守恒量与对称性关系

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1、4.4 4.4 守守 恒恒 量量 与与 对对 称称 性性 的的 关关 系系量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) ) 在经典力学中在经典力学中, 借助守恒量借助守恒量, 可以使运动方可以使运动方程的求解大为简化程的求解大为简化.前前 言言中的守恒量与对称性：中的守恒量与对称性：（1）空间平移不变性）空间平移不变性 动量守恒动量守恒.（2）空间转动不变性）空间转动不变性 角动量守恒角动量守恒.（3）时间平移不变性）时间平移不变性 能量守恒能量守恒.4.4 守恒量与对称性的关系守恒量与对称性的关系4.4 4.4 守守 恒恒 量量 与与 对对 称称 性性 的的 关关 系系量子力学教程量子力学教

2、程( (第二版第二版) ) 与经典力学相比与经典力学相比, 量子力学量子力学关于对称性的关于对称性的研究研究, 大大丰富了对体系的认识大大丰富了对体系的认识.考虑某种线性变换考虑某种线性变换 Q（存在逆变换（存在逆变换 Q-1, 不依赖不依赖于时间）于时间） 设体系的状态用设体系的状态用 描述描述. 的演化遵守的演化遵守Schrdinger方程方程量子力学中的守恒量与对称性量子力学中的守恒量与对称性4.4 4.4 守守 恒恒 量量 与与 对对 称称 性性 的的 关关 系系量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) ) 体系对于变换的不变性表现为体系对于变换的不变性表现为 与与 遵守相遵守相同

3、形式的运动方程，即要求同形式的运动方程，即要求 也遵守也遵守 Schrdinger方程方程.与方程与方程 比较，要求比较，要求 ，或表示成，或表示成这就是这就是体系在变换体系在变换Q下的不变性下的不变性的数学表达的数学表达.对对 的的Schrdinger方程用方程用 Q-1 运算，得运算，得4.4 4.4 守守 恒恒 量量 与与 对对 称称 性性 的的 关关 系系量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) ) 凡满足式凡满足式(4)的变换的变换,称为体系的称为体系的对称性变换对称性变换. 物物理学中的体系的对称性变换，总构成一个群，称为理学中的体系的对称性变换，总构成一个群，称为体系的对称性

4、群体系的对称性群（symmetry group）.则则 应为幺正算符，即应为幺正算符，即考虑到考虑到概率守恒概率守恒，要求，要求4.4 4.4 守守 恒恒 量量 与与 对对 称称 性性 的的 关关 系系量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) )对于连续变换对于连续变换, 可以考虑无穷小变换可以考虑无穷小变换, 令令 是刻画无穷小变换的实参量是刻画无穷小变换的实参量.并要求并要求4.4 4.4 守守 恒恒 量量 与与 对对 称称 性性 的的 关关 系系量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) ) 在上式中在上式中, F 为厄米算符为厄米算符, 称为变换称为变换 Q 的的无穷小无穷小算符

5、算符 (infinitesimal operator) . 按式按式 (4) 要求要求,体系在体系在 Q 变换下的不变性变换下的不变性 , 即即 ，应用到无穷小变换，应用到无穷小变换, 就导致就导致F 就是体系的一个就是体系的一个守恒量守恒量.可以用可以用F 来定义与来定义与 Q 变换相联系的一个变换相联系的一个可观测量可观测量.4.4 4.4 守守 恒恒 量量 与与 对对 称称 性性 的的 关关 系系量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) )平移不变性与动量守恒平移不变性与动量守恒显然显然即即 考虑体系沿考虑体系沿x方向的无穷小平移，方向的无穷小平移，描述体系状态的波函数描述体系状态的

6、波函数 ，变化如下：，变化如下：4.4 4.4 守守 恒恒 量量 与与 对对 称称 性性 的的 关关 系系量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) )在上式中，把在上式中，把 换为换为 ，则有，则有所以体系平移所以体系平移 的算符可表示为的算符可表示为式中式中就是相应的就是相应的无穷小算符无穷小算符,也就是动量算符的也就是动量算符的x分量分量.4.4 4.4 守守 恒恒 量量 与与 对对 称称 性性 的的 关关 系系量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) ) 对于三维空间的无穷小平移对于三维空间的无穷小平移 则则 式中式中即即动量算符动量算符.此即此即动量守恒的条件动量守恒的条件；源

7、于空间平移不变性。；源于空间平移不变性。设体系对于平移具有不变性，设体系对于平移具有不变性， 应用到无应用到无穷小平移穷小平移, ，则有，则有 4.4 4.4 守守 恒恒 量量 与与 对对 称称 性性 的的 关关 系系量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) )空间旋转不变性与角动量守恒空间旋转不变性与角动量守恒三维空间中绕某方向三维空间中绕某方向 （单位矢）的无穷小旋转（单位矢）的无穷小旋转在此变换下，标量波函数变化如下：在此变换下，标量波函数变化如下：即即4.4 4.4 守守 恒恒 量量 与与 对对 称称 性性 的的 关关 系系量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) )所以所以无穷小旋转无穷小旋转 的变换表示为的变换表示为 4.4 4.4 守守 恒恒 量量 与与 对对 称称 性性 的的 关关 系系量子力学教程量子力学教程( (第二版第二版) )式中式中即角动量算符即角动量算符此即此即角动量守恒角动量守恒的条件；源于的条件；源于空间旋转不变性。空间旋转不变性。 如体系具有空间旋转不变性如体系具有空间旋转不变性, ，对，对于无穷小旋转于无穷小旋转, ，则导致，则导致