变化：“拍拍(beat)”调制调制振幅振幅 随时间缓慢变化随时间缓慢变化谐振因子谐振因子 快速变化快速变化拍现象的应用拍现象的应用： 用音叉振动校准乐器用音叉振动校准乐器 测定超声波测定超声波 测定无线电频率测定无线电频率 调制高频振荡的振幅和频率调制高频振荡的振幅和频率当当但彼此相
6、差很小，但彼此相差很小，133. 相互垂直的简谐运动的合成 x方向的简谐运动方向的简谐运动y方向的简谐运动方向的简谐运动14相互垂直的同频率简谐运动的合成yx结结结结论论论论：两两两两相相相相互互互互垂垂垂垂直直直直同同同同频频频频率率率率简简简简谐谐谐谐运运运运动动动动的的的的合合合合成成成成，其其其其振振振振动动动动轨轨轨轨迹迹迹迹为为为为一一一一椭椭椭椭圆圆圆圆( (又又又又称称称称“ “椭椭椭椭圆圆圆圆运运运运动动动动) )。椭椭椭椭圆圆圆圆轨轨轨轨迹迹迹迹的的的的形形形形状状状状取取取取决于振幅和相位差。决于振幅和相位差。决于振幅和相位差。决于振幅和相位差。15利萨如图利萨如图利萨如
7、图利萨如图 相互垂直的简谐运动的合成相互垂直的简谐运动的合成 两个互相垂直、不同频率的简谐运动合成时，如果它们两个互相垂直、不同频率的简谐运动合成时，如果它们两个互相垂直、不同频率的简谐运动合成时，如果它们两个互相垂直、不同频率的简谐运动合成时，如果它们的频率之比为整数时，会产生的稳定的封闭曲线，其形状的频率之比为整数时，会产生的稳定的封闭曲线，其形状的频率之比为整数时，会产生的稳定的封闭曲线，其形状的频率之比为整数时，会产生的稳定的封闭曲线，其形状与频率比和相位差有关，这种图形叫做与频率比和相位差有关，这种图形叫做与频率比和相位差有关，这种图形叫做与频率比和相位差有关，这种图形叫做利萨如图利
8、萨如图利萨如图利萨如图。Lissajous Lissajous 1822-18801822-188016在李萨如图形中：在李萨如图形中：曲线与平行于曲线与平行于x轴的直线的切点数轴的直线的切点数曲线与平行于曲线与平行于y轴的直线的切点数轴的直线的切点数两简谐运动两简谐运动的频率比的频率比=其中频率为其中频率为1:1的李萨如图为的李萨如图为椭圆椭圆, ,在一定的在一定的相位差条件下相位差条件下, ,退化为一直线退化为一直线. .17利萨如图形相互垂直的简谐运动的合成相互垂直的简谐运动的合成184-2-2 4-2-2 简谐运动的分解简谐运动的分解 两个频率比为两个频率比为1:2的简谐运动的合成的简
9、谐运动的合成 如果将一系列角频率是如果将一系列角频率是某个根本角频率某个根本角频率亦亦称主频的整数倍的简称主频的整数倍的简谐运动叠加，那么其合谐运动叠加，那么其合振动仍然是以振动仍然是以为角频为角频率的周期性振动，但一率的周期性振动，但一般不再是简谐运动。般不再是简谐运动。 19 一个以一个以为频率的周期为频率的周期性函数性函数 f (t)，可以用傅里叶可以用傅里叶级数的余弦项表示为：级数的余弦项表示为： ：主频：主频：n 次谐频次谐频20频谱分析214-3 阻尼振动、受迫振动和共振4-3-1 阻尼振动 阻尼振动：阻尼振动：振动系统在回复力和阻力作用下发振动系统在回复力和阻力作用下发生的减幅振
10、动生的减幅振动。 ：阻尼系数阻尼系数 22oxx令：无阻尼时振子的固有频率：无阻尼时振子的固有频率 ：阻尼因子：阻尼因子动力学方程动力学方程23方程解：解二阶常系数齐解二阶常系数齐次线性微分方程：次线性微分方程：1、欠阻尼情况：阻力很小、欠阻尼情况：阻力很小24周期：角频率： 阻尼较小时（阻尼较小时（ ），振动为减幅振动，振幅），振动为减幅振动，振幅 随时间按指数规律迅速减少。阻尼越大，减随时间按指数规律迅速减少。阻尼越大，减幅越迅速。振动周期大于自由振动周期。幅越迅速。振动周期大于自由振动周期。讨论：讨论：252 2、过阻尼情况过阻尼情况: :阻尼较阻尼较阻尼较阻尼较大大大大 ( ( ) )
11、时，振动从时，振动从时，振动从时，振动从最大位移缓慢回到平衡最大位移缓慢回到平衡最大位移缓慢回到平衡最大位移缓慢回到平衡位置，不作往复运动。位置，不作往复运动。位置，不作往复运动。位置，不作往复运动。3 3、临界阻尼情况：当、临界阻尼情况：当、临界阻尼情况：当、临界阻尼情况：当 = = 时，为时，为时，为时，为“ “临临临临界阻尼情况。是质界阻尼情况。是质界阻尼情况。是质界阻尼情况。是质点不作往复运动的一点不作往复运动的一点不作往复运动的一点不作往复运动的一个极限。个极限。个极限。个极限。26tx阻尼较小时阻尼较小时 过阻尼振动：过阻尼振动：过阻尼振动：过阻尼振动：阻尼较大时阻尼较大时, ,振
12、动从最大位移缓慢回到振动从最大位移缓慢回到平衡位置平衡位置, ,不作往复运动不作往复运动. .过阻尼过阻尼临界阻尼振动：临界阻尼振动：临界阻尼振动：临界阻尼振动：质点不作往复运动的极限状态质点不作往复运动的极限状态. .临界阻尼临界阻尼临界阻尼临界阻尼 总括起来有：总括起来有：总括起来有：总括起来有： 欠欠阻阻阻阻尼尼尼尼振振振振动动动动：振振动动为为减减幅幅振振动动, ,振振幅幅随随时时间间按按指指数数规规律律迅迅速速减少减少. .阻尼越大阻尼越大, ,减幅越迅速减幅越迅速. .振动周期大于自由振动周期振动周期大于自由振动周期. .27火炮的阻尼新加坡摩天轮的阻尼防风284-3-2 受迫振动
13、和共振 系统在系统在周期性的外力周期性的外力持续作用持续作用下所发生的振动。下所发生的振动。受迫振动：受迫振动：筹划力：筹划力： 周期性的外力周期性的外力设：设：1. 1. 受迫振动受迫振动oxx29由牛顿第二定律由牛顿第二定律令令二阶常系数非齐次线性微分方程的解：二阶常系数非齐次线性微分方程的解：驱动力驱动力30在阻尼较小时，其通解为对应齐次方程的通解加上一个特解，在阻尼较小时，其通解为对应齐次方程的通解加上一个特解，为为第一项为暂态项，经过一端时间以后趋向于零，第一项为暂态项，经过一端时间以后趋向于零， 为积为积分常数，由初始条件确定；分常数，由初始条件确定；第二项为稳定项，将特解第二项为
14、稳定项，将特解 代入原方程求代入原方程求得得 311对t求导：232在在2式中令式中令t = 0： 1. 受迫振动是阻尼振动和简谐运动的合成。受迫振动是阻尼振动和简谐运动的合成。 2. 经经一一段段相相当当的的时时间间后后，阻阻尼尼振振动动衰衰减减到到可可以以忽忽略略不不计计，这这样样就就成成为为一一简简谐谐运运动动，其其周周期期为为强强迫迫力力的的周周期期，振振幅幅、初初相相位位不不仅仅与与初初条条件件有有关关，而而且且与与强迫力的频率和力幅有关强迫力的频率和力幅有关。结结论论33稳定后的振动表达式：稳定后的振动表达式：结论：受迫振动的频率与筹划力的频率相等。结论：受迫振动的频率与筹划力的频
15、率相等。 受迫振动的振幅：受迫振动的振幅： 受迫振动的初相位：受迫振动的初相位： 结论：结论：稳态响应的振幅与外力幅值成正比。稳态响应的振幅与外力幅值成正比。 归纳:34共振：当筹划力的频率为某一特定值时，受共振：当筹划力的频率为某一特定值时，受迫振动的振幅将到达极大值的现象。迫振动的振幅将到达极大值的现象。2. 2. 共振共振求极值：求极值：共振频率：共振频率： 共振振幅：共振振幅： 0为固有频率为固有频率35A大阻尼大阻尼小阻尼小阻尼零阻尼零阻尼 阻尼系数阻尼系数 越小，越小，共振角频率共振角频率 r r越接近于越接近于系统的固有频率系统的固有频率 O O ，同时共振振幅同时共振振幅Ar
16、r也越大。也越大。结论：36受迫振动的速度：受迫振动的速度：速度幅：速度幅：时，速度幅极大时，速度幅极大在速度共振条件下稳态振动的初相位为在速度共振条件下稳态振动的初相位为 结论：速度和筹划力有一样的相位。即筹划力对结论：速度和筹划力有一样的相位。即筹划力对振动系统始终做正功。振动系统始终做正功。 速度共振速度共振又称又称能量共振能量共振！37共振小人3839 1940年，年，Tacoma Narrows大桥在通车大桥在通车4个月零个月零6天后因大风引起扭转振动，又因振动频率接近于大天后因大风引起扭转振动，又因振动频率接近于大桥的共振频率而突然坍塌。桥的共振频率而突然坍塌。 40谢谢观赏！2020/11/541
