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1、第八章第八章 动态测量误差及其评定动态测量误差及其评定 动态测量数据与静态测量数据一样，不可避免地存在误差，因此动态测量数据的处理结果也必然存在误差。 为了可靠地给出动态测量数据处理结果的精度，必须对动态测量误差及其评定进行分析研究。 第一节第一节 动态测量误差的基本概念动态测量误差的基本概念 n 动态测量可以看作是静态测量的拓展。但动态测量误差的评定，尤其是数据处理法，决不是静态测量误差评定的简单推广。由于被测量、测量数据和测量系统与静态测量都有较大区别，因而动态测量误差在极念、评定指标、评定方法等方面都有自己的特点。 1. 评定动态测量误差的目的评定动态测量误差的目的n 根据动态到量数据来
2、评定测量误差的大小，估计测量精度，确定测量结果的可信程度；或将高精度的动态测量数据与本次测量数据进行比较，评定其动态测量误差，设法求得误差的数学模型，为与本次测量相似的下一次测量提供先验的误差数据，来修正下一次的测量结果，提高测量精度。n 因此动态测量误差的评定是确定并提高动态测量精度，保证动态测量质量的必要手段。 2.动态测量误差动态测量误差 动态测量误差是指动态测量中被测量任一时刻的测得值减去被测量同一时刻的真值所得的代数差，即式中 x(t)被测量的测得值； xo(t)被测量的真值； e(t)动态测量误差； t一个参变量，一般是测量时间或与测量时间有确定关系的其他物理量。 评定指标的选择评
3、定指标的选择 实际上，直接使用动态测量中被测量测得值的时间历程并不方便，常需把测得的一个时间历程(一个样本)或多个时间历程(多个样本)在时域、频域及幅域中进行处理得到若干评定指标来表征被测量测得值的主要特征。这些指标可能不是时变量，但却是来自以时间历程表示的测得值。因此评定指标的误差也与动态测量误差密切相关。 例81 用光栅式齿轮单啮仪可测得齿轮转角误差曲线1，用更高精度的齿轮整体误差测量仪测量同一个齿轮的转角误差曲线2作为实际值来代替真值(见图1)，则差值就是齿轮转角误差的动态测量误差，见图2。 图1 齿轮转角误差的动态测量误差齿轮转角误差的动态测量误差图 2 构成齿轮转角误差的动态测量误差
4、主要成分是测量仪器各组成部分的误差，这些误差可能是确定性的，也可能是随机的。 动态测量误差评定的方法动态测量误差评定的方法 动态测量误差评定的方法基本上可归纳成两大类：先验分析法和数据处理法。 先验分析法先验分析法是在对测量系统和测量方法作全面细致分析的基础上，根据测量误差的各种来源首先求得各自的误差(系统或随机的)，再根据测量方程合成为最终测量结果的误差。 先验分析法可以在测量之前评定误差，与静态测量误差的评定方法没有本质区别。 数据处理法数据处理法 数据处理法只能在测量后评定误差，这是因为必须先有动态测量数据，才能进行处理所以数据处理法是一种后验法。 数据处理法常辅以一定的先验手段，例如在
5、正式测量前先对系统误差进行分析和测定，甚至用高精度的测量方案测得数据作为待评定测量数据的真值(实际值)，再用误差定义来求得误差数值，揭示本次动态测量误差的规律。 三、动态测量数据与动态测量误差三、动态测量数据与动态测量误差 动态测量数据与动态测量误差虽然在数据处理上有类似之处，但必须认识到它们是两个本同的概念，不能把对动态测量数据的评定看作是动态测量误差的评定。 动态测量数据是通过动态测量所获得的包含被测量信息的数据，测得值就是一种动态测量数据。 动态测量数据 动态测量数据是对被测量的初步描述，是进一步数据处理的原始素材，它通常是时变的、自相关的随机过程，包含了与测量安装及调整、测量环境控制等
6、有关的各种动态测量误差成分。 用光栅式齿轮单啮仪可测得齿轮转角的动态测量数据 动态测量误差动态测量误差 动态测量误差是指动态测量中被测量测得值的误差，例如图所示的齿轮转角误差的动态测量误差。动态测量误差是动态测量数据经误差处理后的结果。显然，动态测量误差本身也可以有各种评定指标，类似于动态测量数据的评定指标。 用光栅式齿轮单啮仪可测得齿轮转角的动态测量误差动态测量误差和动态测量数据的共同点动态测量误差和动态测量数据的共同点 动态测量误差和动态测量数据都属于动态数据，可以通过动态数据处理的各种手段加以处理和评定。 例如在原则上都可以对他们进行指标的估计、相关分析和谱分析等等，最终评定其特性。 四
7、、动态测量误差与静态测量误差四、动态测量误差与静态测量误差 从误差的本质来看，动态测量误差与静态测量误差是一致的，都是测得值与真值之差。但是在误差的表现形式上、在求得误差及其评定指标的途径上和需进行处理数据的数量上，两者有很大的差异。 时变性时变性、动态性动态性、自相关性自相关性和和随机过程性随机过程性是动态是动态测量误差的四个特性测量误差的四个特性 在表现形式上，只要动态测量的测得值本身是一个动态量，则测得值的误差一般具有时变性，即是某个时间变量的函数。静态测量误差则是非时变的。 动态测量误差中含有(系统的)动态误差。这是一种由于测量系统本身的动态特性造成误差，是指输入量为动态量(时变量)时
8、才产生的误差，而输入量为静态量则没有这一误差，这一特性称为动态性。静态测量误差中当然不包含动态误差。 时变性时变性、动态性动态性、自相关性自相关性和和随机过程性随机过程性是动态是动态测量误差的四个特性测量误差的四个特性 动态测量误差也往往具有自相关性即两个不同时刻的动态测量误差的概率分布间并非相互独立的，在不同时刻的误差值是彼此相关的。这一特性正是采用时间序列模型来拟合该误差并据为预报误差的基础。而按时序重复测量数据的各个静态测量误差一般视为具有独立性。 动态测量误差常是一个随机过程因此可以用处理随机过程的各种手段来处理动态测量误差。静态测量误差不可能是时变量当然谈本上随机过程。 动态测量误差
9、处理可以看作是静态测量的推广动态测量误差处理可以看作是静态测量的推广 时变性、动态性、自相关性和随机过程性是分析处理动态测量误差时必须注意的四个特性。因此，动态测量误差不能套用静态测量误差处理的方法。但在基本原理上，动态测量误差处理可以看作是静态测量的推广。许多静态测量误差理论中行之有效的概念和方法；如误差的定义；按性质把误差分为随机、系统和粗大三类，并有各自的处理方法；从测量装置、方法和环境等几方面来分析误差来源；误差合成的一般原则等等，都可以推广到动态测量的误差评定中来。 第二节第二节 动态测量误差的评定指标和数学模型动态测量误差的评定指标和数学模型 动态测量误差的评定指标是用来表征动态测
10、量误差大小和其他特性的参数就如同用均值、标准差和极限误差来分别表征静态测量随机误差的大小、分散特性和分散范围一样。 由于动态测量误差的随机过程性，也由于数字计算的需要，其评定指标分别有总体平均、时间平均两种类型，各自又有离散和连续两种形式。 随机过程是动态测量误差最一般的形式。因此，原则上可以用随机过程的评定指标来评定动态测量误差。与静态测量误差一样，动态测量误差按性质同样也应分为系统误差，随机误差和粗大误差三类来分别评定。 一、动态测量系统误差的评定指标一、动态测量系统误差的评定指标 动态测量系统误差具有确定性变化规律，可用动态测量误差的期望函数来表征。 因此其评定指标可以采用先验分析法所得
11、的系统误差评定指标，或采用单次动态测量数据拟合的均值，或采用多次重复测量的均值中所分离出的系统误差。 算术平均值算术平均值 若重复进行n次测量，通过测量及数据处理得到n个表示该系统误差的确定性时变量记第l个系统误差为esl(t)，则应把它们的算术平均值 (82) 作为评定指标。这里下标s表示系统误差。 算术平均值曲线算术平均值曲线n 如果真值易于排除，可以在排除真值后求得的各条重复测量曲线的算术平均值曲线，它体现了误差的平均变化规律，可作为总的系统误差(包含未定系统误差)评定指标。 二、动态测量随机误差的评定指标二、动态测量随机误差的评定指标 对于多次重复测量的动态测量误差，可以选取若干随机过
12、程总体平均的评定指标作为动态测量随机误差的评定指标。 若进行了n次重复的动态测量，第l次测量的动态随机误erl(t)称为动态测量随机误差er(t)的第l个样本，这里下标r表示随机误差，则评定指标为 总体平均值总体平均值 (83) 动态测量随机误差的总体平均值为可归入动态测量系统误差 标准差、极限误差及自相关函数标准差、极限误差及自相关函数标准差标准差 极限误差极限误差自相关函数自相关函数 (84) (85) (86) 式中，kP是置信系数。当动态测量误差愿从正态分布，且取置信概率为P9973时，kp3。式中 动态测量随机误差两个样本的时间间隔。 各态历经随机误差的评定指标各态历经随机误差的评定
13、指标 如果动态测量随机误差是各态历经的则可以用一个误差样本er(t)按时间平均的误差评定指标来评定动态测量随机误差，且其数值应与总体平均的评定指标一致。若初始平均时间为零，并记平均时间为T，相应的评定指标为 自相关函数自相关函数标准差标准差均值均值(87) (88) (89) 连续数据经离散处理后的评定指标连续数据经离散处理后的评定指标 实际处理动态测量误差时一般要对连续数据进行采样，设采样间隔为，得到N个动态测量随机误差离散数据er0，erl，er2，erN组成的序列，称为时间序列时间序列，并假设er00(若非零，则每个数据都减去er0，得到新的ei0，ei1，eiN)。此时以上各式的时间t
14、应换成离散数据的序号i，时间间隔应换成数据间隔数j。并假设有n个样本，l为样本序号。记erli是第l个样本中第i个动态测量随机误差，则动态测量随机误差的总体评定指标和时间评定指标分别为 时间时间 误差离散值误差离散值 离散处理后的评定指标离散处理后的评定指标总体均值 时间均值 (810) (811) 总体标准差(812) 总体极限误差(813) 离散处理后的评定指标离散处理后的评定指标时间平均方差总体自相关函数(814) (815) 时间平均自相关函数 (816) 第三节第三节 动态测量误差处理动态测量误差处理 动态测量误差处理包含三方面内容 数据预处理 误差分离 误差修正 动态测量误差动态测
15、量误差预处理预处理 对于动态测量的原始数据一般应首先进行截取、离散化、剔除异常数据、初辩统计特性及所含数学成分等，为拟定误差分离及修正的处理方案提供必要的信息。 动态测量误差分离动态测量误差分离 动态测量误差的分离就是根据动态测量的实测数据及预处理所得到的信息，经数据处理求得动态测量系统误差的函数形式和随机误差的样本函数形式。误差分离是误差评定的必要前提，而且往往是最重要、工作量最大的一环。 从原则上来讲，用适当的数学方法是能把误差与真值数据分离开来。然而实际上在一般情况下进行全面的动态测量误差分离是很困难的。 一、动态测量数据预处理过程一、动态测量数据预处理过程1.数据截取和采样数据截取和采
16、样2.异点处理异点处理 3.数据检验数据检验 1.数据截断和采样数据截断和采样 为了避免原始数据太多，也为了避免引入粗大误差，经分析后截取原始数据中的一部分进行处理，称为截断。 对于重复测量过程，裁断长度至少应包括被测量全长或一个动态测量全过程。 为了充分反映动态测量误差的各种统计特性和满足各态历经性的要求裁断长度应足够长，并需重复动态测量全过程足够多次，例如尽可能取连续五次以上。 数据截断数据截断 数据采样数据采样 尽管动态测量数据常常是时间的连续函数，但为了数字处理上的方便，往往只按一定的时间间隔离散化取值，称为采样。采样一般是等间隔的。 若测量全过程时间为T起始时间为t0，并记采样间隔为
17、，则连续的时间函数x(t)，(t0tt0+T)经采样后称为离散化时间序列 (817) 其中第i个数据 (818) 采样时间间隔的确定采样时间间隔的确定 为了使采样数据能复现连续的时间函数x(t)，采样间隔不得大于Shannon(香农)采样定理给出的理论采样时间间隔。 Shanon采样定理指出，为了能从采样数据复现原来信号中频率不大于频率为Fm的成分，最大采样时间间隔max为 考虑到时间序列不至于太长，可选定测量数据中所需的最高频率分量后，再根据采样定理选择适当的采样间隔。例如选定的最高频率为F，则采样间隔为 (819) 2.异点处理异点处理 在动态测量原始数据中会混入一些虚假数据，称为异点。异
18、点是粗大误差引起的，必须首先将这些异常数据剔除。剔除异点的关键是恰如其分地检测出异点。尽管手段并不十分完善，但还是有一些方法，如Tukey提出的53H法，可检测出异点。 检测异点的基本思想检测异点的基本思想 检测异点的基本思想是认为正常数据是“平滑”的，而异点是“突变”的。 如果首先作原始数据的平滑估计，并设定系数k，表示正常数据偏离平滑估计范围。若原始数据中有的数值超出此范围，则判断该数是异点。此法的关键在于产生平滑估计和选取k。用用“中位数中位数”的方法产生的平滑估计的方法产生的平滑估计 首先从原始数据xi(il，2，N)构造一个新序列xi(1)：取xi中前五个数x1，x2，x3，x4，x
19、5按数值大小重新排列为x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)，取其中位数x(3)，记作x3(1)，然后舍去x1加入x6，再取x2，x3，x4，x5，x6的中位数x4(1)，。依此类推得到五个中位数，并组成相邻五个原始数据的中位数序列 再用相似的方法从序列xi(1)构成相邻三个数据的中位数序列异点的异点的剔除准则最后构成序列 k是数据处理者根据情况设定的适当数值。如果xixi(3)k， 则应剔除xi，并根据相邻数据平滑的假设，用一个内插值(例如线性插值)代替它。 3.动态测量数据检验动态测量数据检验 为了进行动态测量误差分离与评定，在分离前必须对测量数据有一个基本了解有必要初步辫识随机数据的统
20、计特性(独立性、平稳性、正态性、各态历经性等等)和确定性成分(数据真实值和系统误差)的变化规律(线性、周期性等等)。 对统计特性的初辨是对数据进行各种数学运算来构造某些统计量，并通过统计检验来实现的。 动态测量数据所含成分的初辨可通过对数据探测、拟合模型的特征判别等多种方法来进行。 二、动态测量误差分离二、动态测量误差分离 动态测量误差处理的关链是必须首先从动态测量数据中将动态测量误差分离出来。 为了分离动态测量误差，一般都得要通过分析测量方案，了解数据中各种成分的组成和特性。因此，必须首先建立表示数据构成的组合模型，然后根据数据组成分析与特征，分离出动态测量误差。 1.连续系统动态测量数据组
21、合模型连续系统动态测量数据组合模型 一般情况下，动态测量数据X(t)可由确定性函数f(t)和随机函数Y(t)组成。而f(t)可进一步划分成非周期函数d(t)和周期函数p(t)两类，即 （8-21） 而动态测量数据X(t)又是由被测变量真实值X0(t)及其测量误差e(t)组成(以下均用下标0表示真实值)，真实值X0(t)由确定性真实值f0(t)和随机性真实值Y0(t)组成；误差e(t)由系统误差es(t)和随机误差er(t)e(t)es(t)组成，即 （8-21） 式(822)称为动态测量数据的组合模型。 2.系统误差分离系统误差分离 除了上面提及的重复测量数据误差曲线的均值可作为系统误差外，许
22、多已定系统误差可以用先验分析法事先计算出来。如电路的动态特性引起的动态误差就可以根据电路中各元器件的电参数来计算。有时系统误差必须通过特定的测量逐个求出，如例8l中齿轮偏心误差可通过对径方向两次测量分离出来。 将原始数据X(t)减去系统误差es(t)后得到实剩数据真实值X0(t)与随机误差er(t)之和，它是进一步分离动态测量随机误差的基础。 3.统计处理法统计处理法 统计处理法是对具有某种统计特性的动态测量数据进行求均值、方差、自相关函数、谱密度函数等等统计处理，最后分离出动态测量随机误差的一种方法。这种方法必须事前对测量数据中各种组成成分的特性有准确的判断，且对动态测量数据进行统计处理后，
23、能够分离出动态测量随机误差。 例如当动态测量数据只包含随机误差，而随机误差为零均值的平稳随机过程ne(t)，被测量的真实值仅为确定性函数X0(t)时，动态测量误差的评定指标方差2(t)和自相关函数R()可对测量数据直接进行统计运算求得。 3.统计处理法统计处理法 动态测量数据可表示为动态测量数据可表示为 (8-23 )对式(823)两边求期望就能可得被测量的真实值，即 (8-24 )其方差和自相关函数为其方差和自相关函数为 (8-25 )(8-26 ) 4.分离真实值法分离真实值法 分离真实值法的基本思想是： 若被测量的真实值是一个确定性函数，且其变化扭律己知，根据组合模型式(822)，首先设法在测量数据中分离出系统误差，得到已分离出系统误差后的组合模型 然后在已分离出系统误差的组合模型式(827)中采用某种数据拟合的方法求得被测量真实值的估计函数(回归分析法)，测量数据减去估计函数就是动态测量误差。(8-27 ) 小 结n 根据动态测量误差的组合模型式(822)和对实际动态测量数据组成成分的判断，综合运用上而所介绍的三种方法基本原理，能够将动态测量误差由动态测量数据中分离出来。 动态测量误差处理流程动态测量误差处理流程 谢 谢 ！
