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1、实验中学实验中学 祝夫蒙祝夫蒙2.2 直接证明与直接证明与间接证明间接证明复习复习1.1.直接证明的两种基本证法：直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法综合法和分析法2.2.这两种基本证法的推证过程和特点：这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果由因导果执果索因执果索因3 3、在实际解题时，两种方法如何运用？、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用通常用分析法分析法寻求思路，再由寻求思路，再由综合法综合法书写过程书写过程综合法综合法已知条件已知条件结论结论分析法分析法结论结论 已知条件已知条件 本节重点：反证法概念的理解以及反证法的解题 步骤本节难点：应用反证法解决问题 教 学 目 标1知识
2、与技能 结合实例的间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程与特点2过程与方法 了解反证法的特点、增强应用反证法证明的能力3情感、态度与价值观 培养学生的数学素养，发展学生的数学思维能力前言：推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。反证法是继前面学习完推理知识后，证明方法中的一种（间接证明问题的）基本方法，它弥补了直接证明的不足，完善了证明方法，有利于培养逆向思维能力。 将将9个球分别染成红色或白色。那么无论个球分别染成红色或白色。那么无论怎样染，至少有怎样染，至少有5个球是同色的。你能证个球是同色的。你能证明这个结论吗？明这个结论吗？假设假设有某种染法
3、使红色球和有某种染法使红色球和白色球的个数都不超过白色球的个数都不超过4，则则球的总数不应超过球的总数不应超过8，这与球的总数是这与球的总数是9相相矛盾矛盾假设不正确，假设不正确，因此，无论怎样染因此，无论怎样染至少有至少有5个球是同色的个球是同色的思考思考：探究探究：思考思考1：掀起你的盖头来：掀起你的盖头来认识反证法认识反证法思考2： A、B、C三个人，三个人，A说说B撒谎，撒谎，B说说C撒谎，撒谎，C说说A、B都撒谎。则都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？必定是在撒谎，为什么？分析分析:假设假设C没有撒谎没有撒谎, 则则C真真. 那么那么A假且假且B假假;由由A假假, 知知B真真. 这与这
4、与B假矛盾假矛盾.那么那么假设假设C没有撒谎不成立没有撒谎不成立;则则C必定是在撒谎必定是在撒谎.1反证法的定义 一般地，假设原命题不成立，经过，最后得出，因此说明假设，从而证明了原命题，这样的证明方法叫做反证法 反证法是的一种基本方法2反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与矛盾，或与矛盾，或与定义、公理、 、矛盾等正确的推理矛盾错误成立间接证明已知条件假设定理事实反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反1反反证法法证明数学命明数学命题的四个步的四个步骤： 第一步：分清命第一步：分清命题的条件和的条件和结论； 第二步：做出与命第二步：做出与命题结论相矛盾的假相矛盾的
5、假设； 第第三三步步：由由假假设出出发，应用用演演绎推推理理方方法法，推推出出矛矛盾盾的的结果；果； 第第四四步步：断断定定产生生矛矛盾盾结果果的的原原因因，在在于于开开始始所所做做的的假假设不不真真，于于是是原原结论成成立立，从从而而间接接地地证明明了了命命题为真真2.常见的主要矛盾有：常见的主要矛盾有：(1)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾；论相矛盾；(2)与假设矛盾；与假设矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾与公认的简单事实矛盾探究探究2 2：深度挖掘：深度挖掘了解反证法了解反证法3反反证法法适适宜宜证明明存存在在性性、唯唯一一
6、性性、带有有“至至少少有有一一个个”或或“至多有一个至多有一个”等字等字样的一些数学的一些数学问题4用用反反证法法证明明不不等等式式，常常用用的的否否定定形形式式有有：“”的的反反面面为“”；“”的的反反面面为“”；“及及”5反反证法法属属于于逻辑方方法法范范畴畴，它它的的严谨体体现在在它它的的原原理理上上，即即“否否定定之之否否定定等等于于肯肯定定”，其其中中第第一一个个否否定定是是指指“否否定定结论(假假设)”；第第二二个个否否定定是是指指“逻辑推推理理结果果否否定定了了假假设”反反证法法属属于于“间接接证明明方方法法”，书写写格格式式易易错之之处是是“假假设”错写成写成“设” 常见的“结
7、论词”与“反设词”如下：原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n1个pq(p)(q)至多有n个至少有n1个pq(p)(q)例1（课本例题7） 已知已知a0， 证明证明x的方程的方程ax=b有且只有一个根。有且只有一个根。分析：要说明两个方面存在性和唯一性；唯一性时可以用反证法探究探究3 常见典型题目类型总结：常见典型题目类型总结：证明；证明；( (存在性）存在性）a0a0，方程，方程ax=bax=b至少有一个至少有一个根根x=b/ax=b/a。 （以下为唯一性）（以下为唯一性）补例2求证：一个
8、三角形中，至少有一个内角不小于60.证明假设ABC的三个内角A、B、C都小于60，即A60，B60，C60. 相加得ABC180. 这与三角形内角和定理矛盾，所以A、B、C都小于60的假设不能成立，从而一个三角形中，至少有一个内角不小于60.例4求证：当x2bxc20有两个不相等的非零实数根时，bc0.证明假设bc0，则有三种情况出现：(1)若b0，c0，方程变为x20；x1x20是方程x2bxc20的根，这与已知方程有两个不相等的实根矛盾(2)若b0，c0，方程变为x2c20，但当c0时x2c20与x2c20矛盾(3)若b0，c0，方程变为x2bx0，方程的根为x10，x2b，这与已知条件：
9、方程有两个非零实根矛盾综上所述，bc0.说明(1)反证法是利用原命题的否定不成立则原命题一定成立来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的(2)对于否定性命题或结论中出现“至多”、“至少”、“不可能”等字样时，常用反证法练习练习2变形变形练习题讲解：练习题讲解： 练习练习1 假设假设B不是锐角不是锐角 练习练习2 假设可以成等差数列假设可以成等差数列1、直接证明困难，原因何在？原因：情况很多，分类讨论条件太少直接证明找不到突破口反证法主要用于以下两种情形：1、要证的结论和条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰。2、如
10、果从正面证明，需要分成多种情况进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形。对于“不可能，至少，唯一性”等题目常用课堂小结：课堂小结：我来告诉你我来告诉你 1.存在性问题存在性问题2.否定性问题否定性问题3.唯一性问题唯一性问题4.至多、至少类问题至多、至少类问题5.一些基本命题、基本定理一些基本命题、基本定理哪些问题适宜用反证法总之，直接证明比较困难的命题总之，直接证明比较困难的命题大家议一议！规律方法当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾名家情系反
11、证法名家情系反证法 反证法常常是解决某些反证法常常是解决某些“疑难疑难”问问题的有力工具。题的有力工具。 牛顿说：牛顿说：“反证法是数学家最精当反证法是数学家最精当的武器之一的武器之一”。 英国数学家哈代也曾这样称赞它：英国数学家哈代也曾这样称赞它：“反证法是数学家最有力的一件武器，反证法是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让给对方！全局拱手让给对方！” -德国数学家希尔伯特说， 禁止数学家使用
12、反证法反证法，就象禁止拳击家使用拳头。 同学们，学了这节课，你们有何体会？ 反思反思与与收获收获你能谈谈举反例与反证法你能谈谈举反例与反证法 的联系和区别吗？的联系和区别吗？拓展阅读反证法典型例子证明：素数有无穷多个。证明：素数有无穷多个。这个古老的命题最初是由这个古老的命题最初是由古希腊古希腊数学家数学家欧几里德欧几里德(Euclid of Alexandria，生活在，生活在亚历山大城亚历山大城,约前约前330约前约前275,是古希腊最享有盛名的数学家是古希腊最享有盛名的数学家)在他的不朽著作在他的不朽著作几何原几何原本本里给出的一个反证法：里给出的一个反证法：假设命题不真，则只有有限多个
13、素数，设所有的素数是假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是2=a1a2ai(i=1,2n).无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无穷多个素数！个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无穷多个素数！1. 课本P44 习题2.2-3题当堂达标练习题一、选择题1实数a、b、c不全为0的条件为() Aa、b、c均不为0 Ba、b、c中至多有一个为0 Ca、b、c中至少有一个为0 Da、b、c中至少有一个不为0 答案D 解析实数a、b、c不全为0就是a、b、c中至少有一个不为0.答案D 3异面直线在同一个平面的射影不可能是 () A两条平行直线 B两条相交直线 C一点与一直线 D同一条直线 答案D二、填空题4有下列命题：空间四点中有三点共线，则这四点必共面；空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不共面；垂直于同一直线的两直线平行；两组对边相等的四边形是平行四边形其中真命题是_答案5和两条异面直线AB、CD都相交的两条直线AC、BD的位置关系是_答案异面7.7.用反证法证明：用反证法证明：如果如果ab0ab0，那么，那么
