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1、第九讲第九讲 1919世纪的几何与分析世纪的几何与分析I Il几何学的变革几何学的变革l分析的严格化分析的严格化几几 何何u 现实空间与思维空间现实空间与思维空间l 微分几何微分几何l 非欧几何非欧几何l 射影几何射影几何l 统一的几何统一的几何l 公理化方法公理化方法平面曲线理论平面曲线理论1717世纪基本完成世纪基本完成微分几何微分几何惠更斯惠更斯( (荷荷, , 1629-1629-1695)1695)n 16731673年惠更斯年惠更斯( (荷荷, 1629-1695), 1629-1695)：渐伸线、渐屈线：渐伸线、渐屈线洛比塔洛比塔( (法法, , 1661-1704)1661-1
2、704) n 16711671年和年和16861686年牛顿和莱布尼茨：曲率、曲率半径年牛顿和莱布尼茨：曲率、曲率半径n 16911691年和年和16921692年约翰年约翰 伯努利伯努利( (瑞瑞, 1667-1748) , 1667-1748) ：曲线：曲线的包络的包络n 16961696年洛比塔年洛比塔( (法法, 1661-1704), 1661-1704)的的无穷小分析无穷小分析完成并传播了完成并传播了平面曲线理论平面曲线理论1818世纪的空间曲线、曲面理论世纪的空间曲线、曲面理论微分几何微分几何克莱罗克莱罗( (法法, 1713-1765, 1713-1765) )n 169716
3、97年约翰年约翰 伯努利伯努利( (瑞瑞, 1667-1748), 1667-1748)提出的测地线问题提出的测地线问题n 17311731年克莱罗年克莱罗( (法法, 1713-1765), 1713-1765)关于双重曲率曲线的研究关于双重曲率曲线的研究：弧长、曲率弧长、曲率微分几何微分几何n 17601760年欧年欧拉拉( (瑞瑞, 1707-1783) , 1707-1783) 关于曲面上曲线的研究关于曲面上曲线的研究：曲：曲率、绕率，率、绕率，建立了曲面理论建立了曲面理论 蒙日蒙日( (法法, , 1746-1818) 1746-1818) n17711771年欧拉年欧拉( (瑞瑞,
4、 1707-1783), 1707-1783)关于可展曲面，关于可展曲面，17711771和和17751775年蒙日年蒙日( (法法, 1746-1818), 1746-1818)关于可展曲面与直纹面关于可展曲面与直纹面n 17951795年蒙日年蒙日( (法法, , 1746-1818) 1746-1818) 关于分析的几何应用的活页论文关于分析的几何应用的活页论文借助微分方程对曲面族、可展曲面、直纹面做深入研究借助微分方程对曲面族、可展曲面、直纹面做深入研究l 蒙日蒙日: 1792: 1792年任法兰西共和国海军部部长年任法兰西共和国海军部部长, , 签署签署了处决路易十六的报告书了处决路
5、易十六的报告书, 1800, 1800年任元老院议长年任元老院议长, , 18081808年封爵年封爵, , 波旁王朝复辟后被革职波旁王朝复辟后被革职l 17941794年组建巴黎综合工科学校年组建巴黎综合工科学校 , 1795, 1795年设立巴黎年设立巴黎高等师范学校高等师范学校l 培养一批优秀学生培养一批优秀学生: : 泊松、刘维尔、傅里叶、柯泊松、刘维尔、傅里叶、柯西西平行公理的研究(公元前3世纪至1800年)A+B+C=2欧氏几何欧氏几何欧几里得普莱菲尔(苏格兰, 1748-1819)勒让德(法, 1752-1833) 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角若一直线落在两直
6、线上所构成的同旁内角和小于两直角, , 那么把两直线无限延长那么把两直线无限延长, , 它们都在同旁内角和小于两直角的一侧相它们都在同旁内角和小于两直角的一侧相交交. .n 勒让德(法, 1752-1833) 几何学原理：这条关于三角形的三个内角和的定理应该认为是那些基本真理之一。这些真理是不容争论的，它们是数学永恒真理的不朽的例子。(1832)n 1733年萨凯里(意, 1667-1733)欧几里得无懈可击欧氏几何欧氏几何非欧几何非欧几何n 1766年兰伯特(法, 1728-1777)平行线理论不认为锐角假设矛盾, 认识到如果一组假设不引起矛盾, 就提供了一种可能的几何n 1763年，克吕格
7、尔(德, 1739-1812)第一位对平行线公设是否能由其它公理加以证明表示怀疑的数学家n 1820年F鲍约(匈, 1775-1856): “我经过了这个长夜的渺无希望的黑暗, 在这里埋没了我一生的一切亮光和一切快乐,或许这个无底洞的黑暗将吞食掉一千个犹如灯塔般的牛顿, 而使大地永无光明。”()非欧几何非欧几何n 1813年高斯(德, 1777-1855)：非欧几里得几何n 1832年J鲍约(匈, 1802-1860)绝对空间的科学l 几何学上的哥白尼几何学上的哥白尼n 1826年罗巴切夫斯基(俄, 1792-1856)简要论述平行线定理的一个严格证明罗巴切夫斯基(苏联, 1951)非欧几何非
8、欧几何l罗巴切夫斯基(俄, 1792-1856)，喀山大学教授、校长l1815年着手研究平行线理论，试图给出平行公设的证明l1826年在物理数学系会议宣读简要论述平行线定理的一个严格证明l1829年论文几何学原理在喀山大学通报全文发表l直至罗巴切夫斯基去世的30年内，没能赢得社会的承认和赞美鲍约(罗马尼亚, 1960)非欧几何非欧几何鲍约父子之墓内蕴几何，流形曲率1854年黎曼(德, 1826-1866)关于几何基础的假设非欧几何非欧几何非欧几何非欧几何 1846年进入哥廷根大学专修语言和神学 1847-1848年到柏林大学, 进入数学领域 1849-1851年在哥廷根大学, 取得博士学位,
9、学位论文“单复变函数一般理论基础” 1854年讲师职位讲演: 关于几何基础的假设, 1857年副教授, 1859年教授 1862年得肺结核, 1866年在意大利逝世 1876年出版黎曼全集(发表论文18篇, 遗稿12篇) 伟大的分析学家：复变函数论、阿贝尔函数论、超几何级数与常微分方程、解析数论、实分析、几何学、数学物理、物理学黎曼(德, 1826-1866) “ 黎曼是一个富有想象的天才, 他的想法即使没有证明, 也鼓舞了整整一个世纪的数学家.”l模型与相容性l 1868年贝尔特拉米(意, 1835-1899)非欧几何非欧几何曳物线伪球面l 1871年克莱因(德, 1849-1925)l 1
10、882年庞加莱(法, 1854-1912)非欧几何非欧几何克莱因克莱因- -庞加莱圆庞加莱圆 蒙日(法国, 1953)l 1803年卡尔诺(法, 1753-1823)的位置几何学卡尔诺(法国, 1950)l 1799年蒙日(法, 1746-1818)的画法几何学射影几何射影几何l 早期开拓者: 德沙格(法, 1591-1661), 帕斯卡(法, 1623-1662)l综合方法综合方法连连续续性性原原理理对对偶偶原原理理1822年庞斯列(法, 1788-1867)的论图形的射影性质射影几何射影几何l代数方法代数方法默比乌斯(德, 1790-1868)1827年默比乌斯(德, 1790-1868)
11、的重心计算1829年普吕克(德, 1801-1868)的三线坐标普吕克(德, 1801-1868)射影几何射影几何射影几何射影几何施陶特(德, 1798-1867)l 1847年施陶特(德, 1798-1867)的位置几何学l 凯莱(英, 1821-1895)在射影几何基础上建立欧氏几何和非欧几何凯莱(英, 1821-1895)所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学科，或者说任何一种几何学只是研究与特定的变换群有关的不变量。 1872年克莱因(德, 1849-1925)的爱尔朗根纲领统一的几何学统一的几何学1865年进入波恩大学(建于1786年)学习生物 1866-186
12、8年普吕克(德, 1801-1868)的博士 1869-1886年: 哥廷根大学、柏林大学、普法战争、埃尔朗根大学、慕尼黑工业大学、莱比锡大学、哥廷根大学 克莱因使哥廷根这座具有高斯、黎曼传统的德国大学更富有科学魅力，吸引了一批有杰出才华的年青数学家，使之成为20世纪初世界数学的中心之一爱尔朗根纲领射影几何仿射几何单重椭圆几何二重椭圆几何双曲几何欧几里得几何其它仿射几何统一的几何学统一的几何学克莱因：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”几何学的公理化几何学的公理化1899年希尔伯特几何基础n 选择和组织公理系
13、统的原则希尔伯特(德, 1862-1943)“建立几何的公理和探究它们之间的关系，是一个历史悠久的问题；关于这个问题的讨论，从欧几里得以来的数学文献中，有过难以计数的专著，这问题实际就是要把我们的空间直观加以逻辑的分析。”本书中的研究，是重新尝试着来替几何建立一个完备的，而又尽可能简单的公理系统；要根据这个系统推证最重要的几何定理，同时还要使我们的推证能明显地表出各类公理的含义和个别公理的推论的含义。”分析的严格化分析的严格化l 分析的算术化分析的算术化l 实数理论实数理论l 集合论集合论分析的算术化分析的算术化u 分析：分析：关于函数的无穷小分析关于函数的无穷小分析u 问题：问题：第二次数学
14、危机第二次数学危机u 核心：核心：函数、无穷小函数、无穷小u 贡献贡献：柯西柯西( (法法, 1789-1857 ) , 1789-1857 ) 分析教程分析教程(1821)(1821) 无穷小分析教程概论无穷小分析教程概论(1823)(1823) 微分学教程微分学教程(1829)(1829) 魏尔魏尔斯特拉斯斯特拉斯( (德德, 1815-1897, 1815-1897) ) -语言 “现代分析之父”希尔伯特（德，18621942年）：“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深遽的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础。通过澄清极小、函数、导数等概念，他排除了微积分中仍在涌现的各种异议，扫清了关于无穷
15、大和无穷小的各种混乱观念，决定性地克服了起源于无穷大和无穷小概念的困难今天分析达到这样和谐、可靠和完美的程度，本质上应归功于魏尔斯特拉斯的科学活动。” 函数函数l初等函数狄狄里里克克雷雷函函数数处处处处不不可可微微的的连连续续函函数数l 解析函数l 1837年狄里克雷(德, 1805-1859)1817年波尔查诺(捷, 1781-1848)定义了导数、连续1821年柯西(法, 1789-1857)分析教程定义了极限、连续、导数算术化算术化n 1854年黎曼(德, 1826-1866)定义了有界函数的积分n 19世纪60年代魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897)提出-语言n 1875年达布(法
16、, 1842-1917)提出了大和、小和1817年波尔查诺(捷, 1781-1848)提出“确界原理”1817年波尔查诺和19世纪60年代魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897)提出“聚点定理”1821年柯西(法, 1789-1857)提出“收敛准则”19世纪60年代魏尔斯特拉斯提出“单调有界原理”1872年海涅(德, 1821-1881)和1895年波莱尔(法, 1871-1956)提出“有限覆盖定理”实数理论实数理论n 1872年戴德金(德, 1831-1916)提出“分割理论”n 1892年巴赫曼(德, 1837-1920)提出“区间套原理”波尔查诺(捷克斯洛伐克，1981）实数理论实数
17、理论 1834年进入波恩大学学习法律与商业，放弃法学博士候选人 1839-1940年成为古德曼(德, 1798-1852)的学生 1841-1856年在中学任教, 开展椭圆函数论与阿贝尔函数论的研究,1854年哥尼斯堡大学名誉博士 1856年起在柏林工业大学、柏林大学任教, 1873年出任柏林大学校长 分析算术化的完成者, 解析函数论的奠基人, 卓越的大学数学教师(1864-1885培养了41位博士),学生中有近100位成为大学正教授 龙格(德, 1856-1927): 魏尔斯特拉斯在其连续性课程中“自下而上地构筑了完美的数学大厦, 其中任何想当然的、未经证明的东西没有立足之地”.魏尔斯特拉斯
18、柯西实数理论实数理论海涅波莱尔达布 黎曼戴德金巴赫曼1874年起康托(德, 1845-1918)一系列论文建立康托三等分集集合论集合论l 希尔伯特：数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活希尔伯特：数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最优美的表现之一。动的最优美的表现之一。l 我看到了它，但我简直不能相信它。我看到了它，但我简直不能相信它。l 一一对应关系确定集合的基数一一对应关系确定集合的基数 l 实直线是不可数集合实直线是不可数集合l 康托定理康托定理: : 对集合对集合X, |X|P(X)|=2X, |X|P(X)|=2|X|X|集合论集合论l康托对角线法证明康托对角线法证明: (0, 1: (0, 1是不可数集是不可数集. .第九讲思考题第九讲思考题 1 1、从非欧几何学的建立谈谈您对几何真实性的认识。、从非欧几何学的建立谈谈您对几何真实性的认识。2 2、非欧几何的诞生有何意义？、非欧几何的诞生有何意义？3 3、魏尔斯特拉斯对于分析的严格化有哪些重要贡献、魏尔斯特拉斯对于分析的严格化有哪些重要贡献？4 4、如何化解第一次数学危机、如何化解第一次数学危机? ?5 5、如何化解第二次数学危机、如何化解第二次数学危机? ?
