第八章绕流运动

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1、第八章第八章 绕流运动绕流运动 在在自自然然界界和和工工程程实实际际中中，有有大大量量流流体体绕绕流流物物体体的的流流动动问问题题。实实际际流流体体都都有有粘粘性性，在在大大雷雷诺诺数数的的绕绕流流中中，由由于于流流体体惯惯性性力力远远大大于于作作用用于于流流体体的的黏黏性性力力，黏黏性性力力相相对对于于惯惯性性力力可可忽忽略略不不计计，将将流流体体视视为为理理想想流流体体。由由理理想想流流体体的的流流动动理理论论求求解解流流场场中中的的速速度度分分布布。但但在在靠靠近近物物体体的的一一薄薄层层内内，由由于于存存在在强强烈烈的的剪剪切切流流动动，黏黏性性力力与与惯惯性性力力处处于于相相同同的的

2、数数量量级级，从从而而不不能能忽忽略略。 。8.18.1 无旋流动无旋流动8.28.2 平面无旋流动平面无旋流动8.38.3 几种简单的平面无旋流动几种简单的平面无旋流动8.48.4 势流的叠加势流的叠加8.58.5 绕流运动与附面层绕流运动与附面层基本概念基本概念8.68.6 边界层动量方程边界层动量方程8.78.7 平板层流附面层的近似计算平板层流附面层的近似计算8.88.8 平板上紊流附面层的近似计算平板上紊流附面层的近似计算8.9 8.9 曲面附面层的分离现象与卡门涡街曲面附面层的分离现象与卡门涡街8.108.10绕流阻力和升力绕流阻力和升力8.18.1 无旋流动无旋流动无无旋旋流流动

3、动就就是是其其流流场场中中每每个个流流体体微微团团不不发发生生旋旋转转，角速度角速度，即，即一一速度势函数速度势函数有势流动（无旋流动）流体微团角速度有势流动（无旋流动）流体微团角速度，或，或得到得到所以所以上式成立，意味着在流动空间构成一个函数，满足上式成立，意味着在流动空间构成一个函数，满足全微全微分的充分必要条件分的充分必要条件，用，用(x,y,z,t)表示，该函数的全微分表示，该函数的全微分为：为：(1)全微分存在的充分必要条件：若u=f(x,y,z,t)的各偏导数都存在且连续，则有函函数数的的全全微微分分（2）比较（比较（1）和（）和（2）式，得到）式，得到（3）定义函数定义函数(x

4、,y,z,t)称为称为势函数势函数，由，由可计算得到速度，可计算得到速度，根据伯努利方程得到流场中压强的分布。根据伯努利方程得到流场中压强的分布。速度势函数的特性速度势函数的特性 1势函数的方向导数等于速度在该方向上的投影势函数的方向导数等于速度在该方向上的投影2存在势函数的流动一定是无旋流动存在势函数的流动一定是无旋流动3等势面与流线正交等势面与流线正交4不可压缩流体中势函数是调和函数不可压缩流体中势函数是调和函数 特性特性1 1 空间曲线空间曲线s上任取一点上任取一点M(x,y,z)，M点处流体质点速度分点处流体质点速度分量为量为vx、vy、vz，取速度势函数的方向导数，取速度势函数的方向

5、导数其中：其中：，而而，则则速度的分量速度的分量vx、vy、vz分别在曲线分别在曲线s的切线上的投影之和的切线上的投影之和等于速度矢量本身的投影等于速度矢量本身的投影vs。速度势函数沿任意方向取偏导数的值等于该方向上的速速度势函数沿任意方向取偏导数的值等于该方向上的速度分量。度分量。特性特性2 设对某一流动，存在势函数设对某一流动，存在势函数(x,y,z,t(x,y,z,t) )，流动的角，流动的角速度分量速度分量类似的推出类似的推出可见，流场存在速度势函数则流动无旋，因此流动无旋可见，流场存在速度势函数则流动无旋，因此流动无旋的充分必要条件势流场有速度势函数存在。的充分必要条件势流场有速度势

6、函数存在。特性特性3等势面等势面：在任意瞬时：在任意瞬时t0，速度势函数取同一值的点构，速度势函数取同一值的点构成流动空间一个连续曲面，成流动空间一个连续曲面，(x,y,z,t0)=常数。常数。在等势面上取一点在等势面上取一点A，并在该面上过，并在该面上过A任取一微元矢任取一微元矢量量，求，求与点与点A处速度处速度的标量积。的标量积。因为因为(x,y,z,t0)=C，所以，所以d=0得到得到这说明一点的速度矢量与过该点的等势面是垂直的，这说明一点的速度矢量与过该点的等势面是垂直的，又因为速度矢量与流线方向一致，推出流线与等势面垂又因为速度矢量与流线方向一致，推出流线与等势面垂直。直。 特性特性

7、4不可压缩流体的连续性方程为不可压缩流体的连续性方程为对于有势流动对于有势流动，即即，满满足足Laplace方方程程。而而满满足足Laplace方方程程的的函函数数就叫做调和函数就叫做调和函数8.28.2 平面无旋流动平面无旋流动平平面面流流动动是是指指对对任任一一时时刻刻，流流场场中中各各点点的的速速度度都都平平行行于于某某一一固固定定平平面面的的流流动动，并并且且流流场场中中物物理理量量（如如温温度度、速速度度、压压力力、密密度度等等）在在流流动动平平面面的的垂垂直直方方向向上上没没有有变变化化。即即所所有有决决定定运动的函数仅与两个坐标及时间有关。运动的函数仅与两个坐标及时间有关。在在实

8、实际际流流动动中中，并并不不存存在在严严格格意意义义上上的的平平面面流流动动，而而只只是是一一种种近近似似。如如果果流流动动的的物物理理量量在在某某一一个个方方向向的的变变化化相相对对其其他他方方向向上上的的变变化化可可以以忽忽略略，而而且且在在此此方方向向上上的的速速度度很很小小时时，就就可可简化为平面流动问题处理。简化为平面流动问题处理。（图（图1）二二流函数流函数在平面流动中，不可压缩流动的连续性方程为在平面流动中，不可压缩流动的连续性方程为或或写写成成（4）（4）是）是vydx+vxdy成为某一函数成为某一函数（x，y，t）全微分）全微分的充分必要条件，即的充分必要条件，即（5）的全微

9、分为的全微分为（6）比较（比较（5）和（）和（6），得到），得到，符合上式条件的函数符合上式条件的函数（x，y，t）叫做二维不可压缩流）叫做二维不可压缩流场的流函数。场的流函数。流函数的特性流函数的特性1.沿同一流线流函数值为常数沿同一流线流函数值为常数2.平面流动中通过两条流线间单位厚度的流量等于两条平面流动中通过两条流线间单位厚度的流量等于两条流线上的流函数的差值流线上的流函数的差值3.在有势流动中流函数也是一调和函数在有势流动中流函数也是一调和函数特性特性1s为坐标系为坐标系XOY的任意一条流线，的任意一条流线，在在s上任取一点作速度矢量，与上任取一点作速度矢量，与流线相切，该点的微元流

10、线段在流线相切，该点的微元流线段在x、y轴上的投影为轴上的投影为dx、dy，在，在x、y轴上的投影为轴上的投影为vx、vy或或由由，得到得到在流线在流线s上，上，的增量的增量d为为0，说明沿流线，说明沿流线（x，y，t）为常数，）为常数，而流函数的等值线，即而流函数的等值线，即（x，y，t）=C就是流线。因此，找到流函就是流线。因此，找到流函数后，可以知道流场中各点速度，还可以画出流线。数后，可以知道流场中各点速度，还可以画出流线。特性特性2设设1、2是两条相邻流线，作其间一曲线是两条相邻流线，作其间一曲线AB，求通，求通过过AB两点间单位厚度的流量。两点间单位厚度的流量。(见下图见下图）在在

11、AB上作微元线段上作微元线段,过微元线段处的速度为，过微元线段处的速度为，,单位厚度的流量单位厚度的流量dq应为通过应为通过dx的流量的流量vydx和通和通过过dy的流量的流量vxdy之和，之和，（vy0）沿沿AB线段积分，线段积分，由于沿流线流函数为常数，因此由于沿流线流函数为常数，因此 特性特性3对平面势流对平面势流有有将将，代入上式得到代入上式得到即即，满足，满足Laplace方程。所以在平面势流中流函方程。所以在平面势流中流函数也是调和函数。数也是调和函数。三三流函数和势函数的关系流函数和势函数的关系在平面势流中有在平面势流中有，交叉相乘得交叉相乘得说明等势线族说明等势线族(x,y,z

12、,t)=C1与流函数族与流函数族(x,y,z,t)=C2相互正交。相互正交。在平面势流中，流线族和等势线族组成正交网格，称在平面势流中，流线族和等势线族组成正交网格，称为为流网流网。 极坐标极坐标(r,)中，径向的微元线段是中，径向的微元线段是dr，圆周的微元线，圆周的微元线段是段是rd，速度势函数，速度势函数(r,t)与与vr、v的关系是的关系是，速度流函数速度流函数(r,t)与与vr、v的关系是的关系是，速度势函数和流函数的关系是速度势函数和流函数的关系是 ，例例1例例2例例3流流线线是是一一族族以以x轴轴和和y轴轴为为渐渐近近线线的的双双曲曲线线，等等势势线线是是以以直角平分线为渐近线的

13、双曲线族。直角平分线为渐近线的双曲线族。将将x轴轴看看成成是是固固壁壁，并并且且只只观观察察上上半半平平面面，则则流流动动沿沿y轴轴垂垂直直的的自自上上而而下下流流向向固固壁壁，然然后后在在原原点点处处分分开开，流流向向两两侧。侧。8.3 8.3 几种简单的几种简单的平面无旋流动平面无旋流动一一均匀流均匀流二二点源和点汇点源和点汇三三点涡点涡一一均匀流均匀流图图2均匀流示意图均匀流示意图二二 点源和点汇点源和点汇 图图3a点源点源 图图3b点汇点汇三三点涡点涡定义：流体质点沿着同心圆的轨迹运动，且其速度定义：流体质点沿着同心圆的轨迹运动，且其速度大小与向径大小与向径r成反比的流动成反比的流动。

14、又被称为。又被称为自由涡自由涡。将坐标原点置于点涡处，设点涡的强度为，则任一将坐标原点置于点涡处，设点涡的强度为，则任一半半径径r处处流流体体的的速速度度可可由由stokes定定理理得得到到,那那么么而而求点涡的速度势函数和流函数求点涡的速度势函数和流函数对上面两式积分，并令积分常数等于零，得到：对上面两式积分，并令积分常数等于零，得到：等势线是等势线是的线，流线是以坐标原点为圆心的同心的线，流线是以坐标原点为圆心的同心圆。点涡的复势是圆。点涡的复势是或或 图图4点涡示意图点涡示意图8.48.4 势流的叠加势流的叠加势流叠加原理势流叠加原理有两个流动，它们的速度分布函数、速度势函数、流函有两个

15、流动，它们的速度分布函数、速度势函数、流函数、复势函数分别为数、复势函数分别为、1 1 、1 1、W1和和、2 2、2 2、W2，由于和都满足线性，由于和都满足线性Laplace方程，可以将和分方程，可以将和分别进行叠加。将两流动合起来的复合流动，其相应量分别进行叠加。将两流动合起来的复合流动，其相应量分别为别为、W，存在以下关系：，存在以下关系：因此因此流动变成流动变成n个，同样将个，同样将n个流动叠加，复合流动的相应量个流动叠加，复合流动的相应量定义：叠加多个流动时，所得合成流动的复势即为分流定义：叠加多个流动时，所得合成流动的复势即为分流动的复势的代数和，此即动的复势的代数和，此即势流的

16、叠加原理势流的叠加原理。一一 螺旋流螺旋流 点汇（源）点汇（源）+点涡点涡流动形式为流体自外沿圆周切向进入，又从中间不断流动形式为流体自外沿圆周切向进入，又从中间不断流出。流出。点汇的复势为点汇的复势为点涡的复势为点涡的复势为将两者叠加后得到的新流动的复势为将两者叠加后得到的新流动的复势为得到新流动的速度势函数和流函数的表达式为得到新流动的速度势函数和流函数的表达式为令上式等于常数，可以得到令上式等于常数，可以得到等势线方程等势线方程流线方程流线方程等势线和流线为相互正等势线和流线为相互正交的对数螺旋线簇，称交的对数螺旋线簇，称为螺旋流。为螺旋流。点汇点汇+点涡点涡阴螺旋流阴螺旋流点源点源+点

17、涡点涡阳螺旋流阳螺旋流图图5 5 螺旋流示意图螺旋流示意图二二 偶极子流偶极子流 点源点源+点汇点汇将源点设于将源点设于A点（点（-a,0），汇点于），汇点于B点（点（a,0），强度），强度都为都为q，点源的复势为点源的复势为点汇的复势为点汇的复势为将点源和点汇叠加后的新流动的复势为将点源和点汇叠加后的新流动的复势为若若源源点点和和汇汇点点无无限限接接近近，即即,如如果果强强度度不不变变时时，汇汇点点将源中流出的流体全部吸掉而不发生任何流动。将源中流出的流体全部吸掉而不发生任何流动。若在若在2a逐渐缩小时，强度逐渐缩小时，强度q逐渐增强，当逐渐增强，当2a减小减小到零时，到零时，q应增加到无穷

18、大，以使应增加到无穷大，以使保持一个有限保持一个有限值值，即即，在在这这一一极极限限状状态态下下的的流流动动称称为为偶偶极子流，极子流，M是偶极矩，方向从点源到点汇。是偶极矩，方向从点源到点汇。偶极子流的复势为偶极子流的复势为或或新流动的速度势函数和流函数分别为新流动的速度势函数和流函数分别为 求等势线方程和流线方程求等势线方程和流线方程 1等势线方程等势线方程由于由于，有，有得到得到整理后整理后等势线方程为等势线方程为表示一族圆心在表示一族圆心在x轴上，并与轴上，并与y轴在原点相切的圆轴在原点相切的圆2流线方程流线方程由于由于，有有得到得到整理后得流线方程为整理后得流线方程为表示一族圆心在表

19、示一族圆心在y轴上，并与轴上，并与y轴在原点处相切的圆。轴在原点处相切的圆。图图6偶极子流示意图偶极子流示意图 圆柱体绕流圆柱体绕流设有一速度为设有一速度为的均匀流，从与圆柱体垂直的方向的均匀流，从与圆柱体垂直的方向绕过一半径为绕过一半径为r0的无限长圆柱体，的无限长圆柱体，这样的流动看成是平这样的流动看成是平面流动。面流动。均匀流绕过圆柱体时，由于受到圆柱的阻挡，绕过均匀流绕过圆柱体时，由于受到圆柱的阻挡，绕过柱体附近的流体质点受到扰动，偏离原来的直线路径，柱体附近的流体质点受到扰动，偏离原来的直线路径，而离柱体越远，扰动越小，在无穷远的地方，完全不受而离柱体越远，扰动越小，在无穷远的地方，

20、完全不受扰动，作均匀流动。扰动，作均匀流动。圆柱体绕流可以分为两种情况。圆柱体绕流可以分为两种情况。一一圆柱体无环量绕流圆柱体无环量绕流二二圆柱体有环量绕流圆柱体有环量绕流 图图7 7 绕无穷长圆柱的流动绕无穷长圆柱的流动一一 圆柱体无环量绕流圆柱体无环量绕流由均匀流和偶极子流叠加而成的平面流动由均匀流和偶极子流叠加而成的平面流动。1.势函数和流函数势函数和流函数均匀流和偶极子流的复势分别为均匀流和偶极子流的复势分别为根据势流叠加原理，均匀流和偶极子流叠加形成的新流根据势流叠加原理，均匀流和偶极子流叠加形成的新流动的复势为动的复势为那么速度势函数和流函数分别为那么速度势函数和流函数分别为(1)

21、代入代入得到直角坐标下的速度势函数和流函数得到直角坐标下的速度势函数和流函数（2）令令，即，即得到零流线方程为得到零流线方程为零流线是一个以坐标原点为圆心，半径零流线是一个以坐标原点为圆心，半径的圆周的圆周和和x轴，零流线到轴，零流线到A处分成两股，沿上下两个半圆周流到处分成两股，沿上下两个半圆周流到B点，又重新汇合。点，又重新汇合。将将代代入入方方程程（1）中中，那那么么均均匀匀流流绕绕过过圆圆柱柱体体无无环量绕流的势函数和流函数可以写成环量绕流的势函数和流函数可以写成（）（3）图图8 8 均匀流绕过圆柱体无环量的流动均匀流绕过圆柱体无环量的流动12速度分布速度分布流场中任意一点流场中任意一

22、点P（x，y）的速度分量为）的速度分量为（4）在在或或处处，这这说说明明在在无无穷穷远远处处流流动动变变成成均匀流。均匀流。在极坐标系中，速度分量为在极坐标系中，速度分量为沿包围圆柱体的圆形周线的速度环量为沿包围圆柱体的圆形周线的速度环量为均匀流绕过圆柱体的平面流动的速度环量等于零，故称为圆柱体无均匀流绕过圆柱体的平面流动的速度环量等于零，故称为圆柱体无环量绕流。环量绕流。当时，在圆柱面上，速度分布为当时，在圆柱面上，速度分布为（5） 说说明明，流流体体沿沿圆圆柱柱表表面面只只有有切切向向速速度度，没没有有径径向向速速度度，符符合合流流体体既既不不穿穿入入又又不不脱脱离离圆圆柱柱面面的的实实际

23、际情情况况。在在圆圆柱面上速度是按照正弦曲线分布的，在柱面上速度是按照正弦曲线分布的，在（B点）和点）和（A点点）处处，A、B二二点点是是分分流流点点，也也称称为为驻驻点点。在在处处，达达到到最最大大值值，即即等等于无穷远处来流速度的于无穷远处来流速度的2倍。倍。3.压力分布压力分布圆柱面上任意点的压力，可以由圆柱面上任意点的压力，可以由Bernoulli方程计算方程计算将圆柱表面的速度分布将圆柱表面的速度分布(5)代入上式得到代入上式得到(6)如采用压力系数来表示，根据如采用压力系数来表示，根据Bernoulli方程定义方程定义将代入上式，得到将代入上式，得到用用表示流体作用于物体表面上的压

24、力是无量纲量，与表示流体作用于物体表面上的压力是无量纲量，与圆柱体半径、均匀流速度无关，只与表面位置有关。圆柱体半径、均匀流速度无关，只与表面位置有关。图图9 9 压强系数沿圆柱面的分布压强系数沿圆柱面的分布4.合力合力从压力分布看出，在圆柱面上压力对称于轴、轴，从压力分布看出，在圆柱面上压力对称于轴、轴，那么柱面上合力等于。流体作用在圆柱体上的总压力那么柱面上合力等于。流体作用在圆柱体上的总压力分解成、方向上的分力分解成、方向上的分力、，分别为与来流平，分别为与来流平行和垂直的作用力，称为流体作用在柱体上的阻力和行和垂直的作用力，称为流体作用在柱体上的阻力和升力。有升力。有（）（）理想流体的

25、均匀流绕过圆柱体的无环量绕流中，圆柱体理想流体的均匀流绕过圆柱体的无环量绕流中，圆柱体不受阻力和升力作用。事实上，实际流体由于粘性作用，不受阻力和升力作用。事实上，实际流体由于粘性作用，绕过圆柱产生摩擦力，而且在圆柱绕流后面部分形成脱绕过圆柱产生摩擦力，而且在圆柱绕流后面部分形成脱流和尾迹，流动图形和理想流体绕流截然不同。就是说，流和尾迹，流动图形和理想流体绕流截然不同。就是说，在实际流体绕流圆柱体中，会产生阻力。在实际流体绕流圆柱体中，会产生阻力。二二 圆柱体有环量绕流圆柱体有环量绕流在前面无环量绕流基础上，让圆柱体以等角速度绕其轴心旋转，形在前面无环量绕流基础上，让圆柱体以等角速度绕其轴心

26、旋转，形成有环量绕流。成有环量绕流。1.势函数和流函数势函数和流函数设定圆柱顺时针旋转。有环量绕流是由均匀流、偶极子流、点涡叠设定圆柱顺时针旋转。有环量绕流是由均匀流、偶极子流、点涡叠加而成，其复势分别为加而成，其复势分别为(8)叠加后的复势为叠加后的复势为其速度势函数和流函数分别为其速度势函数和流函数分别为(9)2.速度分布速度分布流场中任一点流场中任一点P(r,)处的速度为处的速度为(10)当当时时，即即的的圆圆周周是是一一条条流流线线，圆圆柱柱面上速度分布为面上速度分布为(11) 这这说说明明流流体体与与圆圆柱柱体体没没有有分分离离现现象象，只只有有沿沿着着圆圆周周切切线线方方向向的的速

27、速度度。当当时时， 说说 明明 在在 远远 离离 圆圆 柱柱 体体 处处 流流 体体 为为 均均 匀匀 流流 。当当点点涡涡的的强强度度时时，在在圆圆柱柱体体的的上上部部环环流流的的速速度度方方向向与与均均匀匀流流的的速速度度方方向向相相同同，而而在在下下部部则则相相反反。叠叠加加的的结结果果在在上上部部速速度度增增高高，而而在在下下部部速速度度降降低低，这这样样就就破破坏坏了了流流线线关关于于x轴轴的的对对称称性性，使使驻驻点点A和和B离离开开了了x轴轴，向向下下移移动动。为为了了确确定定驻驻点点的的位位置置，令令(11)中中，得到驻点的位置角为得到驻点的位置角为(12)若若，则，则，圆柱面

28、上的两个驻点左右对称，圆柱面上的两个驻点左右对称，并位于第三和第四象限内，且并位于第三和第四象限内，且A、B两驻点随两驻点随值的增加值的增加而向下移动，并互相靠拢。而向下移动，并互相靠拢。若若，则，则，圆柱面上不存在驻点，驻点脱离，圆柱面上不存在驻点，驻点脱离圆柱面沿圆柱面沿y轴向下移到某一位置。令轴向下移到某一位置。令(10)中的中的和和，得到两个位于，得到两个位于y轴上的驻点，一个在圆柱体内，轴上的驻点，一个在圆柱体内，另一个在圆柱体外。事实上，只有一个在圆柱体外的自另一个在圆柱体外。事实上，只有一个在圆柱体外的自由驻点由驻点A，全流场由经过驻点，全流场由经过驻点A的闭合流线划分为内、外的

29、闭合流线划分为内、外两个区域，外部区域是均匀流绕过圆柱体有环量的流动，两个区域，外部区域是均匀流绕过圆柱体有环量的流动，在闭合流线和圆柱面之间的内部区域自成闭合环流，但在闭合流线和圆柱面之间的内部区域自成闭合环流，但流线不是圆形的。流线不是圆形的。如如果果叠叠加加的的点点涡涡强强度度，驻驻点点的的位位置置与与上上面面讨讨论论的的情情况正好相差况正好相差180。由此可见，驻点的位置不简单取决于，。由此可见，驻点的位置不简单取决于，而取决于而取决于。图图10 10 均匀流绕过圆柱体有环量的流动均匀流绕过圆柱体有环量的流动3.压力分布压力分布将圆柱面上的速度分布将圆柱面上的速度分布(11)代入代入B

30、ernoulli方程，方程，得到得到(13)4.合力合力圆柱体上取一微元线段圆柱体上取一微元线段，单位长度上圆柱体所受到的，单位长度上圆柱体所受到的力力，力沿力沿x和和y轴方向上的分量为轴方向上的分量为沿整个圆柱面进行积分得到沿整个圆柱面进行积分得到(14)将圆柱面压强将圆柱面压强(13)代入上式，得到代入上式，得到说明圆柱有环量绕流的阻力为零。说明圆柱有环量绕流的阻力为零。（15）这就是库塔这就是库塔-儒可夫斯基升力公式。从上面的分析可以看儒可夫斯基升力公式。从上面的分析可以看出理想流体有环量圆柱绕流时，作用于单位长度圆柱体出理想流体有环量圆柱绕流时，作用于单位长度圆柱体上的合力垂直于均匀来

31、流，大小等于流体密度、来流速上的合力垂直于均匀来流，大小等于流体密度、来流速度和速度环量三者的乘积。升力的方向由来流速度的方度和速度环量三者的乘积。升力的方向由来流速度的方向沿环量的反方向旋转向沿环量的反方向旋转90确定。确定。 图图图图1111升力的方向升力的方向升力的方向升力的方向8.8.5 5绕流运动与附面层绕流运动与附面层基本概念基本概念用用N-S方程可以得到小雷诺数流动条件下的近似解，方程可以得到小雷诺数流动条件下的近似解，工程上涉及到大雷诺数流动，要寻求新的近似方法。工程上涉及到大雷诺数流动，要寻求新的近似方法。在实际流体绕流固体时，固体边界上的流速为在实际流体绕流固体时，固体边界

32、上的流速为0，在，在固体边界的外法线方向上的流体速度从固体边界的外法线方向上的流体速度从0迅速增大，迅速增大，在边在边界附近的流区存在相当大的速度梯度，在这个流区内粘界附近的流区存在相当大的速度梯度，在这个流区内粘性作用不能忽略性作用不能忽略，边界附近的流区称为，边界附近的流区称为边界层（或附面边界层（或附面层）层），边界层外流区，粘性作用可以忽略，当作理想流，边界层外流区，粘性作用可以忽略，当作理想流体来处理。体来处理。如图，平板前方均匀来流的速度如图，平板前方均匀来流的速度v，从平板前缘开始形从平板前缘开始形成边界层，其厚度沿流增加。在边界层外缘附近流速渐成边界层，其厚度沿流增加。在边界层

33、外缘附近流速渐近于当地外流速度。认为边界层厚度是沿表面法线方向近于当地外流速度。认为边界层厚度是沿表面法线方向从到的一段距离。从到的一段距离。边界层定义：边界层定义：绕流物体表面上一层厚度很小且其中的流绕流物体表面上一层厚度很小且其中的流动具有很大法向速度梯度的流动区域动具有很大法向速度梯度的流动区域。注意：1.对于平板绕流，边界层外缘，对于弯曲固壁，边界层外缘。2. 边界层的外边界线与流线不重合，外流区域中的流体质点可以连续地穿过边界层的外缘 进入边界层内。8.8.6 6 边界层动量方程边界层动量方程流流体体绕绕流流中中作作用用在在物物体体上上的的力力可可以以分分为为垂垂直直于于来来流流方方

34、向向的的升升力力和和平平行行于于来来流流方方向向的的阻阻力力，绕绕流流阻阻力力可可以以分分成成摩摩擦擦阻阻力力与与形形状状阻阻力力，都都与与边边界界层层有有关关。绕绕流流阻阻力力作作用用表表现现在在于于边边界界层层内内流流速速的的降降低低，引引起起动动量量的的变化。通过建立边界层的动量方程来研究摩擦阻力。变化。通过建立边界层的动量方程来研究摩擦阻力。沿沿物物体体的的曲曲面面取取x轴轴，沿沿物物体体表表面面法法线线取取y轴轴，在在物物体体表表面面取取边边界界层层微微元元段段ABCD，把把它它放放大大，x轴轴便便成成为为直直线线，线线段段BD长长为为dx，AC为为边边界界层层外外边边界界，AB、C

35、D垂直于物体表面。垂直于物体表面。假设：假设：不计质量力不计质量力流动为定常流动流动为定常流动dx无限小，无限小，BD、AC可看成直线可看成直线由由动动量量方方程程（1）MCD、MAB、MAC分别为单位时间内通过分别为单位时间内通过CD、AB、AC面的流体动量在面的流体动量在x轴上的分量，轴上的分量，Fx为作用在微元面积段为作用在微元面积段上所有外力合力在上所有外力合力在x轴上的投影。轴上的投影。由由控控制制面面AB沿沿x方方向向流流入入动动量量（2）由控制面由控制面CD沿沿x方向流出动量方向流出动量（3）由由控控制制面面AC沿沿x方方向向流流入入动动量量（4）因为因为，所以，所以边界层内边界

36、就是物体表面，其流速为边界层内边界就是物体表面，其流速为0，其压强等于边，其压强等于边界层外边界的压强，即沿物体表面的法线界层外边界的压强，即沿物体表面的法线y方向压强不变，方向压强不变，p与与y无关，可用全微分代替偏微分，上式可写作无关，可用全微分代替偏微分，上式可写作（5）将（将（2）、（）、（3）、（）、（4）、（）、（5）代入（）代入（1）得到）得到（6）方方程程（6）就就是是边边界界层层积积分分方方程程，由由冯冯卡卡门门首首先先推推导导出出来来的，称作的，称作卡门动量积分方程卡门动量积分方程。8.78.7 平板层流附面层的近似平板层流附面层的近似计算计算 边边界界层层动动量量方方程程

37、当当时时，有有5个个未未知知量量，其其中中的的v用用前前面面的的势势流流理理论论求求解解，p由由伯伯努努利利方方程程计计算算，还还剩剩下下、3个个未未知知量量，补补充充2个个方方程程，一一是是边边界界层层内内流流速速分分布布的的关关系系式式，二二是是切切应应力力与与边边界界层层厚厚度度的的关关系系式式。后后者者根根据据流流速速分分布布的关系式求解得到。的关系式求解得到。通通常常在在计计算算边边界界层层动动量量积积分分方方程程时时，先先假假定定流流速速分分布布。这这里里将将就就如如何何应应用用动动量量积积分分方方程程求求解解平板绕流作介绍。平板绕流作介绍。在在二二维维定定常常均均速速流流场场中中

38、，在在流流动动方方向向上上放放置置一一极极薄薄的的光光滑滑平平板板，平平板板前前端端取取作作坐坐标标原原点点，平平板板表表面面为为x轴轴，来来流流速速度度v平平行行于于平平板板。由由于于平平板板极极薄薄，边边界界层层外外部部的的流流动动不不受受平平板板的的影影响响，因因此此边边界界层层外外边边界界上上流流速速处处处处相相等等，等等于于来来流流速速度度v。由由于于流流速速不不变变，边边界界层层外外边边界界上上压压强强p也也处处处处相相等等，。对对于于不不可可压压缩缩流流体体，平板绕流边界层动量方程可写成：平板绕流边界层动量方程可写成：（1）该方程适用于层流和紊流边界层。该方程适用于层流和紊流边界

39、层。设定平板上为层流边界层，首先补充边界层流速分布设定平板上为层流边界层，首先补充边界层流速分布关系式，假定层流边界层内的流速分布与管流中的层流关系式，假定层流边界层内的流速分布与管流中的层流速度分布相同，即速度分布相同，即应用于层流边界层，流速分布为应用于层流边界层，流速分布为或或（2）补充第二个关系式，由牛顿内摩擦定律，求平板上的切补充第二个关系式，由牛顿内摩擦定律，求平板上的切应力应力上式中负号表示切应力和上式中负号表示切应力和x轴的方向相反，用其绝对值轴的方向相反，用其绝对值（3）把（把（2）、（）、（3）代入（）代入（1）对于某固定断面对于某固定断面是定值可提到积分号之外，是定值可提

40、到积分号之外，v沿沿x方向方向不变，可以提到对不变，可以提到对x的全导数之外，最后得到的全导数之外，最后得到沿沿x方向的方向的变化关系式变化关系式当当，时，时，因此，因此上上式式化化简简为为（4）方程（方程（4）是平板边界层厚度沿）是平板边界层厚度沿s方向的变化关系式。方向的变化关系式。把把（4）代代入入（3）（5）（5）为平板层流边界层的切应力沿）为平板层流边界层的切应力沿x方向的变化关系式方向的变化关系式。作用在平板一面上的总摩擦阻力作用在平板一面上的总摩擦阻力Df为为（6）b为平板宽度，为平板宽度，L为平板厚度。为平板厚度。求平板两面的总摩擦阻力只需乘以求平板两面的总摩擦阻力只需乘以2。

41、通常将绕流摩擦阻力计算公式写成下列形式通常将绕流摩擦阻力计算公式写成下列形式（7）Cf无因次摩擦阻力系数；无因次摩擦阻力系数；A平板面积。将（平板面积。将（6）和）和（7）对照得到）对照得到即即（8）ReL是以板长是以板长L为特征长度的为特征长度的Re数，（数，（8）适用范围）适用范围3105ReL106。8.88.8 平板上紊流平板上紊流附面层的近似计算附面层的近似计算 假定整个平板上都是紊流边界层，首先补充边界层流速假定整个平板上都是紊流边界层，首先补充边界层流速分布关系式，紊流边界层内的流速分布用圆管中紊流光分布关系式，紊流边界层内的流速分布用圆管中紊流光滑区的速度分布，即滑区的速度分布

42、，即应应用用到到紊紊流流边边界界层层，速速度度分分布布为为（9）切切应应力力借借用用圆圆管管关关系系式式（10）将（将（9）和（）和（10）代入（）代入（1），积分得到），积分得到当当，时时，因因此此（11）把把（11）代代入入（10）得得到到（12）平板一面的摩擦阻力为平板一面的摩擦阻力为用用 表表 示示 ， 得得 到到 （13）注意：实验表明，将上式中的注意：实验表明，将上式中的0.072改成改成0.074效果要好些效果要好些与层流边界层相比，与层流边界层相比，Re增加时，紊流的增加时，紊流的Cf减小得要慢些，减小得要慢些，（13）适用范围）适用范围3105ReL107时流速分布时流速分布

43、变化变化（14）平板上混合边界层的计算平板上混合边界层的计算 前面假定整个平板上是层流或紊流边界层，实际上，前面假定整个平板上是层流或紊流边界层，实际上，当当Re增大到一定数值时，平板长度达到一定长度，即增大到一定数值时，平板长度达到一定长度，即时，平板前部是层流边界层，后部是紊流边界层，时，平板前部是层流边界层，后部是紊流边界层，中间有一过渡段，这种边界层称为混合边界层。中间有一过渡段，这种边界层称为混合边界层。计算时引入假设：计算时引入假设：（1）层流边界层转变为紊流边界层是在处突然发生，无）层流边界层转变为紊流边界层是在处突然发生，无过渡段；过渡段；（2）混合边界层的紊流边界层可以看作是

44、从平板的首端混合边界层的紊流边界层可以看作是从平板的首端开始的紊流边界层的一部分。开始的紊流边界层的一部分。那么，整个混合边界层平板上的总摩擦阻力由层流边界那么，整个混合边界层平板上的总摩擦阻力由层流边界层的摩擦阻力和紊流边界层的摩擦阻力两部分组成。层的摩擦阻力和紊流边界层的摩擦阻力两部分组成。Cfm混合边界层摩阻系数；混合边界层摩阻系数；Cft紊流边界层摩阻系数；紊流边界层摩阻系数；Cfl层流边界层摩阻系数；层流边界层摩阻系数；xk转折点到平板首端的距离。转折点到平板首端的距离。化简后，化简后，（15）8.98.9 曲面附面层的分离现象曲面附面层的分离现象与卡门涡街与卡门涡街流流体体绕绕过过

45、非非线线型型钝钝头头物物体体时时，较较早早脱脱离离物物体体表表面面，在在物物体体后后部部形形成成较较宽宽阔阔的的尾尾流流区区，在在边边界界层层内内，流流体体质质点点在在某某些些情情况况下下向向边边界界层层外外流流动动的的现现象象称称为为边边界界层层从固体分离。从固体分离。以圆柱绕流为例，虚线为边界层外边界。以圆柱绕流为例，虚线为边界层外边界。注意：注意：注意：注意：C C C C点的位置，这是由于在加速减压和减速增压的过点的位置，这是由于在加速减压和减速增压的过点的位置，这是由于在加速减压和减速增压的过点的位置，这是由于在加速减压和减速增压的过程中，还存在克服流动阻力所消耗的能量损失程中，还存

46、在克服流动阻力所消耗的能量损失程中，还存在克服流动阻力所消耗的能量损失程中，还存在克服流动阻力所消耗的能量损失 由由伯伯努努利利方方程程知知，愈愈靠靠近近圆圆柱柱，流流速速越越小小，压压强强越越大大，在在贴贴近近圆圆柱柱面面A处处流流速速为为0，压压强强最最大大，A点点称称为为驻驻点点。由由于于液液体体不不可可压压缩缩，继继续续流流来来的的液液体体质质点点在在驻驻点点的的压压强强的的作作用用下下，将将压压能能转转化化为为动动能能，从从而而改改变变流流向向，沿沿圆圆柱柱面面两两侧侧继继续续向向前前流流动动。由由于于圆圆柱柱面面的的阻阻滞滞作作用用，在在表表面面产产生生边边界界层层，从从A点点经经

47、1/4圆圆周周到到B点点之之前前，柱柱面面向向外外凸凸出出，流流线线趋趋于于密密集集，边边界界层层内内流流体体处处在在加加速速减减压压情情况况，这这时时由由于于压压能能减减小小部部分分还还能能够够补补偿偿动动能能增增加加和和由由于于克克服服流流动动阻阻力力而而消消耗耗的的能能量量损损失失，因此此时因此此时B点处边界层内流体质点速度不为点处边界层内流体质点速度不为0。过过B B点之后，流线逐渐疏散，边界层内流体处于减速点之后，流线逐渐疏散，边界层内流体处于减速增压的情况，动能转化成压能，同时也用以克服流动阻增压的情况，动能转化成压能，同时也用以克服流动阻力而消耗的能量。在力而消耗的能量。在C C

48、点处边界层内流体质点速度下降为点处边界层内流体质点速度下降为0 0。流体质点在流体质点在C C点停滞下来，形成新的停滞点，继续流点停滞下来，形成新的停滞点，继续流来的流体质点将脱离原来的流线，沿另一流线来的流体质点将脱离原来的流线，沿另一流线CECE流去，流去，从而使边界层脱离了圆柱面，这样就形成了边界层的分从而使边界层脱离了圆柱面，这样就形成了边界层的分离现象，离现象，C C点为点为分离点分离点。分离点的位置与绕流物的形状、。分离点的位置与绕流物的形状、粗糙程度、流动的粗糙程度、流动的ReRe数和来流与物体的相对方向有关。数和来流与物体的相对方向有关。 边界层分离后，边界层和圆柱面之间，由于

49、分离点下边界层分离后，边界层和圆柱面之间，由于分离点下游压强大，从而使流体发生反向回流，形成旋涡区。游压强大，从而使流体发生反向回流，形成旋涡区。8.108.10 绕流阻力和升力绕流阻力和升力绕流物体的阻力分成绕流物体的阻力分成摩擦阻力摩擦阻力和和形状阻力形状阻力两种，前两种，前者用边界层理论求解，后者一般依靠实验。者用边界层理论求解，后者一般依靠实验。形状阻力（压差阻力）：粘性流体绕流时，在物体形状阻力（压差阻力）：粘性流体绕流时，在物体表面上所作用的压力的合力在流动方向上的投影表面上所作用的压力的合力在流动方向上的投影。对非流线型物体，是由于边界层的分离，在物体尾对非流线型物体，是由于边界

50、层的分离，在物体尾部形成旋涡，旋涡区的压强较物体前部低，在流动方向部形成旋涡，旋涡区的压强较物体前部低，在流动方向上产生了压强差，形成了作用于物体上的阻力，称为压上产生了压强差，形成了作用于物体上的阻力，称为压差阻力。差阻力。压差阻力主要取决于物体的形状压差阻力主要取决于物体的形状。一一摩擦阻力摩擦阻力是是由由于于流流体体的的粘粘性性引引起起的的，当当流流体体绕绕流流物物体体时时，在在表表面面上上形形成成了了边边界界层层，边边界界层层内内速速度度梯梯度度大大，粘粘性性的的牵牵制作用使物体受到阻力。阻力发生在运动物体表面上。制作用使物体受到阻力。阻力发生在运动物体表面上。二二形状阻力形状阻力与与

51、边边界界层层的的分分离离现现象象密密切切相相关关。当当流流体体流流过过一一个个圆圆头头尖尖尾尾的的回回转转体体时时，在在物物体体前前端端形形成成减减速速区区，在在前前端端顶顶点点A形形成成驻驻点点，流流体体压压强强随随流流速速变变化化而而变变化化，在在驻驻点点处处最最大大，离离开开驻驻点点，压压强强逐逐渐渐减减小小，从从B点点处处开开始始变变成成负负值值，过过最最大大速速度度点点C后后，流流速速减减小小，压压强强上上升升，压压强强又又变成正值。变成正值。压强分布如实线所示，虚线理想压强分布。压强分布如实线所示，虚线理想压强分布。从从图图中中可可以以看看出出，前前端端的的正正压压强强产产生生一一

52、个个向向后后的的水水平平合合力力，后后端端的的正正压压强强产产生生一一个个向向前前的的水水平平合合力力，中中段段压压强强为为负负值值，产产生生吸吸力力，其其前前半半部部合合成成一一向向前前的的水水平平力力，后后半半部部合合成成一一向向后后的的水水平平力力，这这两两者者数数值值相相差差不不大大，几几乎乎相相互互抵抵消消。因因此此，物物体体所所受受的的水水平平合合力力取取决决于于前前端端正正压压强强造造成成的的向向后后的的较较大大的的力力与与后后端端正正压压强强造造成成的的向向前前的的较较小小的的力力，相互抵消后，还剩下向后的反物体前进的力，即压差阻力。相互抵消后，还剩下向后的反物体前进的力，即压

53、差阻力。三三 悬浮速度悬浮速度一直径为一直径为d的圆球从静止开始在静止流体中自由下的圆球从静止开始在静止流体中自由下落，由于重力作用而加速，但加速以后，由于速度增大落，由于重力作用而加速，但加速以后，由于速度增大受到的阻力也增大，因此经过一段时间后，圆球的重量受到的阻力也增大，因此经过一段时间后，圆球的重量与所受的浮力和阻力达到平衡，作等速沉降，其速度为与所受的浮力和阻力达到平衡，作等速沉降，其速度为自由沉降速度，用自由沉降速度，用uf表示。圆球在流体中沉降时所受到表示。圆球在流体中沉降时所受到的阻力与流体流过圆球的绕流阻力相同。的阻力与流体流过圆球的绕流阻力相同。绕流阻力绕流阻力CD绕流阻力系数绕流阻力系数浮力浮力重力重力流体密度流体密度；球体密度。球体密度。由力平衡关系由力平衡关系即即所以所以CD与与Re数有关，数有关，计算计算uf时要用到时要用到CD，CD又与又与Re有关，由于有关，由于Re中又包含待定的中又包含待定的uf，需需多次试算。常假定多次试算。常假定Re的范围，再验证的范围，再验证Re与假定是否一致。与假定是否一致。