第十章第十章 级数级数 第一节第一节 数项级数数项级数第二节第二节 幂级数幂级数第三节第三节 傅立叶级数傅立叶级数1 第一节第一节 数项级数数项级数§ 10.1.1 级数的概念及其基本性质级数的概念及其基本性质§ 10.1.2 正项级数正项级数§ 10.1.3 任意项级数任意项级数2 § 10.1.1 级数的概念及其基本性质级数的概念及其基本性质一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 引例引例. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形, 这个和逼近于圆的面积 A .设 a0 表示即内接正三角形面积, ak 表示边数增加时增加的面积, 则圆内接正3 定义定义： 给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数， 其中第 n 项叫做级数的一般项,级数的前 n 项和称为级数的部分和.次相加, 简记为收敛收敛 ,则称无穷级数并称 S 为级数的和和, 记作4 当级数收敛时, 称差值为级数的余项余项.则称无穷级数发散发散 .显然5 级数举例 调和级数 几何级数级数的展开形式备注一般项简写形式等比级数aqn-1p—级数 6 例例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)( q 称为公比 ) 的敛散性. 解解: 1) 若从而因此级数收敛 ,从而则部分和因此级数发散 .其和为7 2). 若因此级数发散 ;因此n 为奇数n 为偶数从而综合 1)、2)可知,时, 等比级数收敛 ;时, 等比级数发散 .则级数成为不存在 , 因此级数发散.8 例例2. 判别下列级数的敛散性:解解: (1) 所以级数 (1) 发散 ;技巧技巧:利用 “拆项相消拆项相消” 求和9 (2) 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .技巧技巧:利用 “拆项相消拆项相消” 求和10 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 性质性质1. 若级数收敛于 S ,则各项乘以常数 c 所得级数也收敛 ,证证: 令则这说明收敛 , 其和为 c S . 说明说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .即其和为 c S .11 性质性质2. 设有两个收敛级数则级数也收敛, 其和为证证: 令则这说明级数也收敛, 其和为12 说明说明:(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则必发散 . 但若二级数都发散 ,不一定发散.例如例如, (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .(用反证法可证)13 性质性质3. 在级数前面加上或去掉有限项有限项, 不会影响级数的敛散性.证证: 将级数的前 k 项去掉,的部分和为数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况 .极限状况相同, 故新旧两级所得新级数14 性质性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证证: 设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列 为原级数部分和序列 的一个子序列,推论推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.注意注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例如，用反证法可证用反证法可证例如15 例例3.判断级数的敛散性:解解: 考虑加括号后的级数发散 ,从而原级数发散 .16 设收敛级数则必有证证: 可见: 若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散则级数必发散 .例如例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.性质性质5.(级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件)17 注意注意:并非级数收敛的充分条件.例如例如, 调和级数虽然但此级数发散 .事实上事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则但矛盾! 所以假设不真 .18 § 10.1.2 正项级数正项级数若定理定理 1. 正项级数收敛部分和序列有界 .若收敛 , ∴部分和数列有界, 故从而又已知故有界.则称为正项级数 .单调递增, 收敛 , 也收敛.证证: “ ”“ ”19 都有定理定理2 (比较审敛法比较审敛法) 设且存在对一切有(1) 若级数则级数(2) 若级数则级数证证:设对一切则有收敛 ,也收敛 ;发散 ,也发散 .分别表示两个级数的部分和, 则有是两个正项级数, (常数 k > 0 ),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨20 (1) 若级数则有因此对一切有由定理 1 可知,则有(2) 若级数因此这说明级数也发散 .也收敛 .发散,收敛,级数21 例例1. 讨论 p 级数(常数 p > 0)的敛散性. 解解: 1) 若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知 p 级数发散 .发散 ,22 因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .时,2) 若23 调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.若存在对一切24 证明级数发散 .证证: 因为而级数发散根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .例例2.25 定理定理3. (比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证证: 据极限定义,设两正项级数满足(1) 当 0 < l <∞ 时,26 由定理 2 可知同时收敛或同时发散 ;(3) 当l = ∞时,即由定理2可知, 若发散 , (1) 当0 < l <∞时,(2) 当l = 0时,由定理2 知收敛 , 若27 是两个正项级数正项级数, (1) 当 时, 两个级数同时收敛或发散 ;特别取可得如下结论 :对正项级数(2) 当 且 收敛时,(3) 当 且 发散时, 也收敛 ;也发散 .28 的敛散性. ～例例3. 判别级数的敛散性 .解解: 根据比较审敛法的极限形式知例例4. 判别级数解解:根据比较审敛法的极限形式知～29 定理定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)设 为正项级数, 且则(1) 当(2) 当证证: (1)收敛 ,时, 级数收敛 ;或时, 级数发散 .由比较审敛法可知30 因此所以级数发散.时(2) 当说明说明: 当时,级数可能收敛也可能发散.例如例如, p – 级数但级数收敛 ;级数发散 .从而31 解解 (1)例例5. 判别下列级数的敛散性故收敛.(2)故发散.32 解解 (3)故收敛.比值审敛法失效, 改用比较审敛法由于而收敛,33 对任意给定的正数 定理定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)设 为正项级则证明提示证明提示: 即分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.数, 且34 时 , 级数可能收敛也可能发散 .例如 , p – 级数 说明说明 :但级数收敛 ;级数发散 .35 例例6. 证明级数收敛于S ,似代替和 S 时所产生的误差 . 解解: 由定理5可知该级数收敛 .令则所求误差为并估计以部分和 Sn 近 36 § 10.1.3 任意项级数任意项级数一、交错级数及其审敛法一、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数称为交错级数交错级数 .定理定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:则级数收敛 , 且其和 其余项满足37 证证: 是单调递增有界数列,又故级数收敛于S, 且故38 收敛收敛用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?发散收敛收敛39 二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛 定义定义: 对任意项级数若若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级收敛 ,数为条件收敛 .均为绝对收敛.例如例如 ：绝对收敛 ；则称原级数条件收敛 .40 定理定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .证证: 设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛且收敛 , 令41 例例7. 证明下列级数绝对收敛 :证证: (1)而收敛 ,收敛因此绝对收敛 .42 (2) 令因此收敛,绝对收敛.43 其和分别为 绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.*定理定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. 证明从略)*定理定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 )则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,设级数与都绝对收敛,其和为需注意条件收敛级数不具有这两条性质. 44 练习练习设正项级数收敛, 能否推出收敛 ?提示提示: :由比较判敛法可知收敛 .注意注意: : 反之不成立.例如,收敛 ,发散 .1. 45 2. 则级数(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.分析分析:∴ (B) 错 ;又C46 解解原级数收敛原级数收敛.证明证明 un 单调减的方法单调减的方法？？？？？？47 。