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1、 8.6 平行电流间的相互作用力平行电流间的相互作用力第第8章章 磁场的源磁场的源8.1 毕奥毕奥萨伐尔定律及应用萨伐尔定律及应用 8.3 安培环路定理安培环路定理 8.4 利用安培环路定理求磁场利用安培环路定理求磁场 的分布的分布 8.5 8.5 与变化电场相联系的磁场与变化电场相联系的磁场P*1、毕奥毕奥萨伐尔定律萨伐尔定律(电流元在空间产生的磁场电流元在空间产生的磁场)真空磁导率真空磁导率 任意载流导线在点任意载流导线在点 P 处的磁感强度处的磁感强度磁感强度叠加原理磁感强度叠加原理8.1 毕奥毕奥萨伐尔萨伐尔定律及应用定律及应用2 2、毕奥毕奥萨伐尔定律应用萨伐尔定律应用例例8.18.
2、1 直直线线电电流流磁磁场场。设设有有长长为为L L的的载载流流直直导导线线，通通有有电电流流I I。计计算与导线垂直距离为算与导线垂直距离为r r 的的p p点的磁感点的磁感强度。强度。所有所有d dB B 的方向均垂直板面向里。的方向均垂直板面向里。解：解：I IP Po o几何关系：几何关系：I I1)1)导线无限长导线无限长2)2)导导线线半半无无限限长长，场场点点与与一一端端的的连连线线垂直于导线垂直于导线 磁感应线是垂直于导线平面，以磁感应线是垂直于导线平面，以导线为圆心的同心圆导线为圆心的同心圆P Pr 由矢量叉乘关系：由矢量叉乘关系：例例8.28.2 圆电流磁场圆电流磁场。 设
3、有圆形线圈设有圆形线圈L L，半径为半径为R R，通以电流通以电流I I。求圆形求圆形导线轴线上的磁场分布导线轴线上的磁场分布解：解：取如图所示取如图所示电流元电流元在在P P点的磁感强度为：点的磁感强度为：由圆电流的对称性可知：由圆电流的对称性可知：I IRrxo opRxrI Io op1 1）在圆心处）在圆心处2 2）在远离线圈处）在远离线圈处圆圆电流的磁场分布电流的磁场分布例例例例8.3 8.3 8.3 8.3 载流直螺线管轴线上的磁场。载流直螺线管轴线上的磁场。载流直螺线管轴线上的磁场。载流直螺线管轴线上的磁场。设螺线管的半径为设螺线管的半径为设螺线管的半径为设螺线管的半径为R R
4、R R，电流电流电流电流为为为为I I I I，管的长度为，管的长度为，管的长度为，管的长度为L L，每单位长度有线圈每单位长度有线圈每单位长度有线圈每单位长度有线圈n n n n匝。求螺线管轴线上的匝。求螺线管轴线上的匝。求螺线管轴线上的匝。求螺线管轴线上的磁场分布。磁场分布。磁场分布。磁场分布。解：解：P P点：点：PR RdB的方向均向右的方向均向右P1 1）螺线管无限长）螺线管无限长 螺线管内部为均螺线管内部为均匀磁场。匀磁场。2 2）半无限长螺线管）半无限长螺线管的端点圆心处的端点圆心处x如如通电螺线管的磁场分布通电螺线管的磁场分布例例: : 一一个个半半径径R R为为的的塑塑料料薄
5、薄圆圆盘盘，电电量量+ +q q均均匀匀分分布布其其上上，圆圆盘盘以以角角速速度度 绕绕通通过过盘盘心心并并与与盘盘面面垂垂直直的的轴轴匀匀速速转转动动。求求圆圆盘盘中中心心处处的磁感应强度。的磁感应强度。带电圆盘转动形成圆电流。带电圆盘转动形成圆电流。解：解：取距盘心取距盘心r r处宽度为处宽度为d dr r的圆环作电流元的圆环作电流元电流强度为：电流强度为：+ + + + + + + + + + + + + + + o o8.3 8.3 安培环路定理安培环路定理1 1、安培环路定理安培环路定理安培安培 在在恒定电流恒定电流恒定电流恒定电流的磁场中，磁感应强度的磁场中，磁感应强度 沿任何闭合
6、沿任何闭合路径路径L的线积分（的线积分（也称也称 的环路积分），等于路径的环路积分），等于路径L L所所包围包围包围包围的电流强度的代数和的的电流强度的代数和的 0 0倍。倍。磁场的安培环路定理磁场的安培环路定理空间所有电流共同产生的磁场空间所有电流共同产生的磁场在磁场中任取的一闭合曲线，需要规在磁场中任取的一闭合曲线，需要规定一个绕行方向。定一个绕行方向。L L上的任一矢量线元上的任一矢量线元环路包围的所有电流的代数和，必须环路包围的所有电流的代数和，必须与与L L相套链相套链P P点点: :1)1)环路包围电流环路包围电流 用载有恒定电流用载有恒定电流I I的无限长直导线的磁场加以证明：的
7、无限长直导线的磁场加以证明：2 2、 安培环路定理的证明安培环路定理的证明I I 在垂直于导线的平面内在垂直于导线的平面内取一通过场点取一通过场点P的任一闭的任一闭合曲线合曲线L，规定绕行方向为逆时针规定绕行方向为逆时针而：而：prp 如果沿同一路径如果沿同一路径L L，但改变但改变L L的绕行方向：的绕行方向：p磁感应强度矢量的环流只和闭合曲线内所包围的电流有关。磁感应强度矢量的环流只和闭合曲线内所包围的电流有关。电流电流I I的正负规定：的正负规定： L L绕绕行行方方向向与与电电流流成成右右手手螺螺旋旋关关系系时时，电电流流I I为为正正值；反之值；反之I I为负值。为负值。L LL L
8、2) 2) 环路不包围电流环路不包围电流 闭合曲线不包围电流时时的情况得证！闭合曲线不包围电流时时的情况得证！若有若干个稳恒电流存在，由叠加原理：若有若干个稳恒电流存在，由叠加原理：安培环路定理。安培环路定理。注意注意注意注意： Ii 表示环路表示环路 l 所包围电流代数和。所包围电流代数和。电流流向与环绕方向满足右手螺旋法则为正，反之为负。电流流向与环绕方向满足右手螺旋法则为正，反之为负。 安安培培环环路路定定理理仅仅仅仅适适用用于于恒恒定定电电流流产产生生的的恒恒定定磁磁场场，恒恒定定电电流流本身总是闭合的，因此本身总是闭合的，因此安培环路定理仅仅适用于闭合的载流导线。安培环路定理仅仅适用
9、于闭合的载流导线。5 5、由安培环路定理求出感应强度、由安培环路定理求出感应强度 。1 1、分析磁场的对称性；、分析磁场的对称性；3 3、计算环路积分；、计算环路积分；8.4 8.4 利用安培环路定理求磁场的分布利用安培环路定理求磁场的分布4 4、用右手螺旋定则确定曲线所包围电流的正负；、用右手螺旋定则确定曲线所包围电流的正负；应用安培环路定理的解题步骤：应用安培环路定理的解题步骤：2 2、过过场场点点选选择择适适当当的的闭闭合合曲曲线线并并规规定定绕绕行行方方向向，使使得得 沿沿此此环环路路的的积积分分易易于于计计算算： 的的量量值值恒恒定定， 与与 的夹角处处相等；的夹角处处相等；r面电流
10、密度面电流密度( 通过与电通过与电流方向垂直的单位长度流方向垂直的单位长度的电流）为的电流）为 j 2、无限大均匀电流平面无限大均匀电流平面1、无限长直线电流无限长直线电流这是一个均匀磁场这是一个均匀磁场无限长均无限长均匀电流圆匀电流圆柱面柱面磁场的安培环路定理磁场的安培环路定理PP例：例：载流长直螺线管内的磁场载流长直螺线管内的磁场解：解：螺线管内部磁场向右螺线管内部磁场向右取如图所示闭合曲线，取如图所示闭合曲线，设螺线管长度为设螺线管长度为 , ,共有共有N N 匝匝规定绕行方向为顺时针规定绕行方向为顺时针P例例8.78.7 通电螺绕环的磁场分布通电螺绕环的磁场分布已知环上线圈的总匝数为已
11、知环上线圈的总匝数为N N，电流为电流为I I。解：解： 螺绕环的磁场是许多圆电流磁场的叠加。螺绕环的磁场是许多圆电流磁场的叠加。磁场方向在环内的每一点都沿切向。磁场方向在环内的每一点都沿切向。取与环取与环同心的圆为闭合曲线同心的圆为闭合曲线规定绕行方向为逆时针规定绕行方向为逆时针rP 位移电流位移电流对对L：对对S1：对对S2：纯电阻电路：纯电阻电路：8.5 8.5 与变化电场相联系的磁场与变化电场相联系的磁场 把安培环路定理推广到电流变化的回路时出现了矛盾。把安培环路定理推广到电流变化的回路时出现了矛盾。问题一：场客观存在，环流值必须唯一问题一：场客观存在，环流值必须唯一问题二：定理应该普
12、适问题二：定理应该普适出现矛盾出现矛盾提出假设提出假设修正理论修正理论验证完善验证完善电流概念必须发展电流概念必须发展! !对对L：对对S1：对对S2：ab此此电路中电流即不恒定也不连续！电路中电流即不恒定也不连续！电容充放电电路：电容充放电电路： 麦克斯韦在电磁学方面的贡献是总麦克斯韦在电磁学方面的贡献是总结了库仑、高斯、安培、法拉第、诺埃曼、结了库仑、高斯、安培、法拉第、诺埃曼、汤姆逊等人的研究成果，特别是把法拉第汤姆逊等人的研究成果，特别是把法拉第的力线和场的概念用数学方法加以描述、的力线和场的概念用数学方法加以描述、论证、推广和提升，预言了电场波的存在，论证、推广和提升，预言了电场波的
13、存在，并创立了一套完整的电磁场理论。并创立了一套完整的电磁场理论。麦克斯韦麦克斯韦: : 麦克斯韦电磁场理论最卓越的成就就是预言了变化的电磁麦克斯韦电磁场理论最卓越的成就就是预言了变化的电磁场以波的形式按一定速度在空间传播，理论表明，光波也是电场以波的形式按一定速度在空间传播，理论表明，光波也是电磁波，从而把光现象和电磁现象联系了起来。磁波，从而把光现象和电磁现象联系了起来。b b 板带电量为板带电量为- -q q，电荷密度为电荷密度为- - 。回路中的传导电流可表示为回路中的传导电流可表示为设某一时刻设某一时刻t ta 板带电量为板带电量为+ +q q，电荷密度为电荷密度为+；ab板间电位移
14、矢量：板间电位移矢量：极板上电荷量的变化联结了导线中的电流极板上电荷量的变化联结了导线中的电流而极板间变化的电场又联结了极板上电荷量的变化而极板间变化的电场又联结了极板上电荷量的变化 当充电时，电场增加，当充电时，电场增加，dD/dtdD/dt的方向与场的方向一致，也的方向与场的方向一致，也与导线中的电流方向一致，即从左向右。与导线中的电流方向一致，即从左向右。 从而使电路中的电流借助于电从而使电路中的电流借助于电容器的电场变化仍可视为连续的。容器的电场变化仍可视为连续的。 麦克斯韦提出了麦克斯韦提出了位移电流位移电流的假说：的假说：变化的电场也是一种变化的电场也是一种电流。用电流。用I Id
15、 d 表示，则表示，则 当放电时，电场减弱，当放电时，电场减弱，dD/dtdD/dt的方向与场的方向相反，但的方向与场的方向相反，但仍与导线中的电流方向一致，即从右向左。仍与导线中的电流方向一致，即从右向左。 在有电容器的电路中，电容器极板表面被中断的传导电流在有电容器的电路中，电容器极板表面被中断的传导电流I Ic c，可以由位移电流，可以由位移电流I Id d继续下去，从而构成了电流的连续性。继续下去，从而构成了电流的连续性。ab位移电流位移电流电容器板间电位电容器板间电位移矢量：移矢量：ab二二. 位移电流与电位移矢量的关系位移电流与电位移矢量的关系麦克斯韦假设位移电流存在后，提出了全电
16、流的概念麦克斯韦假设位移电流存在后，提出了全电流的概念 全电流全电流 传导电传导电流流 位移电流位移电流全电流定理（推广或普遍了的安培环路定理）全电流定理（推广或普遍了的安培环路定理） 麦克斯韦假设了位移电流，把安培环路定理推广到非麦克斯韦假设了位移电流，把安培环路定理推广到非恒定情况下也适用恒定情况下也适用用全电流定理就可以解决前面的充电电路中矛盾用全电流定理就可以解决前面的充电电路中矛盾只有传导电流：只有传导电流：只有位移电流：只有位移电流：ab对对S1：对对S2： 产生的原因不同：产生的原因不同：传导电流是由自由电荷运动引起的，而传导电流是由自由电荷运动引起的，而位移电流本质上是变化的电
17、场。位移电流本质上是变化的电场。例：如图，半径为例：如图，半径为R=0.1m的两块圆形平行板构成平行板电容器，的两块圆形平行板构成平行板电容器，两板间距两板间距dR(图上未按比例画）导线的半径图上未按比例画）导线的半径r=2mm.如充电过程如充电过程某时刻电容器两板间的场强随时间变化率某时刻电容器两板间的场强随时间变化率 求求（1）此时刻两板间的位移电流？）此时刻两板间的位移电流？ （2）两板间离中心线）两板间离中心线r =2cm处处P点的磁感应强度？点的磁感应强度？ （3）导线表面的磁感强度？）导线表面的磁感强度？d（1） 两板绝缘所以两板间无传导电流，故两两板绝缘所以两板间无传导电流，故两
18、板间的全电流为板间的全电流为2.78A,根据电流的连续性导线中的全电流为根据电流的连续性导线中的全电流为2.78A,由于一般导体中场强随时间的变化率很小，所以导线中的位移电流由于一般导体中场强随时间的变化率很小，所以导线中的位移电流远小于传导电流。因此可以认为导线中的传导电流是远小于传导电流。因此可以认为导线中的传导电流是2.78A.I Ic cI Ic c + + - -R R（2）两板间离中心线）两板间离中心线r =2cm处处P点的磁感应强度？点的磁感应强度？（3）导线表面的磁感强度？）导线表面的磁感强度？rpdI Ic cI Ic c + + - -R R 导线中位移电流很小，可以认为电
19、路中的全电流都集中于半径导线中位移电流很小，可以认为电路中的全电流都集中于半径为为2mm的导线内，对导线表面用全电流定律，有：的导线内，对导线表面用全电流定律，有： 感生磁场的磁感应线是垂直于电场感生磁场的磁感应线是垂直于电场而圆心在圆板中心轴线上的同心圆。而圆心在圆板中心轴线上的同心圆。（2）两板间离中心线）两板间离中心线r =2cm处处P点的磁感应强度？点的磁感应强度？（3）导线表面的磁感强度？）导线表面的磁感强度？rpdI Ic cI Ic c + + - -R R 导线中位移电流很小，可以认为电路中的全电流都集中于导线中位移电流很小，可以认为电路中的全电流都集中于半径为半径为2mm的导
20、线内，对导线表面用全电流定律，有：的导线内，对导线表面用全电流定律，有： 感生磁场的磁感应线是垂直于电场感生磁场的磁感应线是垂直于电场而圆心在圆板中心轴线上的同心圆。而圆心在圆板中心轴线上的同心圆。8.6 8.6 平行电流间的相互作用力平行电流间的相互作用力例如：例如：计算通电导线受到的磁力。计算通电导线受到的磁力。导线导线1在导线在导线2处的磁感应强度：处的磁感应强度：导线导线2 2受到的磁力受到的磁力导线导线2 2单位长度上受到的磁力：单位长度上受到的磁力：I I1 11 1I I2 22 2d d导线导线1 1单位长度上受到的磁力：单位长度上受到的磁力：结论：结论： 同向相斥，异向相吸！
21、同向相斥，异向相吸！ 例：一半径为例：一半径为R的无限长半圆柱面导体，其上电流（沿的无限长半圆柱面导体，其上电流（沿z方向）方向）与其轴线上一无限长直导线的电流等值反向，电流与其轴线上一无限长直导线的电流等值反向，电流I在圆柱面在圆柱面上均匀分布。上均匀分布。3、若用另一无限长直导线（通有大小、方向与半圆柱面相同的电、若用另一无限长直导线（通有大小、方向与半圆柱面相同的电流流I）代替圆柱面，要产生同样的作用力，该导线应放在何处？代替圆柱面，要产生同样的作用力，该导线应放在何处？1、轴线处的磁感应强度、轴线处的磁感应强度?2、轴线上导线单位长度所受的力、轴线上导线单位长度所受的力?YOXd解：解
22、：1、半圆柱面可看成许多载流直导线组成、半圆柱面可看成许多载流直导线组成在在半圆上取一段线元半圆上取一段线元此电流在轴线产生的磁场为此电流在轴线产生的磁场为半圆柱面的线电流密度：半圆柱面的线电流密度：所以：所以：载有电流载有电流由由对称性知磁场的对称性知磁场的x分量为零。分量为零。2、轴线上、轴线上dl l 长的导线受的安培力：长的导线受的安培力：沿沿X轴正向轴正向单位长度受力：单位长度受力：YOXYOXIIx3 、替代电流在轴线上所产生的磁场，应等于半圆替代电流在轴线上所产生的磁场，应等于半圆柱面电流在轴线上所产生的磁场。柱面电流在轴线上所产生的磁场。 替代电流方向沿替代电流方向沿Z轴正向轴正向所以应处在所以应处在X轴负轴负半轴上，半轴上，设替代电流与原点距离为设替代电流与原点距离为x即导线应放在即导线应放在处处例：在例：在xoyxoy平面有一圆心在平面有一圆心在O O点的圆线圈，通以顺时针绕行的电点的圆线圈，通以顺时针绕行的电流流I I1 1，另有一无限长直导线，与另有一无限长直导线，与y y轴重合，通以电流轴重合，通以电流I I2 2，方向向方向向上，求此时圆线圈所受的磁力。上，求此时圆线圈所受的磁力。解：解： 无限长导线的磁场无限长导线的磁场xyoI1 I2 8.1 8.4 8.5 8.13 8.23第八章第八章作业作业
