第二章 系统数学模型数学模型：描述系统特性，揭示其结构、参数与动态性能的关系 机械工程控制中数学模型的几种形式:时域中有：微分方程、状态方程和差分方程；复数域中有：传递函数、结构图；频域中有：频率特性等本章主要内容：列写微分方程的一般方法；非线性微分方程的性线化；传递函数的概念、方框图及其简化整理ppt 第一节 系统微分方程建立数学模型的方法：Ø 分析法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近这种方法也称为系统辨识Ø 实验法 第二章 系统数学模型整理ppt 第一节 系统微分方程线性系统与非线性系统：线性定常系统：线性时变系统：非线性系统： 能用线性微分方程描述的系统是线性系统否则是非线性系统第二章 系统数学模型K-M-C系统：整理ppt 线性系统的性质:第一节 系统微分方程线性系统的齐次性和叠加性： 线性系统在多个输入的作用下，其总输出等于各个输入单独作用下所产生的输出之和线性系统的微分特性：线性系统的积分特性：线性系统的频率保持性： 信号通过系统后不会产生新的频率分量，尽管分量的大小和相位会发生变化。
第二章 系统数学模型整理ppt 第一节 系统微分方程列写微分方程式的一般方法：1、确定系统的输入量、输出量给定输入量和扰动量）；2、按照信号的传递顺序，列写出各个环节的微分方程3、消去中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程；4、变换成标准形式将与输入有关的项写在微分方程的右边，与输出有关的项写在微分方程的左边，并且各阶导数项按降幂排列 第二章 系统数学模型整理ppt 典型元件所遵循的物理定律第一节 系统微分方程机械系统：质量元件：弹性元件：阻尼元件：第二章 系统数学模型整理ppt 电网络：容性元件：感性元件：阻性元件：典型元件所遵循的物理定律第一节 系统微分方程第二章 系统数学模型整理ppt 例2-1：试列出如图所示机械系统的微分方程 微分方程举例：第一节 系统微分方程1、明确系统的输入和输出：输入为f，输出为x2、根据牛顿第二定律列出原始微分方程：3、整理：第二章 系统数学模型整理ppt 例2-2：试列出如图所示机械系统的微分方程 1、明确系统的输入和输出：输入为T，输出为x（t）2、列出原始微分方程：3、消除中间变量，并整理得：J —旋转体转动惯量；K1 —扭转刚度系数; K2 —刚度系数B1、—粘性阻尼系数; B2、—粘性阻尼系数;r:旋转体转动半径微分方程举例：第一节 系统微分方程第二章 系统数学模型输输入入输输出出整理ppt 例2-3：试列出如图所示电气系统的微分方程。
1、明确系统的输入和输出：输入为ui（t），输出为uo（t）2、列出原始微分方程3、消除中间变量，并整理得：u uo o( (t t) )L LR RC Cu ui i( (t t) )i i( (t t) )R-L-CR-L-C无源无源电电路网路网络络或微分方程举例：第一节 系统微分方程第二章 系统数学模型整理ppt 例2-4：试列出如图所示电气系统的微分方程 1、明确系统的输入和输出输入为ui，输出为uo2、列出原始微分方程负载效应3、消除中间变量，并整理得：本例中如果看成两个RC电路,不考虑后一级RC电路的负载作用,结果就错误了 微分方程举例：第一节 系统微分方程L1L2第二章 系统数学模型整理ppt 例2-4：直流电机驱动系统 1、明确系统的输入和输出输入为ua，干扰输入为ML,输出为ω2、列出原始微分方程①电枢回路电压平衡方程为: kd为电动机的反电动势系数 2.1.1微分方程举例：第一节 系统微分方程第二章 系统数学模型M M整理ppt 设J为转动部分折算到轴上的总的转动惯量：②力矩平衡方程为: Km为电动机电磁力矩常数3、消除中间变量：中间变量电枢回路电压平衡方程为:则电机转子运动方程为:消除变量M两方程间的联系：第二章 系统数学模型M为电动机的电磁转矩：整理ppt 4、整理得：5、标准形式：第二章 系统数学模型整理ppt 例2-5：直流电机驱动系统。
若电机处于平衡状态，有： （静态数学模型}电机处于平衡状态，对应的输入量和输出量分别表示为： 若某一时刻，输入量发生变化，其变化值为： ，电机的平衡状态被破坏，输出亦发生变化，其变化量为： ，这时，输入量和输出量可表示为增量形式： 第一节 系统微分方程微分方程的增量化表示：第二章 系统数学模型整理ppt 化简并整理得： 考虑到于是有： 第二章 系统数学模型整理ppt 讨论1：1、增量方程与实际坐标方程形式相同； 2、当平衡点为坐标原点时两者等价，否则两者不等价； 3、增量方程式的意义是：对于定值控制系统，总是工作在设定值即稳态或平衡点附近，将变量的坐标原点设在该平衡点，则微分方程转换为增量方程，它同样描述了系统的动态特性，但它由于不考虑初始条件，求解及分析时方便了许多 第二章 系统数学模型整理ppt 讨论2：若△ML=0：若△ua=0： 在系统同时具有二种输入作用的情况下，该线性系统遵循叠加原理整理ppt 非线性方程线性化条件：1、系统在预定工作点附近作小偏差运动，即变量的变化范 围很小；2、非线性函数是连续函数，即函数中各个变量在平衡点处 有导数或偏导数存在； 1、确定预定工作点； 2、在工作点附近将非线性方程展开成Taylor级数形式； 非线性方程线性化方法：3、忽略高阶项； 4、表示成增量方程形式； 第一节 系统微分方程非线性系统的线性化：第二章 系统数学模型 非非线线性系性系统统的的线线性化的性化的实质实质是在平衡点附近用增量方程是在平衡点附近用增量方程描述描述这这个系个系统统。
整理ppt 例2-6：液压伺服机构 1、明确系统的输入与输出： 输入为x，输出为y 2、列写原始方程：3、非线性方程线性化：①、确定系统的预定工作点：设为（x0，p0）②、展开成Taylor级数形式：③、表示成增量化形式：第一节 系统微分方程非线性系统的线性化处理：第二章 系统数学模型2、 作用在负载上的力：AP=A(P1-P2）：流量增益：流量压力系数整理ppt 图 q, p, x三者线性关系由于：于是：④、P代入动态方程：第二章 系统数学模型整理ppt 讨论：3、非线性项线性化后得到的微分方程是增量形式的微分方程 2、线性化的结果与系统预定的工作点有关工作点不同所得的线性方程的系数不同 1、非线性项线性化后必须满足连续性和小偏差的条件 0 0x xy y= =f f( (x x) )y y0 0x x0 0 x x y’y’ y yA A第一节 系统微分方程非线性系统的线性化处理：第二章 系统数学模型整理ppt 第二节 系统传递函数传递函数是复数域描述线性系统的数学模型线性定常系统微分方程的一般形式为:（其中Xo(t)为输出，Xi(t)为输入）在零初始条件下，方程两边分别取拉氏变换，有：于是有：第二章 系统数学模型整理ppt 传递函数的定义: 在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。
传递函数的特点：第二章 系统数学模型1、传递函数是关于复变量S的复变函数；2、传递函数的分母反映系统本身与外界无关的固有特性，传递函数的分子反映了系统与外界的联系；3、当输入确定时系统的输出完全取决于系统的传递函数； xo(t)=L-1[Xo(s)]=L-1[G(s) Xi(s)]4、物理性质不同的系统可以有相同的传递函数（相似系统）整理ppt 传递函数的零点、极点和增益决定着系统的瞬态性能和稳态性能第二章 系统数学模型第二节 系统的传递函数传递函数的零、极点模型:零点：极点：使用传递函数模型后，对系统的研究可转化为对系统传递函数的零点、极点和放大系数的研究由于Xi(s)=1/s, 由拉氏变换终值定理得: 放大系数（增益）：系统稳态时输出与输入之比；=整理ppt 第二节 系统的传递函数例2-7：求图示系统的传递函数 1、确定系统的输入和输出量：u1，u22、列定原始微分方程：3、在零初始条件下进行拉氏变换：3、在零初始条件下进行拉氏变换：4、消除中间变量并整理得：于是有：第二章 系统数学模型整理ppt 典型环节的传递函数（比例、惯性、积分、微分、振荡、延时等环节）第二节 系统的传递函数1、比例环节：输出量与输入量成正比。
动力学方程：传递函数：特点：输入量与输出量成正比；不不失真，不延时例如：第二章 系统数学模型整理ppt 第二节 系统的传递函数2、惯性环节：动力学方程：传递函数：特点： 具有一个储能元件和一个耗能元件，在阶跃输入下，输出不能立即达到稳态值例如：第二章 系统数学模型惯性环节的时间常数整理ppt 第二节 系统的传递函数3、微分环节：输出正比于输入的微分动力学方程：例如， 理想微分环节：传递函数：第二章 系统数学模型传递函数：1）、微分环节一般存在于其它环节中，不能单独存在2）、微分环节的输出反映输入的变化趋势，强化了系统噪声；特点：整理ppt 第二章 系统数学模型R RC Cu ui i( (t t) )u uo o( (t t) )i i( (t t) )无源微分网络 显然，无源微分网络包括有惯性环节和微分环节，称之为惯性微分环节，只有当|Ts|<<1时，才近似为微分环节 例：无源微分网络 整理ppt 例：机械--液压阻尼器 图中A为活塞的面积，K为弹簧刚度，R为节流阀液阻，P1和P2 分别为活塞左右腔油的工作压力，xi为活塞位移，xo 为油缸位移工作原理：当活塞作阶跃位移xi时，油缸瞬时位移xo在初始时刻与xi相等，当弹簧被压缩时，弹簧力加大，油缸右油缸压力P2增大，迫使液压油以流量q通过节流阀反流到油缸左油腔，从而使油缸左移，弹力最终使Xo减到零，油缸返回到初始位置。
整理ppt 油缸压力平衡方程：通过节流阀的流量为：由上两式得：方程两边取拉氏变换：故传递函数为：令：整理ppt R13)、微分环节的控制作用：例：图示比例环节中，比例系数（K=-1）：并联微分环节所产生的附加输出：传递函数：在单位速度信号(u（t）=r(t)=t)作用下在时域的输出uo1(t)即为-450的斜线使输出提前-RC第二章 系统数学模型在系统中加入微分环节引起输出超前根据叠加性：整理ppt 一阶微分环节：3)、一阶微分环节Rp传递函数：第二章 系统数学模型其中：整理ppt 第二节 系统的传递函数4、积分环节环节：输出正比于输入对时间的积分动力学方程：1）输出具有时间累 加特性；2）输出滞后作用；3）具有记忆功能系统中凡有存储或积累特点的元件都有积分特性.特点：积分环节输入—输出关系当输入为单位阶跃信号时,对该式取拉氏反变换:设：或：输入输出水箱面积为A.第二章 系统数学模型传递函数：Ts例如：整理ppt 第二节 系统的传递函数5、振荡环节（二阶振荡环节）：传递函数：或：式中 无阻尼固有频率 为阻尼比， 为时间常数 二阶振荡环节系统框图动力学方程：第二章 系统数学模型一般含有二个储能元件、一个耗能元件。
整理ppt 5、振荡环节（二阶振荡环节）：特点：⑵、当 时，输出无振荡，非振荡环节是二个一阶惯性环节的组合传递函数：或：第二节 系统的传递函数第二章 系统数学模型式中 无阻尼固有频率 为阻尼比， 为时间常数 ⑴、当 时，输出存在振荡， 且 越小振荡越剧烈；整理ppt 解：建立力距平衡方程：例如：旋转运动的J-C-K系统C与标准式比较：方程两边取拉氏变换：整理ppt 例如:L-R-C电路解：建立电路方程：方程两边取拉氏变换：整理得：与标准式比较：整理ppt 传递函数：6、延时环节（迟延环节）：运动方程：为延迟时间特点：输出滞后于输入，但不失真延迟环节的阶跃响应第二节 系统的传递函数第二章 系统数学模型例如：扎钢时的带钢厚度检测示意图输出滞后于输入时间 ，但不失真地反映输入的环节整理ppt 1） 传递函数框图中的环节是根据动力学方程来划分的，一个环节并不一定代表一个物理元件或物理子系统，一个物理元件或物理子系统也不一定就是一个传递函数环节（也许几个物理元件的特性才组成一个传递函数环节（环节间有负载效有应） ，也许一个物理环节的特性分散在几个传递函数环节中。
几点说明：2） 注意区别表示系统结构的物理框图和分析系统的传递函数 框图3） 同一元件在不同的系统中作用不同时，其传递函数可以不同第二节 系统的传递函数第二章 系统数学模型（如：动力学方程： 取输入为位移 是微分环节，若取速度 为输入 是就成比例环节了 整理ppt 注意：求取传递函数时,一般假设网络输出端有无穷大的负载阻抗,输入内阻为零,否则应考虑负载效应. 图2-11中,两个RC网络不相连接时,可视为空载, 传递函数分别为：图2-11 负载效应示意图第二节 系统的传递函数第二章 系统数学模型整理ppt 若将 G1(s) 与 G2(s) 两方块串联连接,如图2-11右端, 不考虑负载效应，其传递函数为：但是,若将两个RC网络直接连接,前述由电路微分方程可求得连接后电路的传递函数第二章 系统数学模型整理ppt 将组成系统的各个环节用传递函数方框图表示，并将相应的变量按信号流向连接起来，就构成系统的方框图第三节 系统的传递函数方框图及其简化方框图的结构要素：传递函数方框图相加点示意图分支点示意建立传递函数方框图的方法：⑴列写原始微分方程；⑵在零初始条件下，对各原始微分方程分别取Laplace变换；⑶将变换的代数方程表示成各环节传递函数方框图的形式；⑷根据信号在各环节传递和变换的流向，依次连接上述各个方框图,构成整个系统的方框图。
第二章 系统数学模型整理ppt 1、列写原始方程：3、绘制上述各传递函数方框图：4、连接各个环节：第三节 系统的传递函数方框图及其简化第二章 系统数学模型2、取Laplace变换整理ppt 1、列写原始方程：3、绘制上述各传递函数方框图：第三节 系统的传递函数方框图及其简化第二章 系统数学模型2、取Laplace变换整理ppt 传递函数方框图的等效变换所谓等效变换 是指变换前后输入输出总的数学关系保持不变 第三节 系统的传递函数方框图及其简化第二章 系统数学模型4 相相邻邻比比较较点的点的处处理理u变换变换方法方法1 三种典型三种典型结结构的构的变换变换3 相相邻邻引出点的引出点的处处理理2 比比较较点和引出点的移点和引出点的移动变换动变换代数代数变换变换图图形形变换变换整理ppt 1、串联环节的等效变换：2、并联环节的等效变换：整理ppt 3、反馈环节用其等效变换规则：前向通道传递函数：反馈通道传递函数：开环传递函数：闭环传递函数：因为：所以：第三节 系统的传递函数方框图及其简化第二章 系统数学模型反馈环节等效递函数：于是：又：误差传递函数：整理ppt 第三节 系统的传递函数方框图及其简化第二章 系统数学模型说明：1、前向通道、反馈通道、开环传递函数都只是闭环系统的部分环节（或环节组合的传递函数），闭环传递函数才是系统的传递函数。
2、相加点B（s）处的符号不代表闭环系统的反馈是正反馈还是负反馈即：±整理ppt 4、分支点移动规则：第三节 系统的传递函数方框图及其简化第二章 系统数学模型移移动动的支路上乘以它所的支路上乘以它所扫过扫过方框内的方框内的传传函移移动动的支路上乘以它所的支路上乘以它所扫过扫过方框内的方框内的传传函的倒数函的倒数整理ppt 4、相加点移动规则：第三节 系统的传递函数方框图及其简化第二章 系统数学模型移移动动的支路上乘以它所的支路上乘以它所扫过扫过方框内的方框内的传传函移移动动的支路上乘以它所的支路上乘以它所扫过扫过方框内的方框内的传传函的倒数函的倒数整理ppt 4、相邻分支点之间或相邻相加点之间相互移动规则：第三节 系统的传递函数方框图及其简化第二章 系统数学模型注意：分支点和相加点之间不能相互移动！a a b ba ab b1）） 相相邻邻引出点可互引出点可互换换位置、可合并位置、可合并2）） 相相邻邻比比较较点可互点可互换换位置、可合并位置、可合并a ab ba ab b+-+-+-++整理ppt 1、变换目的：是为了得到系统的传递函数与传递函数的代数运算等价，通过代数运算也可以得到同样的结果。
¯需要说明的两点：2、 变换思路 （1）用最少的步骤将系统结构图化成由三种基本结构组成的图形，然后通过串联和并联变换化简信号通道，通过反馈回路变换化简回路（记住公式）2）通过比较点和引出点的移动，解除回路之间互相交连的部分,从而简化结构图整理ppt •变换技巧一：向同类移动 引出点向引出点移动，比较点向比较点移动移动后再将它们合并，以减少结构图中引出点和比较点的数目一般适用于前向通道u变换技巧•变换技巧二：作用分解 同一个变量作用于两个比较点，或者是两个变量作用于同一个方框，可以把这种作用分解成两个单独的回路，用以化解回路之间的相互交连一般适用于反馈通道整理ppt 引出点移引出点移动动G1G2G3G4H3H2H1abG1G2G3G4H3H2H1G41请请你写出你写出结结果果,行行吗吗？？向同向同类类移移动动××××××整理ppt G2H1G1G3比比较较点移点移动动G1G2G3H1G2无用功无用功向同向同类类移移动动G1××＋＋整理ppt 注意注意图图形等效后面的代数形等效后面的代数辅辅助运算助运算整理ppt G1G4H3G2G3H1H1H3G1G4G2G3H3H1作用分解作用分解整理ppt G1G2++++-RC例例3 求系求系统传递统传递函数。
函数PMN此图如采用结构图化简的方式，该怎么办？××××整理ppt 用代数运算法求解,由结构图列写方程式：消去中间变量，可得系统传递函数：解：整理ppt 补讲补讲内容内容：： 信号流信号流图图的的组组成和成和绘绘制制对于复杂的控制系统，传递函数框图的简化过程仍较复杂，且易出错u信号流图：表示系统的结构和变量传送过程中的数学关系的图示方法优点：直接应用梅逊公式就可以写出系统的传递函数，无需对信号流图进行化简和变换由节点、支路组成u基本组成：整理ppt 节节点点：：节节点表示信号，点表示信号，输输入入节节点表示点表示输输入信号，入信号，输输出出节节点点表示表示输输出信号 支支路路：：连连接接节节点点之之间间的的线线段段为为支支路路支支路路上上箭箭头头方方向向表表示示信信号号传传送送方方向向传传递递函函数数标标在在支支路路上上箭箭头头的的旁旁边边，，称称支支路路传传输输(增益增益)2x3x4x5xabcdef1x整理ppt u有关术语源节点：输入节点它只有输出支路阱节点：输出节点它只有输入支路混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点相当于结构图中的信号比较点和引出点它上面的信号是所有输入支路引进信号的叠加。
2x3x4x5xabcdef1x整理ppt 通路：沿支路箭头方向连接起始点和终点的支路路径回路：起点和终点为同一节点的通路称为(单独)回路但通路与任一节点相交不多于一次不接触回路：各回路之间没有公共节点的回路前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路2x3x4x5xabcdef1x回路增益：回路中所有支路增益的乘积一般用La表示前向通路增益：前向通路上各支路增益的的乘积一般用Pk来表示整理ppt 和和Output node1Mixed nodeinput node(source)1x2x3x4x5x6x23a32a34a45a25a44a24a12a43a1235453a单独回路(7个)不接触回路(2组)有几条前向通路？整理ppt 1 信流图是线性代数方程组结构的一种图形表示，两者一一对应u说明2x3x4x5xabcdef1x2 混合节点可以通过增加一个增益为1的支路变成为输出节点,且两节点的变量相同2x3x4xabcde1x x51整理ppt u由由传递函数框函数框图绘制信号流制信号流图 信号流图包含了传递函数框图所包含的全部信息，在描述系统性能方面，其作用是相等的。
但是，在图形结构上更简单方便框图： 输入量比较点引出点方框输出量信流图： 源节点混合节点支路阱节点整理ppt 由系统结构图绘制信号流图的步骤 1）将方框图的所有信号(变量)换成节点，并按方框图的顺序分布好；2）用标有传递函数的线段(支路)代替结构图中的方框解：画出系统的信流图 G1 1G6 6G7 7G2 2G3 3G5 5-H1 1-H2 2G4 4abcdR(s)C(s)整理ppt 注意：引出点和比较点相邻的处理整理ppt 例 绘制下图所示系统结构图对应的信号流图整理ppt 1 将传递函数框图的变量换成节点，并按传递函数框图的顺序分布好；解：2 用标有传递函数的线段(支路)代替结构图中的函数方框abc整理ppt 输入与输出两个节点间的传递函数可用下面的梅森公式来求取： 式中：Δ——信流图的特征式 Δ=1-(所有单独回路增益之和)+(所有两个互不接触回 路 增益乘积之和)–(所有三个互不接触回路增益乘积 之和)+¨¨¨ 梅森公式 Pk ——N条前向通路中第k条前向通路的增益； Δk——第k条前向通路余因式，即与第k条前向通路不接 触部分的Δ值； N ——前向通路的总数。
整理ppt 例 利用梅森公式，求：C(s)/R(s)G1 1G6 6G7 7G2 2G3 3G5 5-H1 1-H2 2G4 4abcdR(s)C(s)解：画出信号流图整理ppt G1 1G6 6G7 7G2 2G3 3G5 5-H1 1-H2 2G4 4abcdR(s)C(s)用梅森公式•该该系系统统中有四个独立的回路：中有四个独立的回路：整理ppt G1 1G6 6G7 7G2 2G3 3G5 5-H1 1-H2 2G4 4abcdR(s)C(s)•该该系系统统中有四个独立的回路：中有四个独立的回路：用梅森公式用梅森公式整理ppt G G1 1G G6 6G G7 7G G2 2G G3 3G G5 5-H-H1 1-H-H2 2G G4 4a ab bc cd dR(sR(s) )C(sC(s) )•该该系系统统中有四个独立的回路：中有四个独立的回路：用梅森公式用梅森公式整理ppt G1 1G6 6G7 7G2 2G3 3G5 5-H1 1-H2 2G4 4abcdR(s)C(s)•该该系系统统中有四个独立的回路：中有四个独立的回路：用梅森公式用梅森公式整理ppt G1 1G6 6G7 7G2 2G3 3G5 5-H1 1-H2 2G4 4abcdR(s)C(s)•该该系系统统中有四个独立的回路：中有四个独立的回路：用梅森公式用梅森公式•互不接触的回路互不接触的回路L1 L2。
所以，特征式所以，特征式整理ppt G1 1G6 6G7 7G2 2G3 3G5 5-H1 1-H2 2G4 4abcdR(s)C(s)•前向通道有三个：前向通道有三个：整理ppt 得系统的传递函数C(s)/R(s)为 Δ=1-(L1+L2+L3+L4)+L1L2 P1= G1G2G3G4G5 Δ1=1 P2= G1G6G4G5 Δ2=1 P3= G1G2G7 Δ3=1-L1将将代入代入整理ppt e1abcdfghC(s)R(s)四个四个单单独回路，两个回路互不接触独回路，两个回路互不接触C(s) R(s)=1––––++前向通路两条前向通路两条afbg ch efhgahfced(1g)–bdabc例例1：求系：求系统传递统传递函数整理ppt 例例2 求系求系统传统传函11RYG1x1x2x3x4G2G3G41-1-H1-H2单单独回路独回路5 5条，没有互不接触回路，前向通路条，没有互不接触回路，前向通路2 2条条x5整理ppt 多个输入同时作用于线性系统时 ，分别考虑每个输入的影响 考虑扰动的反馈控制系统：只考虑给定输入时：只考虑干扰输入时：第三节 系统的传递函数方框图及其简化第二章 系统数学模型整理ppt 考虑扰动的反馈控制系统：只考虑给定输入时：只考虑干扰输入时：系统总的输出量：若若且且，，则则：： 上式表明，采用反馈控制的系统，适当选择元部件的结构参数，可以增强系统抑制干扰的能力。
第三节 系统的传递函数方框图及其简化第二章 系统数学模型整理ppt 用相同形式的数学模型表示的系统，称为相似系统第五节 相似原理相似量：在相似系统的数学模型中，占据相同位置的物理量输入为f(t)，输出为x(t)输入为u(t)，输出为电容器的电量q相似量：第二章 系统数学模型整理ppt 。