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1、12011. 9. 2821 1 解析函数的概念及充要条件解析函数的概念及充要条件第二章第二章 解析函数解析函数3一、复变函数的导数一、复变函数的导数“差商的极限差商的极限”1.1.定义定义: :4在定义中应注意在定义中应注意:5例例1 解解6例例2 解解78例例3 解解9102.2.可导与连续可导与连续: : 函数函数 f (z) 在在 z0 处可导则在处可导则在 z0 处一定连续处一定连续, 但但函数函数 f(z) 在在 z0 处连续不一定在处连续不一定在 z0 处可导处可导.证证11证毕证毕123.3.求导公式求导公式与法则与法则: :1314二二. .复函数的微分复函数的微分: :1.
2、1.定义定义15特别地特别地, 16三三. .可微可微( (可导可导) )的充要条件的充要条件1.1.在一点可导或可微在一点可导或可微17注意柯西黎曼条件注意柯西黎曼条件(直角坐标直角坐标,极坐标极坐标)注意复函数的导数注意复函数的导数18连续偏导连续可微分偏导存在注意到二元函数可微，偏导，连续注意到二元函数可微，偏导，连续 的性质的性质19Th220Th3Th321四四. .解析函数的概念解析函数的概念1. 1. 解析函数的定义解析函数的定义222. 2. 奇点的定义奇点的定义注注1,函数在函数在区域内解析区域内解析与在与在区域内可导区域内可导是是等价等价的的.2,函数在函数在一点处解析一点
3、处解析与在与在一点处可导一点处可导是是不等价不等价的概念的概念. 233.3.连续，可导，可微，解析连续，可导，可微，解析的关系的关系. .24例例4 解解由本节例由本节例1和例和例3知知:252627例例5解解28例例6解解2930课堂练习课堂练习答案答案处处不可导处处不可导, ,处处不解析处处不解析. .314.4.解析函数的性质解析函数的性质32可知可知:(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的所有多项式在复平面内是处处解析的.33五五. . 函数解析的充要条件函数解析的充要条件34解析函数的判定方法解析函数的判定方法: :35例例1 判定下列函数在何处可导判定下列函数在何处可导, 在何处解析在何处解析:解解不满足柯西黎曼方程不满足柯西黎曼方程,36四个偏导数四个偏导数均连续均连续指数函数指数函数37四个偏导数均连续四个偏导数均连续38例例2 证证3940例例3 解解41例例4 证证4243例例5解解4445例例6证证46参照以上例题可进一步证明参照以上例题可进一步证明:47例例7 7证证根据隐函数求导法则根据隐函数求导法则,48根据柯西黎曼方程得根据柯西黎曼方程得49例例8证证50
