直线与圆的方程的应用

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1、书 山 有 路 勤 为 径,学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习,老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感,百分之九十九的汗水!天 才 在 于 勤 奋,努 力 才 能 成 功!9/14/2024问题问题1 1: :一艘轮船在沿直线返回港口的途中,一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西正西70 km70 km处,处, 受影响的范围是半径长为受影响的范围是半径长为30km30km的圆形区域的圆形区域. . 已知港口位于台风中心正已知港口位于台风中心正北北40 km40 km处,

2、如果这艘轮船不改变航线,那处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?么它是否会受到台风的影响?轮船轮船港口港口台风台风思考思考1:1:解决这个问题的本质是什么?解决这个问题的本质是什么?思考思考2:2:你有什么办法判断轮船航线是否经你有什么办法判断轮船航线是否经过台风圆域?过台风圆域?轮轮船船港港口口台台风风xyo思考思考3:3:如图所示建立直角坐标系,取如图所示建立直角坐标系,取10km10km为为长度单位,那么轮船航线所在直线和台风圆长度单位,那么轮船航线所在直线和台风圆域边界所在圆的方程分别是什么?域边界所在圆的方程分别是什么?思考思考4:4:直线直线4x4x7y7y282

3、80 0与圆与圆x x2 2y y2 29 9的的位置关系如何?对问题位置关系如何?对问题1 1应作怎样的回答?应作怎样的回答?轮船轮船港口港口台风台风问题问题2 2:如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. . 这个圆的圆拱跨度这个圆的圆拱跨度AB=20mAB=20m,拱高,拱高OP=4mOP=4m,建造,建造时每间隔时每间隔4m4m需要用一根支柱支撑,求支柱需要用一根支柱支撑,求支柱A A2 2P P2 2的高度(精确到的高度(精确到0.01m0.01m)ABA1A2A3A4OPP2思考思考:(用坐标法用坐标法)1.圆心和半径圆心和半径能直接求出吗?能直接求出吗?

4、2.怎样求出圆怎样求出圆的方程?的方程?3.怎样求出支怎样求出支柱柱A2P2的长度?的长度?ABA1A2A3A4OPP2xy解:解:建立如图所示的坐标系建立如图所示的坐标系,设圆心坐标是设圆心坐标是(0,b),圆的圆的半径是半径是r ,则圆的方程是则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 .把把P(0,4) B(10,0)代入圆的方程代入圆的方程02+(4-b)2= r2102+(0-b)2=r2解得,解得,b= -10.5 r2=14.52所以圆的方程是:所以圆的方程是: x2+(y+10.5)2=14.52把点把点P2的横坐标的横坐标x= -2 代入圆的方程,得代入圆的方程,得 (-2)2+(

5、y+10.5)2=14.52因为因为y0,所以所以y=14.52-(-2)2 -10.514.36-10.5=3.86(m)答:支柱答:支柱A2P2的长度约为的长度约为3.86m.得方程组得方程组:问题问题3 3: :已知内接于圆的四边形的对角线互相已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证:圆心到一边的距离等于这条边垂直,求证:圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半所对边长的一半. .ABCDxyOCABD(a,0)(0,b)(c,0)(0,d)G思考思考1:1:利用利用“解析法解析法”解决,首先要做的工作是建立适当解决,首先要做的工作是建立适当的直角坐标系,在本题中应如何选取坐标系?的直

6、角坐标系,在本题中应如何选取坐标系?解解:以四边形以四边形ABCD 互相垂直的对角线作为互相垂直的对角线作为x轴、轴、y轴轴,建立建立如图所示如图所示直角坐标系直角坐标系,设设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d)思考思考2:2:四边形四边形ABCD ABCD 的外接圆圆心的外接圆圆心G G的坐标的坐标如何?如何?ExyOCABD(a,0)(0,b)(c,0)(0,d)GMN过四边形的外接圆圆心过四边形的外接圆圆心G作作AC、BD、AD边的垂线边的垂线,垂足为垂足为M、N、E,则则M、N、E分别为分别为AC、BD、AD边的中点边的中点.由线段的中点坐标公式有由线段的中点坐标公式

7、有:ExyOCABD(a,0)(0,b)(c,0)(0,d)GMN思考思考3:3:|GE|,|BC| |GE|,|BC| 怎样求?怎样求?用坐标法用坐标法 解决几何问题的步骤:解决几何问题的步骤:第二步:第二步:通过代数运算,解决代数问题;通过代数运算,解决代数问题;第三步:第三步:将代数运算结果将代数运算结果“翻译翻译”成几何结论成几何结论第一步第一步 :建立适当的平面直角坐标系,用坐标建立适当的平面直角坐标系,用坐标 和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;题转化为代数问题;思考思考4:4:由上述计算可得由上述计算可得|BC|=2|GE|BC|=2|GE|,从而命,从而命题成立题成立. .你能用平面几何知识证明这个命题你能用平面几何知识证明这个命题吗?吗?ABCDGEE E练习练习 如图,在如图,在RtAOBRtAOB中,中,|OA|=4|OA|=4,|OB|=3|OB|=3,AOB=90AOB=90,点,点P P是是AOBAOB内切圆内切圆上任意一点,求点上任意一点,求点P P到顶点到顶点A A、O O、B B的距离的距离的平方和的最大值和最小值的平方和的最大值和最小值. .OABPCX Xy y

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