施工放样的方法和精度分析

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1、第六章 施工放样的方法和精度分析61概述 施工控制网建立以后，即可按照施工的需要进行放样工作。由于放样工作的目的与测图相反，它是将图上所设计的建筑物的位置、形状、大小与高低，在实地标定出来，以作为施工的依据。因此，工作过程中的任何一点差错，将影响施工的进度和质量。所以施工测量人员必须具有高度的责任心。 在进行放样之前，测量人员首先要熟悉建筑物的总体布置图和细部结构设计图，找出主要轴线和主要点的设计位置，以及各部分之间的几何关系，再结合现场条件与控制点的分布，研究放样的方法。 对于建筑物平面位置的放样，常用的方法有极坐标法、直角坐标法、方向线交会法、前方交会法等。这些方法的基本操作都是长度与角度

2、的放样。高程的放样通常均采用水准测量方法。因此可以这样说，放样工作的基本操作就是长长度度、角角度度（或或方方向向）与与高高程程的的放放样样。所用的仪器和工具，可以是常规的，也可以是自动化的；可以是通用的，也可以是专用的。放样数据的计算就是求出放样所需要的长度、角度与高程。一、测量与放样的区别 放样与测量所用的仪器以及计算公式是相同的。但测量的外业成果是记录下来的数据，内业计算在外业之后进行。放样的数据准备要在外业之前做好，放样的外业成果是实地的标定。由于两者已知条件和待求对象不同，因而互相之间是有区别的。1标志的设置方法不同 测量时标志是事先埋设的，可待它们稳定后再开始观测。放样时常要求在丈量

3、之后立即埋设标志。标桩埋设地点也不允许选择。2一般来说测量一次性完成，放样是分次按需要进行。3测量时常可作多测回重复观测，控制图形中常有多余观测值，通过平差计算可提高待定未知数的精度。放样时不便多测回操作，放样图形较简单，很少有多余观测值，一般不作平差计算。4测量时可在外业结束后仔细计算各项改正数。放样时要求在现场计算改正致，这样既容易出错，也不能做得仔细。5测量误差直接影响实测的值，放样误差影响点的平面位置和高程。6目前大多数测量仪器和工具主要是为测量工作设计制造的，所以用于测量比用于放样方便得多。 二、测量与放样误差对成果的影响 就测角而言，测量是直接测量水平角，角的两边是固定在地面上的，

4、但放样则是根据角顶和一条固定边以及设计的角值，在地面上定出第二条边的方向来。 无论是测量还是放样一个水平角，经纬仪都需要在角顶上对中整平，因而将产生一个仪器对中的误差e。但这一误差所造成的影响却完全不同。 1、测水平角时 测角时,由于仪器对中误差e使角度顶点由A点移到A点，因而使测得的角度为，而不是正确的值。显然，在一般情况下，120，所以。也就是说，测量误差直接影响实测的角值。2测设水平角时 仪器对中误差e,使角顶点由A点移到了A点。但在放样时，是由在A点的仪器瞄准固定点B后，设置已知角值a的。故仪器对中误差并不影响放样的角度值。但它影响待定边的方向，使欲放样的AP边成了AP位置。同样，在进

5、行距离及高程的测量与放样时，其测量工作的误差影响，对前者是影响距离与高程的观测值；对后者则是影响放样点的平面与高程位置。二、放样的方法放样的方法有多种，归纳起来不外乎两种：1、直接放样法将所放样的点经一次性测设放到实地上。2、归化放样法 首先进行初步放样，再精确测定放样点的位置，然后将所得的最或是值与设计的数值进行比较，再把初步放样的点位改正到设计位置上去。 直接放样法的精度：取决于放样时测设的精度 归化法放样的精度：点位的最后精度取决于实测的精度。6-2角度放样的精度分析一、误差分析1.对中误差2.目标偏心误差3.仪器本身的误差4.观测误差5.外界因素引起的误差6.投点误差 其中有些项目的误

6、差可用数字表示，但也有些误差无法用数字表示，只能用经验数据。二、逐项分析 1对中误差 放样时仪器中心必需严格与已知点对中，当仪器并没有严格对中时，而存在线量误差eA时，测设出的方向为AP与设计方向AP之间相差角，此即为线量误差eA 产生的角度放样误差。在在ABAABA中中 由于的大小与有关，且我们无法确切地知道的数值，因此可取的变化范围内的均方根值作为对中误差的影响。的变化范围为0，3600。如e=5mm,s=100m,m对=7.3e=25mm,s=100m,m对=3“为了减弱对中误差的影响，除精细操作外，还应选项取较长的后视边。 2.后视目标偏心误差后视目标偏心误差使仪器照准方向发生变化，从

7、而产生的变化，同理， 同理，选取较长的后视边与精细操作。 3.仪器本身的误差该误差可分两类：（1）正倒镜观测可消除影响的a.视准误差b.水平轴倾斜误差c.照准部和度盘偏心（2）正倒镜观测不能消除影响的a.行差b.度盘刻划误差c.纵轴倾斜误差等。可用校正、检测的方法加以限制。4.观测误差 指观测本身存在的误差。主要是照准和读数误差，其误差的大小应视仪器的等级而定。5外界因素引起的误差 在角度放样中，由于要求及时提供成果，很难选择最佳观测时间和有利用不同时间段内成果的平均值来减弱外界因素引起的影响，这是不利的一面；但是在角度放样中，由于视线较短外界因素的影响一般不会很大是有利的一面。在实际工作中，

8、要充分考虑到各种因素的影响，特别是施工现场的干扰，选择合适的放样时间。 6.投点误差指设置的标志与视线的偏差对角度的误差影响与目标偏心误差的影响一致。可见在离仪器较远的地方投点是有利的。 663 3极坐标法与直角坐标法放样极坐标法与直角坐标法放样一、极坐标法1原理极坐标法放样是利用数学中的极坐标原理，以两个控制点的连线作为极轴，以其中一点作为极点建立极坐标系，根据放样点与控制点的坐标，计算出放样点到极点的距离（极距）及该放样点与极点连线方向和极轴间的夹角（极角），它们即为所求之放样数据。 2特点 适用于放样点高控制点较近（一般不超过100m）而且便于量跟的地方。当采用测距仪测量极距时，放样点到

9、控制点的距离可适当增长，作业更为灵后方便。二、直角坐标法 直角坐标法放样是根据一条与坐标轴平行的控制线进行的。先沿着控制线量出放样点的横坐标，然后在该点沿垂直于控制线的方向放样出该点的纵坐标。这种方法只需量距和测设直角，工作比较简单。 三、精度分析 极坐标法放样的主要误差来源包括：在控制点上架设仪器的对中误差；测设极角的误差；量取极距的误差；将放样点固定在地面上的标定误差。1仪器对中误差对放样点位的影响 A为测站控制点，O为后视方向控制点。设仪器的对中真误差为e，它在两坐标轴方向的分量分别为ex、ey。由于对中误差的存在，将使放样点P由正确位置而移至 P。PP可视为PP、PP的矢量合成。PP平

10、行于e，大小相等方向相同,而PP是由于ey的存在而引起的，其值为 它在两坐标轴方向上的分量分别为: 对中误差e对P点的影响在两坐标轴方向上的误差分别为 2测角误差对放样点位的影响3量距误差时放样点位的影响当放样离较短，采用钢卷尺丈量时，为钢卷尺单位长度的误差若放样距离校长，采用测仪测定s时， 其中，a的固定误差，b为比例误差系数。4.在地面上标定点位的误差综上所述，P点的中误差为：P点离开A点与O点愈远，中误差m愈大，s的增加，其影响更大，对于一定的对中误差me，当s/c及me愈大时，me对P点位置所发生的影响就愈大。所以后视点要远一些，且要特别注意后视方向的对中。 如果测角量距的精度比较低，

11、则对中误差的影响就可以忽略不计。直角坐标法放样可视为极坐标法放样的一种特殊情况，90o，测站A由控制点O沿x轴方向量取距离C确定。在分析其精度时，还应顾及量取距离C的误差影响，得P点的中误差为： 664 4方向线交会法方向线交会法方向线交会法是利用两条互相垂直的方向线相交来定出放样点。当需要放样的点和线很多时，可建立矩形的格网，用此法进行放样。如果A、B两点之间不能通视，或者在两点都不便于安置仪器，这时可在A、B点上安置观测标志，选择与A、B两点都能通视的地方，如在上图中的S点安置仪器。以正倒镜法将经纬仪难确地安置在AB直线上的S点。然后，以经纬仪照准A点，按上述方法以正倒镜定出a、b两点。由

12、于在施工过程中，方向线端点使用频繁，故常在端点上埋设专用的标志或浇筑观测墩。这样既有利于保存，又便于工作。在许多情况下，由于地形条件与施工条件所限。不可能在方向线两端均设置标志时，也可以设置一个端点和一个后视方向。观测时将仪器置于端点上，根据后视方向，转一固定角度，就得到所需要的方向线。 一、方向线法的主要误差来源包括：设置方向线端点的误差影响；设置方向线的误差影响；在地面上固定点位的标定误差。 1设置方向线端点的误差影响设置方向线端点的误差大小，应根据端点的设置方法来确定。对于工业场地来说，这一误差决定于丈量距离的精度，设两端点的真误差分别为a和b。由于a和b的影响，使放样点位产生的位移分别

13、为xa和xb。则 端点误差对放样点位的影响始终小于本身的数值。若用中误差表示 因为ma和mb的发生是互相独立的，故设置端点的误差影响m端为 2设置方向线的误差影响。 由于e的存在而使方向线由1-1变至 1。-1。所放样的C点则移在C点，产生偏移CCe。由相似三角形的关系得 （2）目标偏心误差的影响目标偏心e的影响使点位c所发生的偏移值设为e （3）瞄准误差的影响瞄准误差一般取其等于60/v（v为望远镜的放大率）。应用方向线交会法进行放样时，须瞄准两次。一次瞄准端点而确定方向线，一次瞄准放样点确定其位置。设两次瞄准的误差对放样点位的影响分别为 （4）调焦误差的影响根据研究，望远镜改变对光时，对于

14、视线的影响可达1.2。因此，在10m至200m的范围内应用经纬仪对光肘，可取视准轴的变化为12。如果放样点位至仪器的距离为 100m，则此误差为 0.5lmm。应用经纬仪设置方向线的中误差影响应为： 综上所述，由于方向线11的误差影响而使放样点位C所发生的误差为： 同理，由于方向线2一2的误差影响而使放样点位C所发生的误差为：3标定放样点位的误差。的大小决定于标定的方法。在工业与民用建筑中，通常用铁钉或铁针来标定点位。如果用经纬仪能直接看到铁钉，则其标定的误差大约为1.52mm。总误差应为：666 6轴线交会法轴线交会法一、放样方法 轴线交会法实质上是一种侧方交会的方法。在水利枢纽工程的建设中

15、，当坝轴线（或坝轴线的平行线）已包括在施工控制网中或已与控制网联测后，则可在轴线上的P点安置经纬仪，用轴线两侧的平面控制点M、N来测定P点的坐标。先根据放样点与选用的控制点的坐标值绘制放样草图。在图上注明各控制点坐标、坐标差及放样点坐标等有关数据。求得P点坐标后，即可将点移至设计位置P0 为了缩短现场的作业时间，还可利用角差法直接在现场快速计算出改正值y。其方法如下：将上式中对进行微分，得：当实测角值与设计角值相差很小时，可以认为 对于放样点和相应的控制点而言，x、。均已知，故可在内业计算中求得。现场测得角后，便可算得角差，求得y 二、精度分析1放样点横坐标的精度为了分析放样点P的横坐标的精度

16、，可对原式中的第二式进行微分得：前两项反映了施工控制网的误差对待定点点位精度的影响。在一般情况下，它们远比第三项误差为小，故可略去不计。转成中误差则有在实际工作中，P点的y坐标一般是由两个控制点来测定而取其平均值的。故P点位置之中误差可近似地认为：1)待定点的点位误差与该点到控制点的距离S成正比，距离愈远，点位误差愈大；2)待定点的点位误差与交会角（）有关，交会角（）愈小，点位误差愈大；3)待定点的点位误差与测角精度成正比。 当交会边长在 300400m,m=5且交会角不小于 250时，轴线交会法所定点点位之中误差将不大于土 10mm。2P点设置误差xp的影响 轴线交会法首先要在轴线方向上初步

17、标定P点。由于照谁误差及外界条件的影响，P点不会正好落在轴线上，而产生P点的设置误差xp，使P点移至 P点。从而使观测角发生变化而给yp带来误差。当两已知点M、N位于轴线两侧，且近乎对称时，则12故12=。由于对1与2的影响为一正一负，所以两组求得的yp取中数后，P点的设置误差，对yp的影响大部分可以得到抵消，使其减小到可忽略不计。3设置坝轴线平行线的误差 通常轴线交会法是在坝轴线上采用的方法，但也可以进一步推广到坝轴线的平行线上使用。由于坝轴线平行线的设置精度远比坝轴线要低，因此，有必要对平行线的设置误差对待定点的点位影响进行一些讨论。 设置坝轴线平行线的误差，将使平行线相对于正确位置产生旋

18、转与平移。放样点P位于平行线上不同的位置，平行线旋转误差对观测角的影响不同。当P点位于直线L与L的交点P。时 当P点位于平行线上P0以外的任意一点p1时， 式中，第二项均代表旋转误差对轴线两侧控制点的观测角的影响。对轴线两侧的观测角的影响符号相反。 所以，当放样点P位于 P。位置时，平行线的旋转误差对观测角影响最大。在这种情况下，旋转误差对P点y坐标的影响则有 当两已知点M、N位于轴线两侧，且近乎于对称时，则yp1yp2，同时，符号相反，平行线旋转误差对P点横坐标yp的影响可以大部分获得消除。 设置坝轴线平行线的平移误差对放样点位P的y坐标影响的结论与上述同。 综上所述，采用轴线交会法放样P点

19、，无论是P点的设置误差，还是平行线的设置误差，其对P点点位带来的y坐标的影响，均可以通过利用坝轴线（或其平行线）两侧近于对称的控制点测定P点的位置，便可获得大部分消除。而P点及其平行线的设置误差对P点的x坐标的影响可认为是个常数，它不能通过有利的观测图形加以抵消。所以，必须尽量把P点的位置严格控制在坝轴线（或其平行线）上。 661111高程放样的方法高程放样的方法 工程建筑物的高程放样，主要采用几何水准测量的方法，有时也采用卷尺直接丈量竖直距离以及三角高程测量的方法。 应用几何水准测量方法放样高程时，首先应将高程控制点以必要的精度引测到施工区域，建立临时的水准点。临时水准点应相对固定，有利保存

20、及便于放样。临时水准点的密度应保证只架设一次仪器就可以放样出所需要的高程。 H。为已知水准点的高程，a为已知点上水准尺的读数，仪器的视线高 。若放样点的高程为H，则放样点上水准尺的读数b=Hi-H。然后，上下移动水准尺使仪器照谁B尺上的读数为b，并将其零点标定出来，则此点即为高程的放样点。标定放样点的方法很多，可根据工程要求及现有条件来定。例如：土石方工程一般是用木桩固定放样高程，或标定在柱顶，或用红线标定在木桩的侧面；混凝土工程一般是用油漆标定的混凝土墙壁或模板上；为了工作方便，有时在标志旁边注记高程。 在高程放样工作中，常遇到HHi的情况。这时，根据现场条件，可将尺子倒立，使视线对准B尺上

21、的读数b，这时尺子零点的高程即为放样点的高程。如果Hi与H的数值相差很大，例如放样建筑物地基的壕沟，或从地面上放样高层建筑物，可采用悬挂卷尺和两台水准仪进行放样。当卷尺的零点在下端时，斜坡的放样工作。这时，首先应根据设计坡度i和放样点至已知高程点之间的距离，计算出放样点的高程H。如图所示：若要放样出C、D、B三点，则先求得B点的高程HB=HA-iSAB，放样出高程为HB的B点，当坡度i较小时，可在A点上安置水准仪，量取仪器高，用望远镜瞄准B尺上的读数，则望远镜的视准轴即为坡度线的平行线。在C、D点上安置水准尺，同样使仪器视准线上的读数，则水准尺的零点即为该点的放样高程。当坡度i较大时，则hAB

22、较大。这时，可利用在A点安置的经纬仪，照准B点处的水准尺，使尺上的读数为i，求得坡度线的平行线。同法在C、D点上安置水准尺，放样出C、D两点。 667 7正倒镜投点法正倒镜投点法一、原理 正倒镜投点法的适用范围: 正倒镜投点的方法: 先将仪器架设在已知控制点的连线上，再进行放样工作。该法是利用相似三角形的原理找出仪器偏离已知方向线的距离，然后将仪器移至已知方向线上。 实际工作中，由于仪器存在着视准轴不垂直于横轴、或者横轴不垂直于纵轴等误差，为克服其误差影响，先将仪器初步安置在 O点，再用盘左、盘右两个位置分别照准A点，倒镜后则十字丝中心分别位于B1、 B2，取其平均值即为 B点，则 AOB在一

23、直线上。再将仪器移至AB方向上。 若设站点至两端点的距离已知，这时，只要在 O点安置仪器，测量角度，即可计算出仪器偏离方向线AB的偏距：并按将仪器移到方向线AB上。 二、精度分析二、精度分析 误差来源：架设仪器的误差对放样点位的影响、根据测站进行放样的误差影响。1仪器架设误差的影响m端 仪器架设误差就是仪器偏离方向线的误差。要把仪器架设在方向线上，需要根据端点来进行。设仪器架设中误差为me，则me的误差来源又包括端点误差、目标偏心误差及瞄准误差等影响。（1）端点误差的影响m端 该误差同方向线交会法端点误差的影响，若设置端点的中误差为ma及mb，则有 （2）目标偏心的影响m偏 设两端点A、B的目

24、标偏心误差为ea、eb，该误差同方向线交会法目标B偏心误差的影响 式中，m2A及m2B 分别为目标偏心中误差mea、及meb 对仪器架设误差的影响。（3）瞄准误差的影响ms 取瞄准误差为60/v，这时瞄准A、B的中误差分别为 及 。相当于端点误差ma及mb，分别以 代替ma及mb ，则有综上所述，仪器的架设中误差为 可以看出，当仪器架设在方向线上的O点对P点进行投点时，仪器架设误差me对p点位置的影响为2放样P点的误差（1）端点误差的影响m端 当自O点后视定向点A进行P点的投点时， A点的定位误差（端点误差ma）对P点的点位影响m端（2）目标偏心误差的影响m偏目标偏心误差为ea、eb，该误差同

25、方向线交会法目标B偏心误差的影响 以以ea代替代替aa，得，得 （3）瞄准误差的影响ms自O点瞄准A点及P点的误差对放样点位的影响为综上所述，放样P点的误差为3标定误差标定误差的取值，视不同的标定方法而不同。以铁钉标定的误差约为1.52mm。综上分析，采用正倒镜投点法放样点位所产生的误差为 在工业建设施工测量中，正倒镜投点法所依据的端点，一般是由厂房的矩形控制网测设的；同时，若端点的标志为固定砚牌，则有关端点的误差及目标偏心误差的影响可忽略不计。若把标定误差也略去，则可写为68前方交会法放样点位采用前方交会法放样点位时，其放样元素（即交会角度或方向）系根据待定点的设计坐标和控制点坐标计算求得，

26、然后在现场按其放样元素将待定点标定在地面上。已知点A、B和待放样点P的设计坐标，计算公式：为了提高放样点位的精度，常采用三方向（或多方向）进行交会，但由于现场测设交会角度的误差影响，在交会点处三方向将不能交于一点而出现示误三角形，这时可结合具体工程和放样要求取示误三角形的重心或将一角点投影至对应方向上以其垂足作为最后点位。 为了快速而精确地放样点位，可以先在初步定位的点子上设立标志，并精确测定其交会角度，通过计算或图解方法求出初步放样点的实际坐标，然后与设计坐标进行比较求出其差值x、y，根据其数值和初步放样点的实地位置进行改正，使放样点位于设计位置上。这种方法有时又称之为前方交会前方交会的角差

27、图解法的角差图解法，它主要适用于动态、快速定位，也适用于精密定位。 角差图解法的实质是利用实测角值与设计角值之差，将初步定位点快速改正到设计位置上。 1为桥墩的设计位置，1为初步交会的点，在该点上设置观测标志，然后在从P1、B、P2三点用经纬仪同时测定各点至1的方向角，与已知方位角进行比较，即可得出其差值、，一般将其称为角差。 根据各点到1点之距离Si及角差，即可算得由于角差引起放样点的横向位移值 Si为控制点至放样点之间的距离；Si为对于不同的边长每秒所对应的弧长，称为秒差，单位为，cms或mms。 由于横向位移Si与边长Si相比较是很小的，所以可认为它是与交会方向垂直的一段直线长度；再根据

28、角差的正负号，可知位移值的方向。如果我们先在纸上画出交会点1的三条已知方向线，再按位移值的大小和方向画出该三条已知方向线的平行线，它们应交于一点，即点1。但由于存在观测误差，三条直线并不交于点1，而是交出一示误三角形。这时，取其重心即为点1的位置。 例例应用角差图解法的具体操作步骤如下：1根据测站点至放样点之间的边长计算出秒差值。2绘制各测站的称差图。3绘制围令定位图。即把各测站至放样点的方向线绘在方格纸上。4在测站点上安置好仪器后，按各自选定的后视方向配置度盘，后视相应的点。 5由放样点上的测量员发出信号，各测站上的经纬仪同时照准放样点上的标志，并读数，求得角差，从测站秒差图上求得位移值，通

29、知放样点上的测量员。6放样点上的测量员根据各测站报来的位移值，按一定的比例尺展绘在预先绘制的定位图上，交出放样点1的位置，图解出1 相对于1的相关数据，然后施工人员移动围令，使点1向点1移动。有时，需要反复测定，多次移动才能使点1位于点1上。 影响放样点位精度的主要误差来源包括仪器对中误差对放样点位的影响、将放样点标定在地面上的标定误差、测设交会角度的误差影响等。在一般情况下，对中误差12mm，它对放样点位的影响小于其本身；标定误差一般约为23mm；测设角度的误差对放样点位的影响比前述的二者大得多。因此可以认为影响放样点位精度的主要因素是测角误差。 69角度后方交会法放样一、角度后方交会法放样

30、 A、B、C、D为施工控制网点，P0为待放样点，P为采用适当的方法求得的靠近P0的过渡点，将仪器置于过渡点P上，观测角度、，利用事先编制的后方交会程序计算出P点坐标。为了进行必要的检核，必须在测站上观测四个已知点，求得三个观测角（即、）以保证点位的正确性。 根据实测坐标和P。的设计坐标计算出PP0的距离和方向角，然后进行归化改正或用极坐标法放出P点。当待定点位于危险圆上时，将无法求解P点的坐标。因此在选择后方交会所用的控制点时，应尽量使过渡点至危险圆的距离大于该圆半径的15。 由于P0点靠近P点，归化改正时的误差很小，因此，在分析放样P0点的精度时，可以用交会P点的精度代替P0的精度。其点位精

31、度可用下式计算： 影响P点点位误差的因素包括两部分：一种是测角误差m的影响，即m越大，mP也越大；另一种是交会图形的影响，由于交会图形多种多样，为使分析简化，仅对以下几种情况加以分析：1P点位于三角形之内：假设A、B、C三点构成如图所示的正三角形，当P点位于其重心时，则 2当P点偏离重心而位于某两控制点中间时 3当P点位于三角形之外 在测角精度一定的条件下，待定点p位于三角形重心时，其点位精度最高；随着P点逐步向外偏移，其点位精度也随之下降，距离重心越远精度就越低。特别是P点位于三角形之外时，点位中误差将随着交会边长的增加而迅速增加。因此，在选择控制点时，应尽量使P点位于三角形之内。 二、边角

32、联合后方交会定点 基本原理：xoy为施工坐标系，I为控制点，P为自由设站时的测站点；XPy为以P为原点、以仪器度盘零方向为X轴的局部坐标系，0为X与x方向的夹角。当在P点上观测了到I点的距离和水平方向之后，即可得出其在xpy坐标系中的局部坐标： Si为PI的水平距离，i为水平方向读数 利用坐标转换原理得： 式中，k为局部坐标系之边长缩放系数。式中，xi、yi、xi、yi均为已知，而xp、yp、c、d均为未知数。四个未知数，须有四个上述方程式，即必须观测该点到两个控制点的距离和方向。当观测了两个以上的控制点时，便存在多余观测，这时，可按间接观测平差原理，在VtPV=min的条件下，解出xp、yp

33、、c、d610用误差椭圆图解放样点的精度设观测值相互独立，且观测误差服从正态分布，则放样点的点位误差可以用误差椭圆来描述。 以观测值中误差为基础作出的误差椭圆称为基本误差椭圆，以C倍中误差为基础得的误差椭圆称为C倍误差椭圆。点位落在不同误差椭圆中的概率P0与C的关系。 利用误差椭圆可以方便地求出点位在任意方向上的误差大小，它等于误差椭圆在该方向上投影长度的一半。误差椭圆在坐标轴上投影，可得到mx、my。因此利用误差椭圆也可以方便地知道点位误差 事实上并不一定要利用误差椭圆先求种mx和my，然后再计算点位误差。根据解析几何定理“椭椭圆圆的的任任一一对对共共轭轭半半径径平平方方之之和和是是常常数数

34、”。设椭圆的长半径为a，短半径为b，因为a和b也是一对共轭半径，所以任一对共轭半径平方之和都等于 过椭圆中心的弦叫直径过椭圆中心的弦叫直径. .平行于该直径的弦的中平行于该直径的弦的中点的轨迹和该直径叫椭圆的互为共扼直径点的轨迹和该直径叫椭圆的互为共扼直径. . 在圆上在圆上任意一对相互垂直的半径都叫共轭半径。椭圆上的任意一对相互垂直的半径都叫共轭半径。椭圆上的一对长短轴是唯一一对相互垂直的特殊的共扼半径。一对长短轴是唯一一对相互垂直的特殊的共扼半径。测量一个点的平面坐标或者根据一个点的设计坐标在实地放样都是一个两维观测问题，必须有两个观测值。这两个观测值可以是两个前交角度（或方向），两个后交

35、角度，两个距离或者一个角度（或方向）和一个距离或一个前交角加上一个后交角。设这两个观测值相互独立，而且观测误差服从正态分布，则点位误差椭圆可以用几何作图方法画出。 如果其观测值L没有误差，则按此观测值可以画出一条轨迹线。显然，当观测值是前交角则轨迹是一条直线；观测值是距离则轨迹是一段圆弧，其圆心在已知点上，其半径为距离。当观测值是后交角，这轨迹也是一段圆弧，它是由后交角与两已知点决定的弓形弧。在很小的范围内，弧段可以用其切线来替代。两个观测值决定一个点的位置，相应两条轨迹线交出一点。若观测值有误差m,则按L+m和L-m又可画出二条误差轨迹线，在小范围内它们也可看作为直线段。显然它们近似地与无误

36、差的轨迹线平行，这一点近似性对于绘制误差椭圆说来可以忽略不计。平行线的间距由误差值m及几何图形决定。 当观测值是前交角，则与已知点到待定点的距离S及交会角误差m有关当观测值是距离，则就等于距离观测值的误差：=m当观测值是后交角，则与交会角误差m和图形有关: 与两个观测值误差相应的两对误差轨迹可构成一个误差平行四边形。两个无误差的轨迹线与此误差平行四边形有四个交点，如图的Q、R、S、T四点。可以证明：以Q、R、S、T为共轭直径的椭圆就是该点的误差椭圆。考虑到共轭半径所以点位误差所以点位误差 误差椭圆的几何作图可按下述步骤进行。（1）先按某一缩小的比例画已知点和待定点的平面图。（2）按其观测值性质

37、（前交，后交或距离），画出无误差的轨迹线，两线的交角为。（3）按已知的观测值误差m和几何图形计算（4）从无误差轨迹线出发，向两侧平移后画出平行线（按1：1比例），两对平行线交出误差平行四边形。（5）以误差平行四边形为界，以四个边的中点为共轭直径的端点画椭圆，即可得所求的误差椭圆。 （1）极坐标法定点时的误差椭圆 （2）距离交会法的误差椭圆（3）前方交会法的误差椭圆 （4）后方交会法的误差椭圆 611放样方法的选择放样某一建筑物的各轴线点或细部点时，采用何种方法，则应根据各种因素进行综合考虑，这些因素包括：建筑物所在地区的条件；建筑物的大小、种类和形状。放样所要求的精度；施工的方法和速度；施工的

38、阶段；施工测量人员的技术条件和仪器装备情况。如果可以直接量距或测距方便，可用极坐标法或距离交会法。极坐标法除测距外还需测角，同时还要对所测设的角度进行改正，所以工作量较大。在大型工业施工场地或水利枢纽工地，由于放样的点位离开控制点较远，不可能直接丈量距离；或测距不便，则用角度前方交会较为有利。在工业企业的施工放样中，经常用建筑方格网作为施工控制网，控制点位于边长为50 150m的方格顶点上。这样，对于距离较近的建筑物、可用方向线法或直角坐标法进行放样。直角坐标法所用工具简单，也还能达到较高的精度，适用于各种类型与大小的建筑。应用这种方法的基本条件是沿着坐标轴方向，以及由坐标轴至各点，都能够直接

39、丈量和相互通视。施工的速度与选择放样方法也有关。如果对大型建筑物进行全面施工，则所采用的放样方法必须要能保证从建筑物的外围放样出建筑物的位置。这时，采用角度前方交会法可以较容易从建筑物外面放样所需的各点。在开展全面施工的情况下，还可先将建筑物的个别部分放样在设计的位置，在个别部分上从外面标定一些辅助控制点，再由这些辅助控制点直接在建筑物上进行该建筑物其余部分的放样。不过，这样的放样程序，不是随时都可能的，而应与总的施工计划相配合。施工阶段对放样方法的选择也有很大影响。例如在水域中进行施工，开始阶段只得用角度前方交会法进行放样，其他方法无法进行。对于曲线形的大型建筑物，如拱坝等通常采用前方交会法。另一些曲线建筑物如道路、渠道、挡土墙等，可用直角坐标法或其他方法进行放样。施工测量部门的技术水平和具备的仪器精度，在一定程度上也影响效样方法的选择。如仪器精度较低，就不宜用角度前方交会法放样；当拥有测距仪时，用距离交会法或极坐标法就显得方便。 根据控制点的分布，测设点的位置与要求精度，考虑到现有的仪器设备与精度，选择适当的放样方法，并估计该方法所达到的精度是否满足预计的要求，作出最后的选择，拟定放样方法和观测方案，并计算放样数据等准备工作，以保证放样工作的顺利进行。