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1、第四节第四节 函数的连续性函数的连续性一、一、连续函数的概念二、 函数的间断点三、连续函数的运算四、初等函数的连续性一、连续函数的概念一、连续函数的概念0T (时间时间)温度温度C41424一天的气温是连续地变化着，体现函数的连续性一天的气温是连续地变化着，体现函数的连续性在在的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , 则称函数则称函数设函数设函数且且定义定义3.7函数的增量函数的增量在在内连续内连续 .证证: 即即这说明这说明在在内连续内连续 .同样可证同样可证: 函数函数在在内连续内连续 .例例1 证明函数证明函数左连续左连续 (Left Continuity) :当当时时, 有有右连续右连续(
2、Right Continuity) :当当时时, 有有定理定理与单侧极限与单侧极限相类似！相类似！例例2 讨论函数讨论函数在在处的连续性处的连续性解解由于由于即即左右极限不相等左右极限不相等，所以该函数在，所以该函数在但是但是，因为，因为点不连续点不连续，所以函数，所以函数在在处处右连续右连续若若在某区间上在某区间上每一点每一点都连续都连续 , 则称它在该区间上则称它在该区间上连续连续 , 或称它为该或称它为该区间上区间上的的连续函数连续函数 .（定义（定义3.8，3.9）如果此区间包含如果此区间包含端点端点， 那么那么（1）函数在）函数在左左端点端点连续是指连续是指在在左左端点端点右右连续，
3、连续，（2）函数在）函数在右右端点端点连续是指连续是指在在右右端点端点左左连续连续.连续函数的图形连续函数的图形是一条是一条连续连续而而不间断不间断的曲线的曲线在闭区间在闭区间上的连续函数的集合记作上的连续函数的集合记作二、函数的间断点二、函数的间断点定义定义在在在在(1) 函数函数(2) 函数函数不存在不存在;(3) 函数函数存在存在 , 但但 不连续不连续 :设设在点在点的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 , 则则这样的点这样的点下列情形下列情形之一之一函数函数 f (x) 在点在点虽有定义虽有定义 , 但但虽有定义虽有定义 , 且且称为称为间断点间断点 . 在在无定义无定义 ;或第
4、一类间断点或第一类间断点:及及均存在均存在 ,若若称称若若称称第二类间断点第二类间断点:及及中至少一个不存在中至少一个不存在 ,称称若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡 , 称称若其中有一个为若其中有一个为为为可去间断点可去间断点 .为为跳跃间断点跳跃间断点为为无穷间断点无穷间断点 .为为振荡间断点振荡间断点 .间断点分类间断点分类:显然显然为其为其可去可去间断点间断点 .(1)(2) 为其为其跳跃跳跃间断点间断点 .例如例如:为其为其无穷无穷间断点间断点 .为其为其振荡振荡间断点间断点 .为为可去可去间断点间断点 .三、连续函数的运算三、连续函数的运算四、初等函数的连续性四、初等函数的连续性1.复合函数的连续性复合函数的连续性例例3 求求解：解： 原式原式定理定理 ( 零点定理零点定理 )至少有一点且使( 证明略证明略 )定理定理3.17 (介值定理介值定理 )设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点使至少有( 可利用零点定理证明可利用零点定理证明 )2.反函数的连续性反函数的连续性其反函数其反函数(减减)(减减) .1) yf (x) 单调递增单调递增且也单调递增且也单调递增 2) 函数函数与其反函数与其反函数的图形关于直线的图形关于直线对称对称 .定理定理 3.15 初等函数在其定义域内是连续的.
