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1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征数学期望和方差的概念数学期望和方差的概念数学期望和方差的性质数学期望和方差的性质常用随机变量的数学期望和方差常用随机变量的数学期望和方差小结与思考题小结与思考题一一. .数学期望的定义数学期望的定义例例1 设某班设某班40名学生的概率统计成绩及得分名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：人数如下表所示： 分数分数 40 60 70 80 90 100 人数人数 1 6 9 15 7 2则学生的平均成绩是总分则学生的平均成绩是总分总人数总人数(分分)。即。即 定义定义 1. 若XPX=xk=pk, k=1,2,n, 则称 定义定义 2. 若XP
2、X=xk=pk, k=1,2,且 例例2 掷一颗均匀的骰子，以掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求表示掷得的点数，求X的数学期望。的数学期望。 定义定义 3 若若X的的密度函数为密度函数为f(x), - x , 解解二二.几个重要随机变量的期望几个重要随机变量的期望4. 均匀均匀分布分布U(a, b)6. 正态正态分布分布N( , 2)解解:求随机变量求随机变量Y=X2的数学期望的数学期望XPk-1 0 1YPk1 0 三三. .随机变量函数的期望随机变量函数的期望 定理定理1 若若 XPX=xk=pk, k=1,2, 则则Y=g(X)的期望的期望E(g(X)为为:推论推论: : 若若 (
3、 (X, Y) PX=xX, Y) PX=xi i ,Y=,Y=y yj j, ,= = p pij ij, , i, j=1, 2, i, j=1, 2, , , 则则Z= g(XZ= g(X，Y)Y)的期望的期望解解:解：解： Y=ax+bY=ax+b关于关于x x严单，反函数为严单，反函数为Y的概率密度为的概率密度为 定理定理2 若Xf(x), -x, 则Y=g(X)的期望推论推论 若若(X, Y) f (x, y), - x , - y , 则则Z=g(X, Y)的的期望期望解解:设乘客于某时设乘客于某时X分到达车站分到达车站,候车时间为候车时间为Y,则则=10分分25秒秒060301
4、. E(c)=c,c为常数为常数;2.E(cX)=cE(X), c为常数为常数;四四.数学期望的性质数学期望的性质证明证明:设设Xf(x),则则3. E(X+Y)=E(X)+E(Y);证明证明:设设(X,Y)f(x,y)4. 若若X与与Y独立，则独立，则E(XY)=E(X)E(Y).证明证明:设设(X,Y)f(x,y)解解:设设Xj为第为第j组的化验次数，组的化验次数，XjPj1 101X为为1000人的化验次数，则人的化验次数，则例例2 若若XB(n,p),求求E(X)解解:设设第第i次试验事件次试验事件A发生发生第第i次试验事件次试验事件A不发生不发生则则答答:答答:方差方差一一. 定义与
5、性质定义与性质1. 定义定义 若E(X),E(X2)存在，则称EX-E(X)2 为随机变量 X的方差，记为D(X),或Var(X). 2.推论推论 D(X)=E(X2)-E(X)2. 证明证明: D(X)=EX-E(X)2 (2) D(aX)=a2D(X), a为常数；证明证明:(3)若 X，Y 独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y);证明证明:X与与Y独立独立1. 二项分布二项分布B(n, p)：二二.几个重要随机变量的方差几个重要随机变量的方差证明证明:设设第第i次试验事件次试验事件A发生发生第第i次试验事件次试验事件A不发生不发生则则2. 泊松分布泊松分布p( )：由于由于两边对两边对 求导得求导得或或或或3. 均匀均匀分布分布U(a, b)：5. 正态正态分布分布N( , 2)：
